超静定结构的受力分析及特性超静定结构的特征及超静定

第四节超静定结构的受力分析及特性
一、超静定结构的特征及超静定次数
超静定结构的几何特征是除了保证结构的几何不变性所必须的约束外，还存在多余约束。

超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。

结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为结构的超静定次数。

通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。

即去除结构的全部多余约束，使之成为无多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。

去除约束的方法有以下几种：
(一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。

(二)切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。

(三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束；切断一个复铰(连接n根杆件的铰)，相当于去除2(n—1)个约束。

(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束；将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。

去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。

去除图4—1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。

再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。

（a）（b）
图4－1
二、力法的基本原理
(一)力法基本结构和基本体系
去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力X i (i=1、2、…、n)，X i 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。

去除多余约束后的结构称为力法基本结构。

力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。

选取力法基本结构应注意下面两点：
1．基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。

有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。

2．选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。

(二)力法典型方程及其意义
根据原结构在荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的已知位移与基本结构在各多余未知力以及与原结构相同的荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的位
移必须相同的条件，由叠加原理，可得n次超静定结构的力法典型方程为
(4—1)
式中 X i 为多余未知力(i=1、2、…、，2)；δij钆为基本结构仅由X j=1为多余未知力(j=1、
2、…、n)产生的沿X i 方向的位移、为基本结构的柔度系数；Δip、Δit、Δic分别为基
本结构仅由荷载、温度变化、支座位移产生的沿X i 方向的位移，为力法典型方程的自由
项；Δi为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下的已知位移(如结构边界处
的已知支座位移条件、杆件变形后的已知位移连续条件等)。

力法典型方程(4—1)也称为变形协调方程。

其中第一个方程表示基本结构在n个多
余未知力、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下，在X l作用点沿X l作用方向产生的
位移，等于原结构的已知相应位移Δ1；第二个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷
载、温度变化、支座位移共同作用下，在X2作用点沿X2作用方向产生的位移，等于原结
构的已知相应位移Δ2。

其余各式的意义可按此类推。

各多余未知力X i的大小和方向必须受力法典型方程的约束，多余约束力与变形协调
条件是一一对应的，故满足力法典型方程的各多余未知力的解是唯一真实的解。

同一超静定结构，可以选取不同的基本体系，其相应的力法典型方程也就表达了不同的变形协调条件。

不管选取哪种基本体系，求得的最后内力总是相同的。

图4—2a所示体系为一次超静定结构，如取图4—2b所示的基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p=0；如取图4—2c所示的基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p= —X1l／EA。

图4－2
对于图4—2d所示的一次超静定结构，如取图4—2e、f所示的基本体系，则相应的力法典型方程分别为δ11X1 +Δ1p=0、δ11X1 +Δ1p= —X1／k N。

图4—3a所示一次超静定结构的支座B有已知的竖向位移a，如取图4—3b所示的基本体系，力法典型方程为δ11X1 = －a；如取图4—3c所示的基本体系，力法典型方程为δ11X1 +Δ1C=0。

图4－3
(三)系数和自由项的计算
力法典型方程中的系数和自由项都是静定基本结构仅由单位力、实际荷载、温度变化、支座位移产生的位移，它们均可按上述各自的定义，用相应的位移计算公式计算。

力法典型方程中的系数δii称为主系数，它们恒为正值；δij（i ≠j)称为副系数，它们可为正值、负值、也可为零，根据位移互等定理有δij＝δji；各自由项的值可为正值、负值、也可为零。

(四)计算超静定结构的内力
由力法典型方程求出各多余未知力X i 后，将X i 和原荷载作用在基本结构上，再根据求作静定结构内力图的方法，作出基本结构的内力图就是超静定结构的内力图。

或者也可通过下述叠加方法，计算结构的最后内力。

(4—2) 式中M i、V i、N i分别为X i＝1引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力；M p、V p、N p分别为荷载引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力。

对梁和刚架，通常的做法是先根据式(4—2)中的第一式求出各杆端弯矩，再用直杆弯矩图的叠加法作出各杆的弯矩图，然后根据弯矩图由静力平衡条件求出各杆端的剪力和轴力，并据此作出剪力图和轴力图。

三、超静定结构的位移计算
超静定结构的位移计算仍应用变形体系虚功原理和单位荷载法。

在具体计算时，为了使计算简便，其虚设状态(即单位力状态)可采用原超静定结构的任一静定基本结构。

位移计算的一般公式如下。

(一)荷载作用引起的位移计算公式
（4—3）
(二)温度变化引起的位移计算公式
(4—4)
(三)支座位移引起的位移计算公式
（4—5）上面三式中的M i、N i、V i和R i为虚设状态(原超静定结构的静定基本结构)的弯矩、轴力、剪力和支座反力；M、N、V、M t、N t、V t、M c、N c、V c分别为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下产生的弯矩、轴力、剪力。

