p 二维四方排列半圆铝管_空气声子晶体的禁带特性

(1)
(2)
1 模型描述
二维声子晶体通常是由在 x-y 平面上周期性排列 且在 z 方向上无限长的散射体和基体材料组成. 图 1 为典型的二维四方排列声子晶体的横截面图, 黑色 部分为嵌入流体基体中的散射体.
σ xx = (λ + 2µ ) σ yy = (λ + 2µ ) σ xy = µ ⎜
(3)
① ② ② ① ①
① 西安交通大学强度与振动教育部重点实验室, 西安 710049; ② 西安交通大学机械学院, 西安 710049 * E-mail: tjlu@mail.xjtu.edu.cn 收稿日期: 2008-06-16; 接受日期: 2008-09-04 国家重点基础研究发展计划 (“973”计划 )( 批准号: 2006CB01202, 2006CB601204)、国家自然科学基金 (批准号 : 10572111, 10632060) 、国家 高技术研究发展计划(“863”计划)(批准号: 2006AA03Z519)和国家“111”引智计划(批准号: B06024)资助项目
σyy(i+ 1/2, j), σxy(i, j+1/2) 在空间和时间上交错配置, 可以得到υx, υy 的差分格式如下[20,25,26]
υx
k+ 1 2 (i,
+
右边界(j = jmax)
j) = υ x
k−
1 2 (i,
j) +
∆t ⎛ k ⎛ 1 ⎞ σ xx ⎜ i + , j ⎟ ρ (i, j ) ∆x ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝
c∆t − ∆x k +1/ 2 k −1/ 2 (υ x (i, 2) − υ x (i,1)), (11) c∆t + ∆x c ∆t − ∆x c∆t + ∆x
∆t ⎛ 1 ⎞⎞ ⎜i − , j ⎟⎟ + ⎝ 2 ⎠ ⎠ ρ (i, j )∆y ⎛ k ⎛ 1⎞ 1 ⎞⎞ k ⎛ ⋅ ⎜ σ xy ⎜ i, j + ⎟ − σ xy ⎜ i, j − ⎟ ⎟ , 2⎠ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝
2.2
波动方程的离散化
将波动方程在空间和时间域上进行离散 [20,25,26],
空间步长取为∆ x 和∆y, 时间步长取为∆t, 对空间域采 用中心差分
图1 二维声子晶体示意图
(a) 圆管散射体; (b) 半圆管散射体; (c) 四方排列半圆系统 以及相对应的(d)第一布里渊区
∂υl x ≈ D0 υ l (i, j, k ) = [υ l (i + 1, j , k ) − υ l (i, j , k )] / ∆x, (6) ∂x
. 随后几年, 关于禁带的研究主要集中在基
于 PWE 法的无限结构声子晶体带结构, 研究内容包 括改变散射体的截面形状(圆形、正三角形、方形、 正六边形、正八边形等)、不同形状的旋转效应以及 散射体排列的不同拓扑结构( 四方排列、正三角排列、 正六角排列等) 等人
[18] [13]
. 对于有限结构声子晶体, Vasseur
1
(9)
图2 计算单元选取
(a) Γ X 方向; (b) ΓM 方向
其他参数有类似的表达式. 通过给定的初始激励, 差 分递推以后 , 即可求得任意位置的振动参数随时间 的变化关系. 在上述计算中, 为了确保算法的稳定性, 采用如 下的稳定性判据[15~20,25]
∆t ≤ 0.5/c 1 ∆x 2 + 1 ∆y 2 , (10)
υy
k+
1 2
k− ⎛ 1⎞ 1 1⎞ ⎛ 1 2 ⎜i + , j + ⎟ = υy ⎜i + , j + ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 1⎞ ∆t ⎛ k⎛ 1 + σ xy ⎜ i + , j + ⎟ ⎜ 1 1 2⎠ ρ (i + , j + )∆x ⎝ ⎝ 2 2 2 1 ⎞⎞ ∆t k ⎛ −σ xy ⎜ i, j + ⎟ ⎟ + 1 2 ⎠ ⎠ ρ (i + , j + 1 )∆y ⎝ 2 2 1 ⎞⎞ ⎛ k ⎛ 1 ⎞ k ⎛ ⋅ ⎜ σ yy ⎜ i + , j + 1⎟ − σ xx ⎜ i + , j ⎟ ⎟ . 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝
从理论和实验的角度研究了二维四方排列铜/
空气声子晶体, 指出空管结构与实心柱体的传输特 性没有显著的区别 , 这一结论有利于实现声子晶体 结构的轻质化. 这些研究的散射体材料都具有较高 的对称性, 反射声波多为发散型. 本文以“ 轻质化、宽禁带”为目标, 研究了二维四 方排列半圆铝管 / 空气声子晶体的禁带特性 . 这种同 时具有凹形与凸形表面的新型散射体与传统散射体 相比, 具有较低的对称性. 本文首先运用时域有限差 分法(FDTD)详细讨论了半圆管厚度、 旋转角度对传输 特性的影响, 并与整圆管系统的结果进行了比较. 搭 建了相应的实验平台, 验证了理论计算的正确性. 并 在此基础上分析了不同凹形截面散射体的禁带特性.
