陀螺仪随机漂移的测取和数学模型的确立

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结构式为： xt = b1xt-1+ωt ⒀
该模型代表“一阶马尔科夫”过程的平稳随机过程，这种随机过 程的特点是： 随机过程在 t 时刻的观测值 xt 仅与相邻的前一时刻 （t-1） 时刻的观测值 xt-1 存在相关性。 AR(1)模型自相关函数为：
R (τ ) = σ 2 e
−β τ
⒁
式中：
σ 2 为一阶马尔科夫过程的方差
σ =
Λ
1 N
Λ ⎞ ⎛X −µ ⎟ ⎜ i ∑ ⎠ i =1 ⎝
N
2
⑴
该方程实际上是有偏估计，也可写成无偏估计，则公式可写为：
2
σ =
Λ
1 N −1
Λ ⎞ ⎛X −µ ⎟ ⎜ ∑ i ⎠ i =1 ⎝
N
⑵
当样本数 N 很大时， （N-1）与 N 的差别很小，两式计算结果近 似相等。 3 数学模型的建立 3.1 建模步骤 导弹控制系统中， 可以利用卡尔曼滤波降低陀螺随机漂移对系统 精度的影响，但首先应建立陀螺随机漂移的数学模型，建模步骤大致 如下： ①对陀螺漂移测试所得到的样本数据序列（随机时间序列）进行 统计检验。首先进行平稳性检验，如发现为非平稳的随机时间序列，
ϕ i2 = ui2 + α i2
（i=1,2,…,k ）
⑶
则该子样均方值序列的中值为：
4
2 ϕ0 =
1 k ϕ i2 ∑ k i −1
⑷
把它作为真实均方值的估计值。 如果陀螺漂移数据序列是平稳随 机序列，每个子样均方值 相对与子样均方值中值 的变化是随机 的，不应存在共同的确定趋势项。子样均方值序列中 ϕ i2 ≥ ϕ 02 （记为 “+”号）的子样数为 k1 和 ϕ i2 < ϕ 02 （记为“-”号）的子样数为 k2 应相 等，都应等于 k/2， n=k1=k2=k/2 的接受域为： ⑸ 轮次数 rn 应符合轮次分布规律，这样得到的“平稳性假设”成立
陀螺仪随机漂移的测取 和数学模型的确立
1 陀螺仪随机漂移的概述及其数学概率基础 陀螺仪随机漂移是衡量陀螺精度的最重要指标之一， 它实际上是 一个随机过程。 根据随机过程的定义，陀螺仪随机漂移随机过程 x(t)可以被看成 是由依赖于时间 t 的这一族随机变量所构成的总体，因而可以借助数 理统计方法通过对大量漂移数据的统计分析，来寻求它的统计特性。 ①概率分布函数（概率密度函数）---提供随机过程中各种取值 的概率特性，它可以给陀螺随机漂移以完整的描述。 ②均值函数和方差函数---提供随机过程中幅值方面的基本信 息，是从幅域来描述陀螺随机漂移的统计特性。 ③自相关函数（自协方差函数）---反映随机过程中两个不同时 刻之间的相关度，是从时域来描述陀螺随机漂移的统计特性。 ④自功率频谱密度函数---反映随机过程的平均功率按频率分布 的密度，是从频域来描述陀螺随机漂移的统计特性。 以上是描述陀螺仪随机漂移过程中的几个重要统计特征函数， 均 值反映了随机过程在各个时刻取值的分布中心； 方差反映了随机过程 在各个时刻取值相对均值的离散程度； 自相关函数反映了随机过程在 两个不同时刻取值之间的相关程度； 自功率频谱密度函数反映了随机 过程的平均功率按频率分布的密度。 上述描述平稳随机过程统计特性的数学估计式只对平稳正态随 机过程才适用；如果含有趋势项随机漂移数据序列，必须经过平稳化 处理才可应用上述数学估计式进行计算。 2 陀螺仪随机漂移率的测取 对陀螺仪而言，随机漂移的测取方法主要是固定方位力矩反馈 法。测试时，可选陀螺仪自转铅垂方向，两个敏感轴与南~北方位基 准为 45º，或一个轴沿东~西方向，或一个轴沿南~北，这样，陀螺仪
⑼
该式表明陀螺随机漂移的均值随时间呈线性变化， 在陀螺随机漂 ⑽
如果有较大的潜周期分量 Bt， 就要从陀螺随机漂移非平稳数据序 ⑾