与静定结构一样，在符合一定的条件时，超静定结构的位移计算也可采用简化(实用)计算公式，以及采用图形相乘法代替积分计算。

四、超静定结构内力图的校核
超静定结构的内力图必须同时满足静力平衡条件和原结构的变形条件。

1．平衡条件校核
根据求得的反力和内力，取整个结构或结构的任一部分为隔离体，校核其是否满足静力平衡条件。

2．变形条件校核
根据已求得的内力计算超静定结构的位移，校核其是否与原结构的已知位移条件一致。

对于具有无铰闭合外形的结构，在荷载作用下，校核任一切断截面两侧的相对转角时，位移条件的校核公式可简化为
(4—6)
[例4－1] 图4－4a所示超静定刚架，受均布荷载q、温度变化t1＝1.5t0C，t2＝2.5t0C，支座A顺时针向转动φA等因素共同作用，试求作其M图，并按变形条件校核M图。

杆件横截面为矩形，高为h=l ／10，EI为常数，线膨胀系数为α。

图4－4
[解]
(1)取图4—4b所示的力法基本体系。

(2)力法典型方程为δ11X1 +Δ1p+Δ1t+Δ1c=0
(3)计算系数和自由项
基本结构的M l、N l、M p图分别如图4—4c、d、e所示。

杆件轴线处的温度变化为t0=2t℃，杆件两侧的温度差为Δt=t℃。

于是由位移计算公式可求得
(4)求基本未知力X l
由力法典型方程得
(5)作M图
M如图4－4f所示。

(6)根据原结构的已知位移条件校核M图
校核A截面的转角。

五、等截面直杆的转角位移方程(刚度方程)
位移法是以杆件的转角位移方程作为计算基础的。

转角位移方程表示杆件两端的杆端力与杆端位移之间的关系式。

(一)平面桁架杆件(图4—5)
图4－5
(4—7) 式中u、N分别表示杆端的轴向位移和轴向力，沿杆轴方向自A向B时为正。

式(4—7)称为拉、压杆的刚度方程。

(二)两端固定的平面等截面直杆(图4—6a)
(4—8) 式中 i = EI／l称为线刚度。

杆端截面转角θA、θB、弦转角β = ΔAB／l，杆
端弯矩M AB、M BA，固端弯矩M AB F、M BA F均以顺时针向转动为正。

杆端剪力Q AB、Q BA，固端剪力Q AB F、Q BA F均以绕隔离体顺时针向转动为正。

图4—6所示杆端位移、杆端弯矩、杆端剪力的方向均为正号。

图4－6
(三)一端固定另一端铰支的平面等截面直杆(图4－6b)
(4—9)
(四)一端固定另一端定向(滑动)支座的平面等截面直杆(图4－6c)
(4—10)
式(4—9)、(4—10)中各符号的意义及正、负号规定均与式(4—8)相同。

式(4—8)、(4—9)、(4—10)称为前述各相应杆件的转角位移方程，式中含有θA、θB、ΔAB的各项分别代表该项杆端位移引起的杆端弯矩和杆端剪力，其前面的系数称为杆件的刚度系数，它们只与杆件的长度l、支座形式和抗弯刚度EI有关，又称为形常数。

而固端弯矩、固端剪力则为仅由荷载产生的杆端弯矩、杆端剪力，它们均与荷载有关，几种常见荷载产生的固端弯矩和固端剪力见表4—1。

等截面直杆的固端弯矩和固端剪力表4—1
六、位移法的基本未知量
位移法以结构的刚结点的角位移和独立的结点线位移为基本未知量。

角位移数等于刚性结点的数目。

确定刚架独立的结点线位移数时，如果杆件的弯曲变形是微小的，且忽略受弯直杆的轴向变形，则刚架独立的结点线位移数就是刚架铰结图的自由度数(即运动的独立几何参数)。

所谓刚架的铰结图就是将刚架的刚结点(包括固定支座)都改成铰结点后所形成的体系。

如图4—7a所示刚架的结点角位移未知数等于7，在刚架铰结图的结点1、2、3处增设三根支杆后成为几何不变(图4—7b)，即该铰结图的自由度为3，故刚架的全部结点位移未知数等于10。

