解析几何中的定点问题

解析几何中的定点问题在求解析几何中的定点问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点，做题的专注提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度，解过程中往往伴随复杂的运算。

实质度，以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。

解析几何中的定点问题的求解，就是等式恒成立问题的求解。

.直线中的定点问题一
03??2ay?(a?1)x R a?ll，直线1. 已知，求直线：经过的定点的坐标例??03?xa(x?2y)??R??a 知，，解：由3?x?0?2y?x??，解得：??303?x??y???2?3)（?3,l经过定点所以直线
2??2,3P0c??by?axa,b,c a2?b?cll的变式：已知实数：作直线，过点，直线满足OMOM，的最大值垂线，垂足为为坐标原点，求线段0c?ax?by?a2b?c?因为，解：
0?ax?(2a?c)y?c，所以R0y?1)?，?a,c?a（x?2y)?c(?即2x?2y?0x????所以，解得
??1?y?1?0?y??2????22,1?52x??y?PQ lM Q上，为直径的圆所以直线经过定点，点在以52?OM由几何性质知．的最大值为 .圆中的定点问题二CCCC F)0(F1,的一个的右顶点，椭圆椭圆为双曲线的右焦点且例2.已知与双曲线2112332)(,PFPMQy，试问交点是若点．[]交是双曲线右支上的动点，直线轴于点33PQ为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论．以线
段222yyx2CC1x1????，双曲线：解由题意设椭圆的方程是的方程是，21222bab211
3?438?48MF?a?MF222??则，=211332x22a?C?1b1y??的方程是，∴，椭圆，111214222C1?yx?1??1b?M，在双曲线上得：，所以双曲线的方程是由点，得222b332
y220(x?1y?)）P（xy,PF1y??x得线为的，设则方程直，00200x?10yy00)?Q （0,），，1?Q），?（x1，yF?（?P?F，1010x?1x?100页 1 第
，10)F(?PQ点．∴以线段定为直径的圆恒过1224?y?C:(x?1)COA上任变式1：已知圆，为平面内一定点，对于圆为坐标原点，POPA?2P求点A意一点的坐标，都有
2222)y?n)4(x?(x?m)?(y?)A(m,n),P(x,y PO2PA? ,由，解：设，得
22222203?x?y?2?mx3x?3y?2?2ny?m?n?0x，又因为化简得：，220m?n??(2m?6)x?2ny9?，因为对任意的所以x,y恒成立，03?,nm?. 所以)03，A(所以2222?)?3y?1C:(x??（y?4）1C:(x?1)C，圆：已知圆变式，若动圆2同时平分21CC C若不经过，请说圆和圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；的周长，则动圆21明理由。

CC?CC),yC（x,
解：设圆心，由题意得：212222?y)??4)1?(x(?3)x?(y03??x?y即整理得：
0?x?y?3. 即圆心在直线上运动)C(m,3?m设222)?(3?,m?1?（CC)?1?(m1)则动圆的半径为：12222)?)?(y?3?m)?1?(m1)?(3?m?(xm的方程为：所以动圆C22R??0,m??2m(x?y?1)yx?y?6?2即??2233??1?x?1x??0??yx?1???22或解得：由
???220y??6y?2?x2323????2yy?2????22??22322333）?）（1?（1?，2，2?过定点即动圆C，2222.圆锥曲线中的定点问题（常化归为直线中定点问题）三（一）椭圆中相关定点问题22yx1)?0(a?bC:??1,O椭圆的短半轴以原点已知椭圆例3. 的离心率为为圆心，222ba06?x?y?xB,A CP轴对称的长为半径的圆与直线4，0），是椭圆相切。