(4)
百度文库
⎛ ∂υ x ⎝ ∂y
∂υ y ⎞ ⎟, ∂x ⎠
(5)
其中, (υx, υy )为速度矢量, (σ xx, σyy, σxy)为应力分量. 对应于如图 1 所示的周期性系统, 材料参数质量密度
ρ和拉梅常数λ, µ 均为位置的周期性函数, 其中λ=ρ × ct2 −2×µ, µ=ρ ×cl2, 而 cl, ct 分别为材料的纵波和横波 速度, 后者对应于流体时的值为 0.
近年来 , 弹性波特别是声波在周期性复合介质 中的传播特性研究受到了广泛关注
[1~24]
其他组合形式(如固/固组合)相比, 质量较轻. 目前研究声子晶体禁带的计算方法主要有平面 波展开法(plane wave expansion, PWE)[3~13], 时域有限 差分法(finite difference time domain, FDTD)[15~21]和多 重散射法(multiple scattering technique, MST)[22~24] 等. 传统的 PWE 方法主要用于无限排列结构的计算, 但 不能计算有限结构的透射、反射等特性, 而且在处理 固- 流耦合问题时存在缺陷. MST 方法可以很好地解 决这些问题, 但理论推导十分复杂, 目前主要应用于 三维球形和二维圆柱形散射体的禁带分析. 而 FDTD 方法由于执行过程与实验过程相似, 易于对比, 已经 广泛应用于有限尺寸声子晶体禁带特性的理论和实 验研究中. 对于二维固/ 气声子晶体禁带特性的研究, 已经 取得了一定的进展. 1995 年, Martinez-Sala 等人[8]对 西班牙马德里市一座名为 “ 流动的旋律” 的雕像进行 了测试, 第一次从实验的角度证实了固/ 气系统声波 禁带的存在. 随后, Kushwaha[9]基于无限刚度假设理 论发展了平面波展开法来计算这种结构的禁带特性,
2.4
传输系数计算
为了计算传输系数 , 在计算区域的一端 (y=0 平
面 ) 赋予冲击激励 ( 纵波速度激励 ), 在区域的另一端 得到纵波质点速度随时间的变化关系 , 通过傅里叶 变换转化为频域信号 . 放样品和不放样品分别获得 的频域信号之比定义为传输系数 , 这样的定义反映 了不同频率声波在此类晶体中的传输能力 . 通过计 算发现, x 方向质点速度分量相对于 y 方向的质点速 度分量相差几个数量级, 因此在计算传输系数时, 可 以忽略不计, 这一点也与文献[19]给出的结论相符.
2
2.1
基于时域有限差分法的传输特性计算
控制方程
二维各向同性介质中声波的波动方程为[20]
∂υ x 1 ⎛ ∂σ xx ∂σ xy ⎞ = ⎜ + ⎟, ρ ⎝ ∂x ∂t ∂y ⎠ ∂υ y ∂t = 1 ⎛ ∂σ xy ∂σ yy ⎞ + ⎜ ⎟, ρ ⎝ ∂x ∂y ⎠
∂υ y ∂υ x +λ , ∂x ∂y ∂υ y ∂y + +λ ∂υ x , ∂x
中国科学 E 辑: 技术科学 www.scichina.com
2009 年 第 39 卷 第 1 期: 57 ~ 64
《中国科学》杂志社
SCIENCE IN CHINA PRESS
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二维四方排列半圆铝管/空气声子晶体的禁带特性
卢天健 *, 高国钦 , 马守林 , 金峰 , 金东范
其中, c 为材料各组分中最快的声速值. 计算表明, 对 于固 / 气这样的高声阻抗率比系统 , 通常∆ t 要取较小 的值才能保证收敛性.