图4－7
如果考虑杆件的轴向变形，则平面结构每个结点的独立线位移未知数为2。

如图 4—7a所示刚架的结点独立线位移未知数为2×7＝14。

图4—7c所示刚架，其横梁不能弯曲，当不考虑各杆轴向变形时，两个刚结点不能转动，只有一个独立的结点线位移未知量。

图4—7d所示结构，如果考虑柱顶轴力杆的轴向变形，而不计受弯杆柱子的轴向变形，则有两个独立的结点线位移未知量。

七、位移法的基本原理
(一)位移法基本体系
在结构的结点角位移和独立的结点线位移处增设控制转角和线位移的附加约束，使结构的各杆成为互不相关的单杆体系，称为原结构的位移法基本结构。

位移法基本结构在各结点位移、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)作用下的体系称为位移法基本体系。

图4—8a所示刚架的基本体系如图4—8b所示。

图4－8
(二)位移法典型方程及其意义
为了使基本体系与原结构的受力情况相同，可以根据基本结构在给定荷载、温度变化、支座位移和各基本未知节点位移共同作用下，各附加约束中的总约束力等于零的条件建立位移法典型方程。

对于有n个未知量的结构，位移法典型方程为
(4—11) 式中Δi为结点位移未知量(i＝1、2、…、n)；K ij为基本结构仅由于Δj＝1(j＝1、2、…、n)在附加约束i中产生的约束力，为基本结构的刚度系数；R ip、R it、R ic分别为基本结构仅由荷载、温度变化、支座位移作用，在附加约束i中产生的约束力，为位移法典型方程的自由项。

位移法典型方程(4—11)表示静力平衡方程。

其中第一个方程表示基本结构在n个未知结点位移、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下，第一个附加约束中的约束力等于零；第二个方程表示基本结构在n个未知结点位移、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下，第二个附加约束中的约束力等于零。

其余各式的意义可按此类推。

各未知结点位移的大小和方向必须受位移法典型方程的约束，各结点位移与平衡条件是一一对应的，故满足位移法典型方程的各未知结点位移的解是唯一真实的解。

(三)系数和自由项的计算
位移法典型方程中的系数和自由项都是附加约束中的反力，它们都可按上述各自的定义，利用各杆的刚度系数、固端弯矩、固端剪力由平衡条件求出。

对于基本结构由支座位移引起的固端力，也可由杆件的刚度系数求得。

位移法典型方程中的系数K ii称为主系数，它们恒为正值；K ij(i≠j)称为副系数，它们可为正值、负值、也可为零，根据反力互等定律，有K ij＝K ji；各自由项的值可为正
值、负值，也可为零。

(四)计算结构的最后内力
由位移法典型方程求出各未知节点位移Δi后，便可由叠加原理计算结构的最后内力：
(4—12) 式中 M i、V i、N i分别为Δi＝1引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力；M p、M t、M c、V p、V t、V c、N p、N t、N c、分别为基本结构由荷载、温度变化、支座位移引起的弯矩、剪力、轴力。

对梁和刚架，通常是先根据式(4—12)中的第一式求出各杆端弯矩，再用直杆弯矩图的叠加法作出各杆弯矩图，然后根据弯矩图由静力平衡条件求出各杆端剪力和轴力，并据此作出剪力图和轴力图。

在位移法的具体计算方法方面，除了上述基本体系与典型方程法外，还可直接通过建立结点和截面的平衡方程，得到位移法基本方程。

位移法不仅可以计算超静定结构的内力，也可以计算静定结构的内力。

[例4－2] 用位移法计算并绘制图4—9a所示刚架的M图。

图4－9
[解] 此刚架B点左边为静定悬臂梁，B端的弯矩是静定的，故原结构ABCD部分的内力与图4—9b所示结构是相同的。

图4—9b所示刚架有两个结点位移未知量Δ1、Δ2。

基本结构的M1、M2、Mp图分别如图4—9c、d、e所示，图中i＝EI／4。

分别取图4—9c、d、e结点C的隔离体，并由该隔离体的平衡条件∑M＝0，得
分别取图4—9d、e柱顶以上部分为隔离体，并由隔离体的平衡条件∑X＝0，得
于是位移法典型方程为
解得
求得的Δ1、Δ2均为正，表示假定的Δ1、Δ2的方向与位移的实际方向是一致的。

