第2章 傅里叶变换
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这是因为 xe (n) xo (n) [ xer (n) xor (n)] j[ xei (n) xoi (n)]
其中，xer (n)为实偶函数， xor (n)为实奇函数，它们 之和可构成任何序列的 实部；xei (n)为实偶函数， xoi (n)为实奇函数，它们 之和可构成任何序列的 虚部。故有所证 .
1
j
1 例:求矩形窗的频率响应. h(n) RN (n) 0
0 n N 1 其他n
H (e ) n h(n)e
j j
j n
N 1 j n n0
e
1 e j N 1 e j
N N j j n 2 2 2 e e e sin j ( N 1) 2 e 2 j j j 2 2 2 sin e e e 2
j
1 ( w wc ) H (e ) ( wc w 0 其中wc 截止频率.
jw
1
2
c 0 c
2
1 h( n) 2
H (e
j
)e
j n
1 d 2
e
c
c
j n
sin c n d n
理想低通滤波器频带有限，但为非因果且不稳定系 统，是物理不可实现的。
注意: X (e
j ( ) 2
) X (e 2 )
j
2.2 线性移不变系统的频率响应
一.离散系统对复指数序列 e jwn 的响应 设输入序列 x(n) e jwn，则
y ( n) h( n) * x ( n)
k jw( n k ) h ( k ) e jwk h ( k ) e
1 jwn jwn 因为 x(n) cos( wn) [e e ] 2
利用上面的结论可得
1 y (n) [ H (e jw )e jwn H (e j ( w) e jwn ] 2
设x(n)为实序列， 则
y ( n) H (e jw ) cos[ wn ( w)]
j 2
n
1 x ( n) 2
2
X (e ) d
1 1 例：一个线性时不变系统，有 h(n) (n) (n 1) (n 2) 2 2 j 1、求 H (e )
2、当 x(n) 5cos
n 时，求 y (n) 4
1 1 jw j w n 解：1、 H(e ) n h(n)e n [ δ(n)δ(n 1) δ(n 2)]ej w n 2 1 1 1 1 e j w e 2 j w e j w(1 ej w e j w ) 2 2 2 2 w e j w(1 cosw) 2ej wcos2 2 2
Y (e jw ) X (e jw ) H (e jw )
输出信号的频谱是输入信号频谱和系统频率响应的乘积.( 时域卷积定理) 2.频域卷积定理
如果两个序列的时域乘积为 y(n) x(n) h(n) ,则其频域表示为:
1 Y (e ) 2
jw
X (e j ) H (e j ( w ) )d
2 I
jw
1
2
系统频率响应 H (e jw ) ，以及相应的幅频响应和相 频响应都是数字角频率W的连续函数，而且是以2 为周期的周期函数。
2.3 傅里叶变换的性质 1.时域卷积定理 1. 如果一个线性时不变稳定系统的单位取样响应是h(n),其频率 响应是 H (e jw ) ;该系统的输入序列是x(n),频谱是 X (e jw ) , jw 则该系统的输出序列y(n)的频谱 Y (e ) 是
n
n
y( n ) x ( n ) h ( n )
或者由卷 积运算， 得：
n 1 1 5 cos *[ (n ) (n 1) (n 2)] 4 2 2 5 n (n 1) 5 (n 2) cos 5 cos cos 2 4 4 2 4 (n 1) (n 1) 5 cos cos 5 cos 4 4 4 (n 1) 5 (1 cos ) cos 4 4
y(n) 4.0928cos(0.05n 0.5377 ) 4.0928cos[0.05 (n 3.42)]
态
响应为：
这就是说，在输出端该正弦被放大4.0928倍，移位了3.42个
样本。Matlab仿真验证如下：
二.离散系统频率响应
H (e jw ) 是一复数，它可以写成如下形式：
对序列x(n) xe (n) xo (n)进行运算，则 x* ( n) xe ( n) xo ( n) xe (n) xo (n) 相加，则 1 xe (n) [ x(n) x* ( n)] 2 相减，则 1 xo (n) [ x(n) x* ( n)] 2
xo ( n )
1
1 2
0
1 2
1
2
N 1
n
二、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量共轭反对称分量之和
X (e j ) X e (e j ) X o (e j )
j 其中， X e (e )
1 [ X (e j ) X * (e j )] 2 1 X o (e j ) [ X (e j ) X * (e j )] 2
第2章
2.1 傅里叶变换 1.正变换:
傅里叶变换
F [ x(n)] x(e j )
n
jn x ( n ) e ,
收敛条件为： x ( n)
n
2.反变换:
F [ X (e )] x(n) 1 j jn x(e )e d 2
由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号的 jw H ( e ) 倍，相移 响应为同频正弦信号，其幅度放大 增加 ( w) ，这就是频率响应函数的物理意义。
H (e jw ) 当系统的频率响应为： ，在稳态下，输入是 1 0.8e jw