57
. 当声波通过
这种复合介质时, 会产生声子带隙, 即声波在一定频 率范围内( 当声波波长与结构的晶格常数可比时)的传 播会被抑制或禁止, 该频率范围被称为声波禁带, 而 这种复合介质则被称为声子晶体 . 声子晶体的这种 禁带特性使得其在减振 、降噪、声学器件等领域都 有着潜在的广阔应用前景. 声子晶体通常由周期性排列在基体材料中的散 射体复合而成. 按其微结构可分为一维 、二维 和三维 固(体)
[14]
, 气体中的纵波速度通常要小于固体中
的纵波速度, 产生的禁带频率相对较低, 因而有利于 声子晶体在可听频率范围的应用. 同时, 此类组合与
卢天健等: 二维四方排列半圆铝管/空气声子晶体的禁带特性
并在此基础上, 采用并联结构获得了 2~11 kHz 的超 宽禁带
[10]
声波的传播方向平行于 x-y 平面, y 方向对应于 第一布里渊区的 ГX 方向, 45°斜入射方向对应于 ГM 方向. 2 个方向获得的禁带叠加部分为完全禁带区域, 即不管声波从哪个方向入射 , 完全禁带内的声波都 不能通过声子晶体. 本文考虑 x 方向无限周期性排列, y 方向有限周期排列的系统, 其中散射体结构分别为 图 1(a)所示的圆铝管和图 1(b) 所示的半圆铝管, 基体 材料为空气 . 晶格常数为 a( 两散射体间的距离 ), 管 的结构参数由外半径 ro 和内半径 ri 描述, 空管厚度 t=ro−ri, 则圆管和半圆管对应的填充率 ( 散射体材料 的体积分数)分别为 F=π(ro2−ri2)/a2 和 F= π(ro2-ri2)/2a2.
摘要
采用时域有限差分法, 分析了声波在二维四方排列半圆铝管/空气组合声子晶体中
关键词
时域有限差分法 声子晶体 半圆管 禁带
的禁带特性. 通过对半圆铝管壁厚、旋转角度的计算, 得到了比整圆铝管结构具有更宽完全 禁带的半圆铝管结构, 并利用实验测试验证了理论分析的正确性. 分析了不同凹形截面散 射体沿ΓX 方向的禁带特性, 指出了半圆管形散射体在实现最大禁带宽度方面的优越性.
[5,6] [3,4] [2] [3,4] [1]
. 散射体和基体材料的组合可以为固( 体 )/
[7] [8~13]
、流(体)/流(体) 、固(体)/流(体)
等不同
的组合形式( 散射体在前, 基体在后). 在上述组合中, 固 / 流组合 , 特别是固 / 气 ( 体) 组合 , 由于散射体和基 体的材料特征参数( 密度和声波速度)差异大, 从而有 利于禁带的产生. 对于二维二组元结构, 根据布拉格 散射条件
k −σ xx
k +1/ 2 k −1/ 2 υx (i, jmax ) = υ x (i, jmax − 1) +
k +1/ 2 k −1/ 2 (i, jmax −1) −υ x (i, jmax )), (12) ⋅ (υ x
(8)
其他振动参数有着相似的表达式 . 2 个特征方向的计 算元选取分别如图 2(a)和(b)所示.
对时间域采用向前差分
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中国科学 E 辑: 技术科学
2009 年 第 39 卷 第 1 期
∂υl l ≈ D+ υl (i, j, k ) = [υl (i, j , k + 1) − υl (i, j, k )] / ∆t , ∂t
(7)
( 图 1), 如果不加吸收边界条件的话, 就会造成波反射, 影响计算结果. 目前采用的吸收边界条件有多种, 本文 采用最普遍也最简单的一阶 Mur 吸收边界条件[16,19,27], 对于υx 分量: 左边界( j = 1 处)
k +1/ 2 υx (i,1) k −1/ 2 = υx (i, 2)
其中, l=x, y, 1≤i≤imax, 1≤j≤ jmax. 引入半时间层 k+1/2 和半空间层(i+1/2, j+1/2), 采用正交网格将υx(i, j), υy(i+1/2, j+1/2), σxx(i+ 1/2, j),