由M＝M1Δ1＋M2Δ2＋M p求出各杆端弯矩后，就可绘出图4—9f所示的弯矩图。

[例4—3] 用力矩分配法求作图4—12a所示刚架的弯矩图，并根据弯矩分配法的概念求结点A的转角θA。

各杆EI相同。

[解]
(1)在结点A处设置附加转动约束，按表4—1计算各杆固端弯矩。

将各固端弯矩值填写在相应杆端处，并在其下绘一横虚线(图4—12b)。

(2)计算S、μ、C
设i＝EI／8，则
将各分配系数记在图4—12b中的相应截面处。

(3)弯矩分配和传递
将结点A上的固端弯矩代数和反号(即—M j)，按式(4—14)进行弯矩分配得各截面的分配弯矩，并在每一分配弯矩下绘一横实线，然后将分配弯矩按传递系数传至杆件的另一端。

计算过程示于图4—12b。

(4)求最后杆端弯矩并作M图
将各杆端截面的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩叠加，即得各杆最后杆端弯矩，如图4—12b中绘双实线的数值。

M图如图4—12c所示。

(5)求结点A的转角θA
根据变形协调条件，结点A的转角与相交于结点A的AB、AC、AD杆的A端截面转角是相同的，由弯矩分配法或杆件转动刚度的概念，可知
由力矩分配法的概念可知，若单结点连续梁(或刚架)结点处的固端弯矩代数和等于零，则该结点不会产生转动，也就不存在分配弯矩。

图4－12
八、等截面直杆的转动刚度及弯矩传递系数
转动刚度S AB 表示AB 杆的A 端抵抗转动的能力，其值等于A 端转动单位转角时A 端所需施加的力矩，力矩值的大小与B 端的约束情况及杆件的弯曲刚度有关。

图4—10a 、b 、c 所示三种等截面直杆的转动刚度示于图中。

图4－10
力矩传递系数C AB表示AB杆A端转动θ时，B端的弯矩M BA与A端的弯矩M AB之比，即
(4—13)
其数值与B端的约束情况有关。

图4—l0a、b、c所示三种等截面直杆的传递系数都表示在图中的相应位置。

九、结点无线位移的单结点连续梁或刚架的力矩分配法
图4－11
力矩分配法的原理是位移法。

当结点无线位移的单结点连续梁或刚架在结点A处受顺时针方向的力矩M j作用时(图4—11)，用位移法可求得结点A的转角θA为
相交于结点A的杆端截面的分配弯矩为
即任一杆端截面的分配弯矩的一般表达式为
(4—14) 任一杆端截面的弯矩分配系数的一般表达式为
(4—15) 这时AB杆B端的传递弯矩为
对结点无线位移的单结点连续梁(或刚架)在结点力矩这一特殊情况下，上述各截面的分配弯矩和传递弯矩，就是各截面的最终弯矩。

在力矩分配法中，杆端弯矩的正、负号规定与位移法相同。

【例 11 - 4 - 4 】用力矩分配法求作图 11 – 4-13a 所示刚架的弯矩图，并根据弯矩分配法的概念求结点 A 的转角θA。

各杆 EI 相同。

【解】（ 1 ）在结点 A 处设置附加转动约束，按表 1 卜 41 计算各杆固端弯矩。

将各固端弯矩值填写在相应杆端处，并在其下绘一横虚线（图 11-4 - 13b ）
将各分配系数记在图 11 - 4 - 13b 中的相应截面处。

十、对称性的利用
结构的形状、支承条件和刚度(材料性质和截面)等都对称于某根轴线时称为对称结构。

对称结构在正对称荷载作用下其内力和变形是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和变形是反对称的。

据此，在结构分析中，可利用结构的对称性，以简化计算。

(一)选取对称的基本体系
对称结构选取对称的基本体系后，可使计算得到如下的简化。

1．对称结构受任意荷载作用下，选取对称的基本体系后，力法典型方程分解为独立的两组，其中一组只含正对称未知力，另一组只含反对称未知力。

2．对称结构在正对称荷载作用下，选取对称基本体系后，反对称的未知力等于零，只需求解正对称的未知力。

如图4—13a所示结构，选取图4—13b所示对称基本体系，反对称未知力X3 = 0，X4 = 0。

3．对称结构在反对称荷载作用下，选取对称基本体系后，正对称未知力等于零，只需求解反对称未知力。

如图4—14a所示结构，选取图4—14b所示对称基本体系，正对称未知力X1 = 0，X2 = 0。

对称结构在任意荷载作用下，有时也可将荷载分解成正对称和反对称两种，再分别利用上述第2、3点简化结论进行计算，然后将两种结果叠加得原结构的最后解。

图4－13
图4－14
(二)半结构法
利用对称结构在对称轴处的受力和变形特点，可截取结构的一半，以简化计算。

1．奇数跨对称结构
图4—15a所示奇数跨对称结构受正对称荷载作用，横梁跨中截面的反对称剪力为0，且该截面的反对称转角为零，故可取图4—15b所示的半结构进行计算。