如果残差序列{xt}还是非平稳数据序列 （主要是随机游动造成的） ， 一般采取差分的方法来处理，只需经过一阶差分，即可化为平稳时间 序列，对时间序列{xt}作一阶差分， Δxt=xt-xt-1(t≥2) ⑿ 对于含有趋势项的非平稳时间序列，也可直接利用差分处理，如果趋 势项中只含常数项和一次项，经过一阶差分即可使之平稳化；如果趋 势项中还含有二次项，则经过二阶差分就可使之平稳化。 3.3 利用时间序列分析法对平稳化的残差序列建立数学模型 时间序列分析是一种时域分析法，它不仅仅研究过程的确定性 变化，而且更着重于研究过程的随机性变化，它直接利用随机时间序 列来建立差分方程， 把一个高度相关的平稳随机时间序列表示成一种 数字递推的形式 （即看作是由各时刻相关的随机时间序列和各时刻出 现的白噪声组成） ，按照尤尔概念，有色噪声序列可以看作是白噪声 序列经过成形滤波器变换得到的。 设{xt}表示观测到的时间序列，{ωt}表示白噪声序列，对时间序 列{xt}构造数学模型就是以白噪声{ωt}为输入，经过一个实时变换的 滤波器之后， 得出时间序列{xt}的输出三者之间的关系。 实际工程中， 平稳时间序列{xt}的线性模型通常可以表示成以下三种形式：滑动平 均模型 MA 模型， 自回归模型 AR 模型， 自回归滑动平均模型 ARMA 模型。 本文着重讨论自回归模型 AR 模型 （自回归模型, p 代表 AR 模型 的阶数）,适用于动力调谐陀螺仪，以一阶自回归模型 AR(1)为例，其
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• − β∆tX t −1 + ωt X t − X t −1 = lim ⇒ X (t ) = − β ( X )t + ω (t ) ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t ∆t
lim
⒇
式中: ω(t)为连续形白噪声， ω (t ) = lim
ωt ， ∆t →0 ∆t
白噪声方差为：
2 σω = 2 βσ 2
b1 = e − β∆t
⒄
则，AR(1)模型的表达式：
X t = e − β∆t X t −1 + ω t
⒅
பைடு நூலகம்
把 e − β∆t 展开级数，并忽略二阶及二阶以上的小量，则得：
X t = (1 − β∆t )X t −1 + ω t
⇒
X t − X t −1 = − β∆tX t −1 + ωt
⒆
如此一来，我们就可以把离散差分方程化为连续型微分方程，对 上式两边同时除以Δt 并取极限，则为：
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(t=1,2,…,n)
⑺
趋势项 At 实际上就是非平稳时间序列的均值μi，一般可表示成时间 ⑻
At = a0+a1t 移非平稳数据序列{yt}中剔除了趋势项 At 得到残差序列{xt}， xt = yt -At 列{yt}中剔除该潜周期分量 Bt，得到残差序列{xt}， xt = yt -At -Bt
β为反相关时间（β=1/τR，τR 为相关时间） 一阶马尔科夫过程自相关函数的离散形式可写为：
RK = σ 2 e
− β∆t K
⒂
Δt 为采样周期 同样，自相关系数的离散形式可写为：
ρK =
RK
2
σ
=e
− β∆t K
⒃
带入上式可得自回归系数的 由 AR(1)模型的性质可知 Rt = b1Rt-1， 表达式：
3
应提取其中确定性的趋势项，其次进行周期性检验，如发现潜周期分 量，应提取其中能量较大的潜周期分量，最后对除了趋势项和潜周期 分量的残差序列进行正态性检验。 ②如果经过检验的陀螺漂移数据的残差序列是平稳时间序列， 则 可利用平稳时间法建立其误差模型。 首先确定所要拟合的线性模型的 类别和阶数，其次估计模型参数并进行适用性检验，如发现潜周期分 量，应提取其中较大的潜周期分量，最后对去除了趋势项和潜周期分 量的残差序列进行正态性检验。 ③当残差序列仍然是非平稳时间序列，则应进行差分处理，使之 成为平稳时间序列，然后再利用平稳时间法建立其误差模型。 ④对所建立的数学模型进行变换，使之成为连续型微分方程。 3.2 随机漂移平稳性判别及平稳化处理 实践证明， 采用卡尔曼滤波技术可以减小陀螺仪随机漂移对系统 精度的影响，但卡尔曼滤波要求系统噪声和测量噪声必须为白噪声， 而陀螺仪测试中的数据一般都是有色噪声，必须对其进行必要的处 理，使有色噪声白色化。因而，平稳性判别是陀螺仪随机漂移数据检 验的首要问题， 它是用来判别数据序列是否具有不随时间变化推移而 变化的统计特性。 平稳性检验的方法一般采用非参数检验法。 非参数检验法是在未 知子样分布抽样情况下的检验方法。 该方法是以轮次数这个统计量来 度量漂移数据序列与平稳随机序列之间的差异， 以检验平稳性假设是 否成立。 假设随机过程 X（t）的现实序列足够长，即 N 取值足够大，令 N=km，把漂移数据序列分成 k 个等时间区间的子样（子序列） ，每个 子样的数据个数相同，均为 m。顺序分别计算每个子样的均值μi 和 方差 α i2 （i=1,2,…,k）,计算各子样的均方值：