设上关于（xQ CAEEPB于另一点轴交于定点，证明：直线。

任意两个不同的点，连结与交椭圆1c,?e?:ZXXK][解：由题意知来源2a22yx.?1?CPBPB的方程为的斜率存在，设直线故椭圆由题意知直线的方程为34).4x?ky?(
).yx(,?A),y,(),y,(BxEx则设点111122页 2 第
y?y12).xxy?y??(AE的方程为直线22x?x12)xx?x?4(2x2211?x整理，得②
8x?x?212212k?64k32??xxx?x,由①得代入②
2211223k?k?3441x?.
整理，得
xQ AE.
0）（所以直线1与，轴相交于定点22yx)?0a?b??1(FF)，2M(0是椭圆的左、右焦点分别为变式1：已知椭圆，点，2122baMF?FBA,MA,MB M两点，分别作直线的一个顶点，过点交椭圆于是等腰直角三角形．218?kk?kk,AB.
，探究直线，且设两直线的斜率分别为是否过定点212122MF?F2b?ac，解：因为是等腰直角三角形，所以＝＝，2，所以2122yx??1. 故椭圆的方程为84A(x,x),B(x,y)m?kx?y AB AB的方程为①若直线，的斜率存在，设直线212222?yx?1??222?8?0kmx?21?2km)x?4（y，得，消去联立方程得，，48??y?kx?m?2?m824km,xx?x?x??. 则
2121221?2k1?2ky?2y?212??k?8k?由题知
21xx21kx?m?2kx?m?2x?x212182)?2k?(m???8所以. ，即
xxxx2211mk1k??4m?k?2.
所以，整理得m?2211y?kx?k?2y?k(x?)?2AB.
的方程为故直线，即221（?，?2）AB过定点所以直线.
2x?x,A(x,y),B(x,?y)ABAB，的方程为②若直线的斜率不存在，设直线00000y?2?y?200??8，则由题知xx00111?x??2，?）x?（?ABAB.
得过点此时直线.，显然直线的方程为02221）?，2?（AB. 过定点综上可知，直线2页 3 第
22yx33，P(),?1，P(1，)11),P(0，1),P()?01(a?b??C四点2：已知椭圆，：，变式12342222baAPPBA,Cl C与直线两点．若直线不经过相交于中恰有三点在椭圆点且与上．设
直线22BP l，证明：直线过定点．的斜率的和为－12P,PPP,yC经过轴对称，故由题设知椭圆两点关于证明：由于两点．43343111P???C不经过点知，椭圆又由，
12222b4baaP C在椭圆所以点上．21?1??2?4a?2??b因此解得??312?1b???1???
22a4b?2x21??y C的方程为故椭圆. 4kk,PAPB.
与直线设直线的斜率分别为2212xB,|t|?2At?0,t?l:xl为若别与的轴垂直，设坐标，可题，由设知得分2222?2?tt4?t?4?t244????k?k?（1)t,),（t,?，，则
212t222t2?t得，不符合题设．xl:y?kx?m(m?1)l．轴不垂直，可设与若
y?kx?m??222(4k?1)x?8kmx?4m?4?0则由，得2?x2?y?1?4?2216??0?4k?m?1)（由题设可知.
)y(x,（x,y),BA，设22112?4km4m8,xx?x?x??.
则221122?144kk?1y?1y?1kx?m?1kx?m?12kxx?(m?1（)x?x)22121211???kk???而
21xxxxxx212211k?k??1由题设知21?x?x)?0(2k?1)xx?(m?1)（所以
页 4 第21122?4?8km4m?(m?1)??0(2k?1)xx?即，21224k?14k?1
1m??k?. 解得21?m?1m??)?1l:yx?m??(x?2所以22l所以．过定点(2，－1)223yx?e)?0a?b??1()(?3,0F，若变式3：已知椭圆C：，左焦点，且离心率
222baNM,0)M,Nl:y?kx?m(k?，且以直线不是左、右顶点）与椭圆C交于不同的两点（MNl.
A. 求证：直线并求出定点的坐标过定点,为直径的圆经过椭圆C的右顶点?3?c?3c???e1?,ba?2
证明：由题意可知：解得?2a??222ca??b?2x21y??所以椭圆的方程为：
42?x21??y?222得（?m0?)x4?8kmx?1?4k4由方程组4??mkx?y??220?1?4k?m
整理得)x,yx,x),N(M(设2221244m?8km??x?x,xx?则
211222k??14k41)02,A(ANAM?且椭圆的右顶点为由已知，
220m?4??2)(x?x)?(?(1k)xx?km即22112km?8?44m22?k))?4?0(1km?(?2)??m?也即
22k?41?4k1220?12k?5m?16mk整理得：
k62201??4km???或2m??km均满足解得5k?2y?kx k?m?2l当0时，直线的方程为）与题意矛盾舍去，，过定点（2页 5 第
666k??m((x?),0)y?kl当过定点,时，直线的方程为5556)(0,l故直线过定点，且定点的坐标为5（二）双曲线中相关定点问题22FF,F2yx??的动直线与双曲线相交于的左、右焦点分别为过点例4.已知双曲线,221CB?CAxB,A CC的坐标；若轴上是否存在定点，使两点。