1
x(n) cos(0.05n) ，其频率为 w0 0.05 ,0 0 ，经过系统的稳
根据定义，则 xor (n) xor (n); xoi (n) xoi (n) 这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数）， 而虚部是偶对称序列（偶函数）。
*特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。
3、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和
即x(n) xe (n) xo (n)
k h(k )e j0 ( n k ) e
j0 n j0 k h ( k ) e k
e j0 n H (e j0 )
帕斯瓦尔定理
1 x ( n ) y *( n ) n 2
X (e j )Y *(e j )d
H (e jw ) H R (e jw ) jH I (e jw ) H (e jw ) exp j arg H (e jw )
其中系统频率响应的幅值和相位分别是：
H (e ) H (e ) H (e )
jw 2 R jw
arg[H (e jw )] arctanH I (e jw ) / H R (e jw )
两个相乘序列的傅氏变换是各自的傅氏变换的卷积
对于线性时不变系统，若输入序列为 x(n) e j n
0
j0 n j0 y ( n ) e H ( e ) (复指数序列)，则
y ( n) x ( n) h( n) h( n) x ( n) k h(k ) x(n k )
x o (n ) x or (n ) jx oi (n ) x* o ( n ) x or ( n ) jx oi ( n ) x* o ( n ) x or ( n ) jx oi ( n ) x* o ( n ) x or ( n ) jx oi ( n )
e jwn
jw H ( e ) 如果令
k
k
jwk h ( k ) e
系统的频率响应
jwn jw y ( n ) e H ( e ) 则输出
输出序列仍是输入序列同频率的复指数序列，只是幅值和相位发生变化
例：求正弦信号 x(n) cos(wn) 的稳态响应。
N
由该式可得矩形窗的幅频响应和相频响应分别为:
H (e jw ) sin(wN / 2) / sin(w / 2) sin(wN / 2) arg H (e ) w( N 1) / 2 arg( ) sin(w / 2)
jw
例:一个理想低通滤波器的频率响应如下,试求该 系统的单位取样响应. H (e )
* *x(n)Leabharlann 例如 x(n) RN (n)
-1 0 1 2
N 1
n
xe (n)
1 1 x(n) x *(n) RN (n) RN (n) 2 2
xe ( n )
1
12
-1 0 1 2
N 1
n
1 1 xo (n) x(n) x *(n) RN (n) RN (n) 2 2
xe* (n) xer (n) jxei (n)
xer (n) xer (n); xei (n) xei (n)
这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚 部是奇对称序列（奇函数）。 *特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。
2.共轭反对称序列
设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)，则称序列为共轭 反对称序列。同样有：
j 例:若x(n)为因果序列，且记 F [ x(n)] X (e ) ， 求 F [ x(2n)] ？
F [ x(2n)] n 0 x(2n)e j n
x(0) x(2)e j x(4)e j 2 x(6)e j 3
j n 1 n n 0 [ x( n) ( 1) x( n)]e 2 2 j n j n 1 1 n 0 x( n)e 2 n 0 x( n)( 1) n e 2 2 2 j j ( ) n 1 1 X ( e 2 ) n 0 x ( n)e 2 2 2 j j ( ) 1 1 X (e 2 ) X (e 2 ) 2 2
2、
n j n 5 j n4 4 x(n) 5cos e e 4 2
0 0
j n j 根据复指数序列通过线性时不变性质 y(n) e H (e )
，有：
j j j 5 j4 4 4 y ( n ) (e H (e ) e H (e 4 ) 2 n n j j( ) 5 j 4 j4 4 4 (e e (1 cos ) e e (1 cos )) 2 4 4 (n 1) 5 (1 cos ) cos 4 4
傅立叶变换的对称性质
一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)，则称序列为共轭对称 序列。下面分析它们的对称关系。 设序列 xe (n) xer (n) jxei (n) 其中 xer (n)和xei (n) 分别表示的实部 和虚部。对其两边取共轭，则 xe* (n) xer (n) jxei (n) 再将-n代入，则 根据定义，则
其中，xer (n)为实偶函数， xor (n)为实奇函数，它们 之和可构成任何序列的 实部；xei (n)为实偶函数， xoi (n)为实奇函数，它们 之和可构成任何序列的 虚部。故有所证 .