2
是在零值或常值角速率输入条件下进行测试的，如此一来，按一定的 采样频率记录反馈电位值， 其系统性的综合漂移率在理论上应当是一 常值，通过足够长的试验样本数据，以其算术平均值作为这一常值的 的系统性漂移的估计值， 再从试验原始数据的序列中逐点去掉这一常 值漂移分量，便得到了陀螺仪在这一方位下的随机漂移序列，然后利 用前面讲述的统计特征函数，估算出各对应值，其数值就标志了陀螺 仪随机漂移率的大小， 这样得到的常值输入角速率偏移变化率就是随 机变化率。 随机漂移率是衡量陀螺仪精度的最重要指标， 在一定的测试条件 下， 陀螺漂移率是指在某一均值水平上随时间作无规律变化的随机变 量，其均值μ代表了系统性漂移，而随机漂移则以均方根值或标准偏 差σ来表示，陀螺仪漂移随机过程满足各态遍历性条件时，随机漂移 的数学估计为：
上式表明，当以白噪声 ω(t)为输入量、以有色噪声 x(t)为输出量 时，它的传递函数是一阶惯性环节。
(a)
（b）
（c） 图一 陀螺仪随机漂移数学模型结构方块图
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由图一（a）中可以清楚看出，所构造的这种模型可以理解为： 有色噪声 x(t)是由白噪声 ω(t)通过一个成形滤波器形成的，而这种成 形滤波器是由积分环节 1/s 和反馈环节β组成得一阶惯性环节。 对于静电陀螺仪，其残差序列通常可用 ARMA（1，1）模型来 拟合。它可简化为 2 个一阶马尔柯夫过程组成，方块图如图一（b） 所示。这 2 个一阶马尔柯夫过程中的一个具有长相关时间，另一个具 有短相关时间，如果采样周期大于这个较短的相关时间，可把短相关 时间的一阶马尔柯夫过程视为白噪声过程。 对于激光陀螺仪，其残差序列通常可用 ARMA（2，1）模型来 拟合。它亦可简化为 2 个一阶马尔柯夫过程组成，2 个一阶马尔柯夫 过程中的一个具有长相关时间，另一个具有短相关时间。 对于更为完整的陀螺随机漂移数学模型还应在上述基础上考虑 增加随机游动、随机常数和随机斜坡模型，见图一（c） 。 随机游动 x3(t)是非平稳随机过程，它可视为白噪声ω3(t)通过传 递函数为积分环节的成形滤波器的输出过程； 随机常数过程 x4(t)的值 是一个由初始值 c0 决定的随机变量，但每次过程中它的值保持不变； 随机斜坡过程 x5(t)也是非平稳随机过程，它的值随时间线性增长，但 每次过程中增长率 b(t)不变。
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rn;1-α/2<rn<rn;α/2
⑹
式中α是显著性水平； rn;α/2 和 rn;1-α/2 值可根据 n 和所取的α值从 轮次分布表上查得。若在一定的显著性水平α之下，轮次数 rn 落在 （rn;1-α/2，rn;α/2）区间内，则接受平稳性假设；反之平稳性假设不成 立。 “平稳性假设”是否成立，是在显著性水平α（一般取 0.05） 之下作出的，判别置信度为 1-α（当α取 0.05 置信度为为 95%） 。 实际工程中， 陀螺漂移测试所得到的数据序列可能是非平稳随机 序列， 对于此类序列则应设法去掉其中的有规律部分和趋势项以实现 数据的平稳化处理。 对于一个非平稳时间序列{yt}，可以看成由一个确定性的趋势项 At 和一个均值为零高度相关的平稳时间序列{xt}的线性叠加， 表示为： yt =At+ xt t 的多项式： At = a0+a1t+a2 t 2 +……+am t m a0,a1,a2,……am 是多项式的系数 陀螺仪随机漂移非平稳数据序列中较常见的趋势项为