数学建模与matlab软件

4、[phat, pci] = weibfit(X,alpha)----- 在显著性水平alpha下， 求Weibull分布的数据X 的参数的点估计及其区间估计.
5、 … …
五、假设检验
1、总体方差sigma2已知时，总体均值的检验使用 z-检验 [h,sig,ci] = ztest(x,m,sigma,alpha,tail) 2、总体方差sigma2未知时，总体均值的检验使用t-检验 [h,sig,ci] = ttest(x,m,alpha,tail) 3、两总体均值的假设检验使用 t-检验 [h,sig,ci] = ttest2(x,y,alpha,tail) 4、非参数检验：总体分布的检验 （1）h = normplot(x,α) 正态分布的检验 （2）h = weibplot(x,α) 威布尔分布的检验 （3）[p,h] = ranksum(x,y,α) wilcoxon秩和检验
2
其中Lxx
( xi x )
i 1
n
2

2 2 x n x i i 1
n
（Ⅲ）r检验法
记
r
(x
i 1 n i 1
n
i
x )( y i y )
n
2 2 ( x x ) ( y y ) i i i 1
当|r|> r1-α 时，拒绝 H0；否则就接受 H0.
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
检 验多 与元 预线 测性 回 归 中 的
逐 步 回 归 分 析
本讲命令
多元线性回归 1、确定回归系数的点估计值：b=regress( Y, X ) 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
y i 0 x1 i , i 1,2,...,n 设 2 E 0 , D s 且 1 2， ..., n 相互独立 i i
记
Q Q( 0 , 1 ) i2 yi 0 1 xi
i 1 i 1
四、参数估计
1、 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha) ----- 在 显著性水平alpha下，求正态分布的数据X的均值的点估计及 其区间估计. 2、[muhat, muci] = expfit(X,alpha)----- 在显著性水平alpha下， 求指数分布的数据X的均值的点估计及其区间估计. 3、[lambdahat, lambdaci] = poissfit(X,alpha)----- 在显著性水 平alpha下，求泊松分布的数据X 的参数的点估计及其区间估 计.
n
n
2
ˆ ， ˆ 使得 最小二乘法就是选择 0 和 1 的估计 1 0
ˆ , ˆ ) minQ( , ) Q( 0 1 0 1
0 , 1
解得
ˆ y ˆx 0 1 ˆ xy x y 1 2 x x2
ˆ 或 1
x
ˆ ˆ x y ˆ ( x x) ˆ y 0 1 1
2、s 2 的无偏估计
ˆ , ˆ ) 记 Qe Q( 0 1
y ˆ
n i 1 i
0
ˆx 1 i
ˆ) (y y
2 n i 1 i i
2
称 Qe 为残差平方和或剩余平方和.
ˆ e2 Qe (n 2) s 2 的无偏估计为 s
教学目的
1、直观了解回归分析基本内容。 2、掌握用数学软件求解回归分析问题。
教学内容
1、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。 3、实验作业。
回归分析
一元线性回归 多元线性回归
* 模 型 参 数 估 计
*
*
*
数 学 模 型 及 定 义
检 验 、 预 测 与 控 制
性可 回线 归性 （化 曲的 线一 回元 归非 ）线
3、预测与控制 （1）预测
ˆ ˆ x 作为 y0 的预测值. ˆ0 用 y0 的回归值 y 0 1 0
y0 的置信水平为 1 的预测区间为 ˆ 0 ( x0 ), y ˆ 0 ( x0 ) y
1 x0 x ˆ e t (n 2) 1 其中 ( x0 ) s 1 n Lxx 2
i 1 n
n
i
x y i y
2 x x i i 1
1 n 1 n 1 n 2 1 n 2 其中 x xi , y yi ， x xi , xy xi yi n i 1 n i 1 n i 1 n i 1
（经验）回归方程为:
数学建模与matlab软件
回归分析
复习上讲内容
一、基本统计量
对随机变量x，计算其基本统计量的命令如下：
均值：mean(x) 中位数：median(x) 标准差：std(x) 方差：var(x) 极差： range(x) 或 max(x)-min(x) 偏度：skewness(x) 峰度：kurtosiwk.baidu.com(x)
假设 H 0 : 1 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.