1
j
1 例:求矩形窗的频率响应. h(n) RN (n) 0
0 n N 1 其他n
H (e ) n h(n)e
j j
j n
N 1 j n n0
e
1 e j N 1 e j
N N j j n 2 2 2 e e e sin j ( N 1) 2 e 2 j j j 2 2 2 sin e e e 2
j
1 ( w wc ) H (e ) ( wc w 0 其中wc 截止频率.
jw
1
2
c 0 c
2
1 h( n) 2
H (e
j
)e
j n
1 d 2
e
c
c
j n
sin c n d n
理想低通滤波器频带有限，但为非因果且不稳定系 统，是物理不可实现的。
注意: X (e
j ( ) 2
) X (e 2 )
j
2.2 线性移不变系统的频率响应
一.离散系统对复指数序列 e jwn 的响应 设输入序列 x(n) e jwn，则
y ( n) h( n) * x ( n)
k jw( n k ) h ( k ) e jwk h ( k ) e
1 jwn jwn 因为 x(n) cos( wn) [e e ] 2
利用上面的结论可得
1 y (n) [ H (e jw )e jwn H (e j ( w) e jwn ] 2
设x(n)为实序列， 则
y ( n) H (e jw ) cos[ wn ( w)]
j 2
n
1 x ( n) 2
2
X (e ) d
1 1 例：一个线性时不变系统，有 h(n) (n) (n 1) (n 2) 2 2 j 1、求 H (e )
2、当 x(n) 5cos
n 时，求 y (n) 4
1 1 jw j w n 解：1、 H(e ) n h(n)e n [ δ(n)δ(n 1) δ(n 2)]ej w n 2 1 1 1 1 e j w e 2 j w e j w(1 ej w e j w ) 2 2 2 2 w e j w(1 cosw) 2ej wcos2 2 2
Y (e jw ) X (e jw ) H (e jw )
输出信号的频谱是输入信号频谱和系统频率响应的乘积.( 时域卷积定理) 2.频域卷积定理
如果两个序列的时域乘积为 y(n) x(n) h(n) ,则其频域表示为:
1 Y (e ) 2
jw
X (e j ) H (e j ( w ) )d
2 I
jw
1
2
系统频率响应 H (e jw ) ，以及相应的幅频响应和相 频响应都是数字角频率W的连续函数，而且是以2 为周期的周期函数。
2.3 傅里叶变换的性质 1.时域卷积定理 1. 如果一个线性时不变稳定系统的单位取样响应是h(n),其频率 响应是 H (e jw ) ;该系统的输入序列是x(n),频谱是 X (e jw ) , jw 则该系统的输出序列y(n)的频谱 Y (e ) 是
n
n
y( n ) x ( n ) h ( n )
或者由卷 积运算， 得：
n 1 1 5 cos *[ (n ) (n 1) (n 2)] 4 2 2 5 n (n 1) 5 (n 2) cos 5 cos cos 2 4 4 2 4 (n 1) (n 1) 5 cos cos 5 cos 4 4 4 (n 1) 5 (1 cos ) cos 4 4
y(n) 4.0928cos(0.05n 0.5377 ) 4.0928cos[0.05 (n 3.42)]
态
响应为：
这就是说，在输出端该正弦被放大4.0928倍，移位了3.42个
样本。Matlab仿真验证如下：
二.离散系统频率响应
H (e jw ) 是一复数，它可以写成如下形式：
对序列x(n) xe (n) xo (n)进行运算，则 x* ( n) xe ( n) xo ( n) xe (n) xo (n) 相加，则 1 xe (n) [ x(n) x* ( n)] 2 相减，则 1 xo (n) [ x(n) x* ( n)] 2
xo ( n )
1
1 2
0
1 2
1
2
N 1
n
二、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量共轭反对称分量之和
X (e j ) X e (e j ) X o (e j )
j 其中， X e (e )
1 [ X (e j ) X * (e j )] 2 1 X o (e j ) [ X (e j ) X * (e j )] 2
第2章
2.1 傅里叶变换 1.正变换:
傅里叶变换
F [ x(n)] x(e j )
n
jn x ( n ) e ,
收敛条件为： x ( n)
n
2.反变换:
F [ X (e )] x(n) 1 j jn x(e )e d 2
由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号的 jw H ( e ) 倍，相移 响应为同频正弦信号，其幅度放大 增加 ( w) ，这就是频率响应函数的物理意义。
H (e jw ) 当系统的频率响应为： ，在稳态下，输入是 1 0.8e jw
1
x(n) cos(0.05n) ，其频率为 w0 0.05 ,0 0 ，经过系统的稳
