初中一元二次方程讲解

23.1 一元二次方程

类型1、一元二次方程的概念解题要点：

（1）若一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是

2，三个条件缺一不可。

（2）有些方程需要先整理，再判断。

（3）分母中含有未知数或根号下含有未知数的方程均不是一元二次方程。题型1、一元二次方程的判别例1．下列是一元二次方程的是（

）

A ．3

22

x x

B ．

21

52

x

x C ．2

)2)(1(x

x x D ．)

1(2)

1(2

t t t 例2．下列方程哪些是一元二次方程？指出它们的序号。

（1）012

x

（2）2

11

12

x x ；

（3）01

2

y x ；

（4）0

12

3

x

x

（5）4

6)

53(22

x x

x （6）5

)

3)(2(x

x

题型2、利用一元二次方程的概念求字母的值。例3．方程013)2(||mx x m

m 是关于x 的一元二次方程，则（

）

A ．2

m

B ．2

m

C ．2

m

D ．2

m

例4．关于x 的方程232

2

mx

x

x

mx

是一元二次方程的条件是什么？

题型3、利用一元二次方程的概念求不等式的解集例5．若03

52

x ax

是一元二次方程，且a 满足不等式06

3a

，则a 的取值范围是（）

A ．2

a

B ．2

a

C ．2a

且0

a

D ．2

1a

（1）一元二次方程一般形式的特点是：方程左边是按未知数降幂排列的整式，右边是0，并且在通常情况

下，左边各项系数不含有公约数。（2）先化为一般形式：

02

c

bx ax

，后确定各项系数和常数项，一般形式中

0a

，b 、c 可以等于0。

（3）在应用时，如果求各项系数，不要漏掉前面的符号。题型1、化方程为一元二次方程的一般形式例6．把方程2)

23)(12(2

y

y y 化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数，一次项系数、

常数项。

题型2、利用一元二次方程的隐含条件解题例7、a 为何值时，关于

x 的方程04

)3()3(1

|

|x

a x a a ，(1)是一元一次方程？

(2)是一元二次方程？

例8、方程08)4(2

|

|a

x

x a

a 是一元二次方程，指出其二次项系数、一次项系数及常数项。

例9、若一元二次方程

0)

32()8(22

k

x k x 的二次项系数、一次项系数及常数项之和为

5，求k 的值。

（1）根必须满足两个条件：①未知数的值；②必须使方程左右两边相等。

（2）用代入法验证一个数值是否为一元二次方程的解时，只要看方程左右两边是否相等即可。题型1、判断一元二次方程的根例10．下列哪些数是一元二次方程

342

x

x

的根？

3，2，1，0，1，2，3，4

题型2、由一元二次方程的根求未知数的值。例11、关于x 的一元二次方程

01

)1(2

2

a

x

x a 的一个根是0，求a 的值。

例12、已知2x ，6x 是关于x 的一元二次方程

02

b

ax x

的根，求a 和b 的值。

题型3、由一元二次方程的根求代数式的值。例13、已知1x

是一元二次方程

0402

bx

ax

的一个根，且

b a ，求

b

a b

a

222

2

的值。

例14、已知a 是方程0120102

x

x

的一个根，试求

1

201020092

2

a

a

a

的值。

题型4、已知两方程有公共根，求代数式的值。例15、已知关于x 的方程02

q

px

x 与)(02

q p

p

qx

x 有一个公共根，求

2009

)

(q p

的值。

类型4、列一元二次方程解题要点：

一元二次方程一般源于实际生活中的问题，解决问题的关键是先列出一元二次方程，列方程时需注意的两个方面：

（1）设一个未知数x ，由其他未知量与这个未知数的关系，用x 表示其他量。

（2）寻找以上各量间的等量关系，一般为积的关系或平方差与平方和的关系，根据此关系列出一元二次

方程。

例16、已知一个长方体粉笔盒的体积为

750cm 3

，高为6cm ，底面的长比宽多

5cm ，若设这个粉笔盒的底

面的宽为x cm ，请根据题意列出方程，并将其他为一般形式。

例17．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入

木板的钉子的长度后一次与前一次的比值为

k (10

k

)，已知一个钉子受击三次后恰好全部进入木

板（铁钉在第二次受击后未入木板的部分足够长），且第一次受击后进入木板的钉长度是钉长的

74，

设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的方程是（

）

A ．

174747

42

k

k

B ．

17

47

4k C ．174742

k

k

D ．

1

7

87

4k