图4—16a所示奇数跨对称结构受反对称荷载作用，横梁跨中截面的对称未知力为0，且该截面的对称竖向位移为零，故可取图4—16b所示的半结构计算。

其他三跨、五跨等奇数跨对称结构(单层或多层)均可按此取相应的半结构计算。

图4－15
（a）（b）
图4－16
（a）（b）
图4－17
2．偶数跨对称结构
图4—17a所示对称结构受正对称荷载作用，若不计杆件的轴向变形，则横梁中间结点不产生线位移及角位移，中间的竖柱不产生弯矩和剪力，故可取图4—17b所示的半结构计算。

至于中间竖柱的轴向力，可根据半结构中相应支座的竖向反力的2倍来确定。

图4—18a所示结构，中间竖杆的两端结点能产生相同的竖向线位移，但不能产生反对称转角，也不会产生水平线位移，中间竖杆就不会产生弯曲变形，这相当于该杆的弯曲刚度EI= ∞。

因此可取图4—18b所示的半结构计算。

图4—19a所示对称结构受反对称荷载作用，可取图4—19b所示的半结构计算。

其他四跨、六跨等偶数跨对称结构(单层或多层)，均可按此取相应的半结构图计算。

（a）（b）
图4－18
（a）（b）
图4－19
【例 11 - 4 -5】图 11 - 4 - 21a 所示对称结构受两个结点水平荷载护作用，同时 CE 杆有制造误差-λ（缩短），刀 F 杆有制造误差＋λ（伸长），试利用对称性用力法求出 CE 、 DF 杆的轴向力，并作出受弯杆的弯矩图。

【解】（ l ）选取力法基本体系。

本例为对称结构受反对称荷载及反对称杆件制造误差作用，为简化计算，可选取图 11-4-21b 所示的力法基本体系，其中反对称未知力X1= - X2，对称未知力 X3 = 0。

( 2 ）力法典型方程为
此典型方程的物理意义为；基本体系在多余未知力 X1= - X2、荷载 P 及杆件制造误差同作用下， CE 杆和 DF 杆截口处的截面沿多余未知力 X1= - X2方向的轴向位移之和于零。

本例及例11-4-1，等的计算结果表明，超静定结构在荷载作用下的内力，与各杆的EI 、EA 的相对比值有关，而与各杆的EI 、EA 的绝对值无关。

但超静定结构在温度变化、杆件制造误差、支座位移等非荷载作用下，其内力与各杆EI 、EA 的绝对值有关。

【 例 11 - 4 -6 】 试利佣闯闹砸用力矩分配法求作图 n4 一 22a 所示连续梁的弯矩图。

( 2 ）计算固端弯矩
( 3 ）计算弯矩分配系数
将求得的固端弯矩和分配系数记入图 11-4-22b 的相应位置。

( 4 ）弯矩分配和传递的过程见图 11-4 - 22b 所示。

经叠加后即可得各杆端的最
后弯矩。

( 5 ）根据上面求出的各杆端弯矩作出的弯矩图如图 11-4 - 22 c所示。

十一、超静定结构的特性
超静定结构有下面几点主要特性
(一)同时满足超静定结构的平衡条件、变形协调条件和物理条件(力与变形的对应
关系)的超静定结构内力的解是唯一真实的解。

力法和位移法的解题方法虽然不同，但在这两个基本方法中，却都综合应用了结构的平衡条件、几何条件和物理条件。

(二)超静定结构在荷载作用下的内力与各杆EI、EA的相对比值有关，而与各杆EI、EA的绝对值无关。

因此，在设计超静定结构之前，必须预先假定各杆的截面尺寸、选定材料的类别。

待内力求出后，再复核截面尺寸，若截面尺寸不合理，还要重复计算。

另外，也可以通过改变各杆刚度比值的办法来达到调整结构内力分布的目的。

(三)超静定结构在非荷载因素(温度变化、杆件制造误差、支座位移等)作用下会产生内力(这种内力状态有时称为自内力状态)，且这种内力与各杆EI、EA的绝对值有关(成正比)。

因此，为了提高结构对温度变化、支座位移等因素的抵抗能力，增大结构截面尺寸并不是有效的措施，为了减小自内力的不利影响，可以采用设置温度缝、沉降缝等构造措施。

(四)超静定结构由于存在多余约束，故它与相应的静定结构比较而言，超静定结构的内力分布较为均匀，刚度和稳定性都有所提高。