大学数学概率统计概念定义归纳

一、随机事件及其概率

1.（基本概念）

随机事件定义（特点）：1.试验可以在相同条件下重复进行； 2.每次试验的可能

结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

3.在一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

样本空间：随机试验的结果称为基本事件、样本或样本点。样本空间就是随机试验所有可能的结果构成的集合，也就是由所有样本点构成的集合，通

常记为Ω

事件，事件发生与否，必然事件，不可能事件

事件（定义）：在试验中，可能发生也可能不发生的事件称为随机随机事件，简称事件。；；提要内容：随机试验中人们特别关注的具有某种共同特征的一些结果，从数学意义上讲，就是样本空间的子集。事件通常用大写英文字母表示。

在一次试验中，若试验结果ω∈A，则称这次试验中事件A发生了，否则称事件A没有发生。

提示：事件是人们根据自己的喜爱定义的，而事件发生与否是与某次试验关联着的。

有两个特殊的事件：样本空间本身，每次试验一定发生，称为是必然事件；空集也是Ω的子集，也能称为事件，每次试验一定不会发生，称为不可能事件。

事件域：

我们希望随机试验所涉及的所有事件作为集合的运算所得到的结果还是事件，这就是所谓运算的封闭性。

随机试验的事件构成的集合类如果对最多经“可列无限多”次事件的运算的结果还是事件，则把这个集合类称为事件域。

约定随机试验的事件构成事件域，通常记为F。

事件的概率

定义在事件域F上的集函数P，满足非负性、规范性、和可列可加性。

概率统计定义：随机事件A发生的可能性大小，称为事件A的概率。

概率公理化定义：设E为随机试验，S为它的样本空间，对于E中的每一事件A，恰对应一个实数，记作P(A)，若它满足下列3个条件，则称P(A)

为事件A的概率。

1.非负性：0≤P(A) ≤1；

2.规范性：P(A)=1；

2.可列可加性：设A1,A2,….An…..是两两互不相容事件，则有

古典概型：设随机试验具有下面两个特性：1.试验的样本空间只包含有限个元素；

2.试验中每个基本事件发生的可能性相同。则称这种随机试验为等可

能概型或古典概型。

2.（基本理论）

事件的运算及运算定律

事件的三种基本运算：求和：和事件，两个事件A和B中至少有一个发生的事件。

记作A∪B=（x|x∈A或x∈B）或A+B

求积：积事件：事件A与事件B同时发生的事件，

记作A ∩B=（x|x∈A且x∈B）或AB

求逆：对立事件，若A∪B=S且AB=∅，则事件A与事件B

互为逆事件，事件A域事件B必有一个发生且只有一个发

生。记为

事件的三种关系运算：相等：若A

包含：

互斥;事件A和事件B不能同时发生，即AB=∅。

事件的运算定律：交换律：A∪B=B∪A,AB=BA

结合律：

分配律：

德摩根律：

易证等式

概率的运算性质：

3.（基本方法）：利用袋中摸球模型来为古典概型问题构造场景。球可以有不同

标号和不同颜色，摸球可分为有放回摸球和无放回摸球。

二、条件概率与事件的独立性

1.基本概念

条件概率：设A,B是两个事件，且P(A)＞0，则称P(B丨A)=

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

同理，当P(B)＞0时，也可类似地定义在事件B发生的条件下事件A发生的条

件概率：P(A丨B)=

事件的独立性

定义：设A,B为两个事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与B相互独立

定理：设事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B这3对事件也相互独立

事件类的独立性（略）

2.基本理论

两个事件类是独立的可推出他们各自生成的事件域也是相互独立的。

由条件概率演绎出乘法公式：对任意两个事件A,B 若P(B)＞0，则有

P(AB)=P(B)P(A 丨B)

类似地，若P(A)＞0，有P(AB)=P(A)P(B 丨A)

全概率公式与贝叶斯公式及其推导 全概率公式：设事件B 1，B 2，...，B n 为样本空间S 的一个完备事件组，则对任

意事件A ⊆S ，有

贝叶斯公式：设事件组B 1，B 2，...B n 为样本空间Ω的一个完备事件组，则对任意事件A ⊆Ω，当P(A)＞0，P(B i )＞0时，有

3.基本方法

利用全概率公式计算概率

利用全概率公式简化贝叶斯公式

三、随机变量及其分布

1.基本概念

随机变量：设随机试验E 的样本空间为S=（e ），如果对于每个e ∈S ，都有一个

实数X(e)与它对应，则称S 上的实值单值函数X(e)为随机变量，记

作X=X(e).

离散型随机变量及其分布律

离散型随机变量定义：随机变量X 的所有可能取值是有限个或可列无限多个时称

为X 为离散型随机变量

两点分布：设随机变量X 只可能取0和1两个值，则称其分布律为

适合：合格不合格，性别登记，发芽不发芽，下雨不下雨等只有两种结果的现象 二项分布：

泊松分布：设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…,且概率分布为

其中,λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记作X～π(λ)

适合：电话交换台一定时间内收到的呼叫次数，一本书一页中印刷错误次数，原子一定时间放射的粒子数，超市一定时间的顾客数。

连续型随机变量及其概率密度函数

定义：设F(x)是随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x均有

则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数或密度函数。

均匀分布：设连续型随机变量X的概率密度为

则称随机变量X在区间(a,b)上服从均匀分布，记作X～U(a,b)

指数分布：若随机变量X具有概率密度

其中，θ＞0，为常数，则称X服从参数为θ的指数分布

适合：常用于可靠性统计研究，如电子元件寿命，随机服务系统的服务时间等。正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为

其中,μ和σ(σ＞0)都是常数，则称X服从参数为μ和σ的正态分

布或高斯分布

2.(基本理论）

分布函数的定义及性质

定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P(X≤x)(-∞＜x＜+∞) 称为X的分布函数。

性质：

分布律的定义及性质

定义：设离散型随机变量X所有可能取值为Xk(k=1,2…),X取各个可能值的概律即事件(X=Xk)的概率为

则称为离散型随机变量X的概率分布或分布律，可以表示为：

性质：