（Ⅰ）F检验法 当 H 0 成立时，
其中 U
n
F
U ~F（1，n-2） Qe /(n 2)
非线性回归 1、回归：
（1）确定回归系数的命令： [beta，r，J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0）
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） 2、预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 逐步回归 命令： stepwise（x，y，inmodel，alpha）
只要控制 x 满足以下两个不等式
四、可线性化的一元非线性回归 （曲线回归）
例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀， 容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关 系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：
概率函数：chi2cdf(x,n)
3、t分布t(n) 概率密度：tpdf(x,n); 概率函数：tcdf(x,n) 4、F分布F(n1,n2) 概率密度：fpdf(x,n1,n2); 概率函数：fcdf(x,n1,n2) 5、随机数生成：rnd 例 生成标准正态分布数据：normrnd(m) 生成(0,1)上均匀分布数据：unitrnd(m)
ˆ ( x) y , y ˆ ( x) y y ˆ ( x) y , y ˆ ( x) y 分别有解 x 要求 y y 2 ( x) .若 y ˆ ( x) y, y ˆ ( x) y . 和 x ，即 y 则 x , x 就是所求的 x 的控制区间.
ˆ ˆ ˆ e / L xx , 1 t (n 2)s ˆ e / L xx 和 1 t ( n 2)s 1 1 2 2
的置信区间为 s 2 的置信水平为 1 Qe Qe , 2 ( n 2) 2 ( n 2) 1 2 2
ˆ e2 为剩余方差（残差的方差） 称s ，
ˆ e 称为剩余标准差. s
2 ˆ 、 ˆ 独立 ˆe 分别与 s 1 0
。
三、检验、预测与控制
1、回归方程的显著性检验
对回归方程 Y 0 1 x 的显著性检验，归结为对假设
H 0 : 1 0; H1 : 1 0
进行检验.
一元线性回归分析的主要任务是：
1、用试验值（样本值）对 0 、 1 和 s 作点估计； 2、对回归系数 0 、 1 作假设检验； 3、在 x= x0 处对 y 作预测，对 y 作区间估计.
二、模型参数估计
1、回归系数的最小二乘估计
有 n 组独立观测值， （x1，y1） ， （x2，y2） ，…， （xn，yn）
散点图
plot(x,y,'+')
一般地，称由 y 0 1 x 确定的模型为一元线性回归模型， 记为
y 0 1 x 2 E 0 , D s
固定的未知参数 0 、 1 称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量.
Y 0 1 x ，称为 y 对 x 的回归直线方程.
2 ˆ （回归平方和） y y i i 1
故 F> F1 (1, n 2) ，拒绝 H 0 ，否则就接受 H 0 .
（Ⅱ）t检验法
当H 0 成立时，T
ˆ Lxx 1 ~t（n-2） ˆe s
.
H 0 ，否则就接受 H0 故 T t1 ( n 2) ，拒绝
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi） 在平面直角坐标系上标出.
102 100 98 96 94 92 90 88 86 84 140 145 150 155 160 165
y 0 1 x
作图命令： x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]; y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102];
二、分布函数的近似求法
画直方图：hist(data,k)
三、几个在统计中常用的概率分布
1 正态分布 N ( m , s 2 ) 密度函数：normpdf(x,0,1); 概率函数：normcdf(x0,0,1) => p(x<xo)=Φ(x0)
2、 2 分布 2 （n）
密度函数：chi2pdf(x,n)
其中 r1
1 1 n 2 F1 1, n 2
2、回归系数的置信区间
0 和 1 置信水平为 1-α 的置信区间分别为
2 2 1 x 1 x ˆ t (n 2)s ˆ t (n 2)s ˆe ˆe , 0 0 1 1 n Lxx n Lxx 2 2
2
特别，当 n 很大且 x0 在 x 附近取值时, y 的置信水平为 1 的预测区间近似为
ˆ s ˆ eu , y ˆ s ˆ eu y 1 1 2 2
（2）控制
要求：
y 0 1 x 的值以1 的概率落在指定区间 y , y
一、数学模型
例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
身高 腿长 143 88 145 85 146 88 147 91 149 92 150 93 153 93 154 95 155 96 156 98 157 97 158 96 159 98 160 99 162 100 164 102
3、画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）
多项式回归 （一）一元多项式回归 y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1 1、回归： （1）确定多项式系数的命令：[p，S]=polyfit（x，y，m）
（2）一元多项式回归命令：polytool（x，y，m）
2、预测和预测误差估计： （1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回归多项式在x 处 的预测值Y； （2）[Y，DELTA]=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所 得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y±DELTA；alpha缺省时为0.5. （二）多元二项式回归 命令：rstool（x，y，’model’, alpha）