根据定义，则 xor (n) xor (n); xoi (n) xoi (n) 这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数）， 而虚部是偶对称序列（偶函数）。
*特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。
3、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和
即x(n) xe (n) xo (n)
k h(k )e j0 ( n k ) e
j0 n j0 k h ( k ) e k
e j0 n H (e j0 )
帕斯瓦尔定理
1 x ( n ) y *( n ) n 2
X (e j )Y *(e j )d
H (e jw ) H R (e jw ) jH I (e jw ) H (e jw ) exp j arg H (e jw )
其中系统频率响应的幅值和相位分别是：
H (e ) H (e ) H (e )
jw 2 R jw
arg[H (e jw )] arctanH I (e jw ) / H R (e jw )
两个相乘序列的傅氏变换是各自的傅氏变换的卷积
对于线性时不变系统，若输入序列为 x(n) e j n
0
j0 n j0 y ( n ) e H ( e ) (复指数序列)，则
y ( n) x ( n) h( n) h( n) x ( n) k h(k ) x(n k )
x o (n ) x or (n ) jx oi (n ) x* o ( n ) x or ( n ) jx oi ( n ) x* o ( n ) x or ( n ) jx oi ( n ) x* o ( n ) x or ( n ) jx oi ( n )
e jwn
jw H ( e ) 如果令
k
k
jwk h ( k ) e
系统的频率响应
jwn jw y ( n ) e H ( e ) 则输出
输出序列仍是输入序列同频率的复指数序列，只是幅值和相位发生变化
例：求正弦信号 x(n) cos(wn) 的稳态响应。
N
由该式可得矩形窗的幅频响应和相频响应分别为:
H (e jw ) sin(wN / 2) / sin(w / 2) sin(wN / 2) arg H (e ) w( N 1) / 2 arg( ) sin(w / 2)
jw
例:一个理想低通滤波器的频率响应如下,试求该 系统的单位取样响应. H (e )
* *x(n)Leabharlann 例如 x(n) RN (n)
-1 0 1 2
N 1
n
xe (n)
1 1 x(n) x *(n) RN (n) RN (n) 2 2
xe ( n )
1
12
-1 0 1 2
N 1
n
1 1 xo (n) x(n) x *(n) RN (n) RN (n) 2 2
xe* (n) xer (n) jxei (n)
xer (n) xer (n); xei (n) xei (n)
这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚 部是奇对称序列（奇函数）。 *特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。
2.共轭反对称序列
设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)，则称序列为共轭 反对称序列。同样有：
j 例:若x(n)为因果序列，且记 F [ x(n)] X (e ) ， 求 F [ x(2n)] ？
F [ x(2n)] n 0 x(2n)e j n
x(0) x(2)e j x(4)e j 2 x(6)e j 3
j n 1 n n 0 [ x( n) ( 1) x( n)]e 2 2 j n j n 1 1 n 0 x( n)e 2 n 0 x( n)( 1) n e 2 2 2 j j ( ) n 1 1 X ( e 2 ) n 0 x ( n)e 2 2 2 j j ( ) 1 1 X (e 2 ) X (e 2 ) 2 2
2、
n j n 5 j n4 4 x(n) 5cos e e 4 2
0 0
j n j 根据复指数序列通过线性时不变性质 y(n) e H (e )
，有：
j j j 5 j4 4 4 y ( n ) (e H (e ) e H (e 4 ) 2 n n j j( ) 5 j 4 j4 4 4 (e e (1 cos ) e e (1 cos )) 2 4 4 (n 1) 5 (1 cos ) cos 4 4
傅立叶变换的对称性质
一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)，则称序列为共轭对称 序列。下面分析它们的对称关系。 设序列 xe (n) xer (n) jxei (n) 其中 xer (n)和xei (n) 分别表示的实部 和虚部。对其两边取共轭，则 xe* (n) xer (n) jxei (n) 再将-n代入，则 根据定义，则