在为常数？若存在，求出点不存在，请说明理由。

CBCA?x),0mC（. 轴上是否存在定点，使解：假设在为常数),y),B(xyA（x,设2211))(k??1xy?k(?2 AB的方程是：，x当AB不与轴垂直时，设直线)2(x?ky??22220（?2)?(4k?1?k)x?4kx得：由?222y?x??22240k(1?k)[?(4k?2)]?8?8????16k4则2))(x?m)?k)((x?2x?2?CA?CB?（xm所以2121CBCA?k无关的常数因为是与
1???CACB1?4?4m?0m，此时即所以)?2（2，2）,(2,的坐标可分别设为x 轴垂直时，点A、B当AB与1??2）?，?（1，,2）（?1CA?CB此时CBCA?（）C1,0x1?为常数综上所述：在，使轴上存在定点（三）抛物线中相关定点问题2x4:y?CBA,O bl:y?kx?为坐标原点。

当，直线与例5. 已知抛物线C交于两点，bkl OBOA,45°时，求过定点。

直线，之间满足的关系式，并证明直线的倾斜角之和为2)x,y),A（x,yB(x?4yC:）的焦点为（1，0，设解：抛物线
页 6 第21212?x4?y2k x04b??ky?4y0（依题意………………（，消联立得*））≠?bkx??y?
kk OB,OA =45，斜率分别为，°，，则设直线α+β的倾斜角分别为α，β
21y441??k)?y?16?4(yyy?k，代入上式整理得其中，
121212yxy112164b4?b?4k??16所以，即，kk bk）式有解的有无数组，此时，使（ *l44)?y?4y?kx?4k?k(x?直线，整理得的方程为
4?4?0x?x???44)?y?k(x?消去恒成立，，即时??44?0y?y???l过定点（-4，4 所以直线）
2pxy?2)M(xym p mA,B?且）上，动点＞在抛物线（：0变式1：已知定点0,00?MA?MB AB．求
证：弦必过一定点．
ABnx?my?．所在直线方程为：解：设nx?my??x得与抛物线联立方程，消去
?2pxy?2?)x,y(x,y)B(A，设2211pmy?2y?则……①210?MA?MB1?KK?由已知得，．MBMA y??yyy02101???即……③x?xxx?0102p22p1???∴③式可化为，y?y?yy010222]y)?y?[yy?y(yp4??．即021102x?p?myn?2．将①②代入得，
00p?2)?x???xmy?m(yy2x?my?p AB直线．方程化为：0000)y,?x(?2p AB恒过点∴直
线．002x?4yBPBA,,PA2x??为切点，，其中作抛物线：过直线2变式P的动点的两条切线页 7 第
AB求证：直线恒过定点22)2t,,2t),B（tA（t证明：设2211)t(t?2212)y?2t??t(xAB，所以直线方程：1122tt?12t2t221?y?x即，ttt?t?21211'?yx,y?20?,ByA由于为切点，当时，x11,k??k所以21tt212t?m121t?mt?2?0?k?又得
1112t2?t112t?mt?2?0同理：222t,tt?mt?2?0的两根所以是方程21t?t??2所以212?42x??（x?2y?）所以t?tt?tt?t211122（2,0）AB恒过定点即直线
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