高等数学竞赛函数极限连续
高数函数极限与连续
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。
函数极限连续知识点总结
函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。
对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。
1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。
上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。
通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。
这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。
1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
关于大学高等数学函数极限和连续
第一章 函数、极限和连续§ 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=fx, x ∈D定义域: Df, 值域: Zf.2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: Fx,y= 04.反函数: y=fx → x=φy=f -1y y=f -1 x定理:如果函数: y=fx, Df=X, Zf=Y 是严格单调增加或减少的； 则它必定存在反函数：y=f -1x, Df -1=Y, Zf -1=X且也是严格单调增加或减少的;㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=fx,x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若fx 1≤fx 2,则称fx 在D 内单调增加 ；若fx 1≥fx 2,则称fx 在D 内单调减少 ；若fx 1＜fx 2,则称fx 在D 内严格单调增加 ；若fx 1＞fx 2,则称fx 在D 内严格单调减少 ;2.函数的奇偶性：Df 关于原点对称 偶函数：f-x=fx 奇函数：f-x=-fx3.函数的周期性：周期函数：fx+T=fx, x ∈-∞,+∞ 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |fx|≤M , x ∈a,b ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c , c 为常数2.幂函数： y=x n , n 为实数3.指数函数： y=a x , a ＞0、a ≠14.对数函数： y=log a x ,a ＞0、a ≠15.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=fu , u=φxy=f φx , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算加、减、乘、除和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§ 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限; 或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时,)(x f 的极限：⑵当0x x →时,)(x f 的极限：左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx==⇔=+-→→→)(lim)(lim)(lim㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：+∞=)(lim xf称在该变化过程中)(xf为无穷大量;X再某个变化过程是指：2．无穷小量：)(lim=xf称在该变化过程中)(xf为无穷小量;3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim)(lim≠+∞=⇔=xfxfxf4．无穷小量的比较：lim,0lim==βα⑴若lim=αβ,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若c=αβlimc为常数,则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim=αβ,则称β与α是等价的无穷小量,记作：β～α；⑷若∞=αβlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量; 定理：若：；，2211~~βαβα则：2121limlim ββαα=㈢两面夹定理1． 数列极限存在的判定准则：设：n n n z x y ≤≤ n=1、2、3…且： a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则： a x n n =∞→lim2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 点x 0除外有：且：Ax h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0则：A x f x x =→)(lim 0㈣极限的运算规则若：B x v A x u ==)(lim ,)(lim则：①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[②B A x v x u x v x u ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[③BA x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论：①)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±②)(lim )](lim[x u c x u c ⋅=⋅③nnx u x u )]([lim )](lim [=㈤两个重要极限1．1sin lim 0=→xxx 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ 2．e xxx =+∞→)11(lim e x xx =+→10)1(lim§ 连续一、主要内容㈠ 函数的连续性 1. 函数在0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义,1o 0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x2o)()(lim 00x f x f x x =→左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→2. 函数在0x 处连续的必要条件：定理：)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在3. 函数在0x 处连续的充要条件：定理：)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=+-→→→4. 函数在[]b a ,上连续：)(x f 在[]b a ,上每一点都连续;在端点a 和b 连续是指：)()(lim a f x f ax =+→ 左端点右连续；)()(lim b f x f b x =-→ 右端点左连续;a + 0b - x 5. 函数的间断点：若)(x f 在0x 处不连续,则0x 为)(x f 的间断点;间断点有三种情况：1o)(x f在0x 处无定义；2o)(lim 0x f x x →不存在；3o)(x f在0x 处有定义,且)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→;两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→都存在;可去间断点：)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→,或)(x f在0x 处无定义;2o 第二类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞,或)(lim 0x f x x →振荡不存在;无穷间断点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞㈡函数在0x 处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→1o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ±=±→2o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ⋅=⋅→3o)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0x g x x2. 复合函数的连续性：则：)]([)](lim [)]([lim 00x f x f x f x x x x ϕϕϕ==→→3.反函数的连续性：㈢函数在],[b a 上连续的性质1.最大值与最小值定理：)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值;fx0 a b xm-M0 ab x2.有界定理：) (xf在],[ba上连续⇒)(x f在],[b a上一定有界;3.介值定理：) (xf在],[ba上连续⇒在),(b a内至少存在一点ξ,使得：cf=)(ξ,其中：Mcm≤≤y yCfx0 a ξm0 a ξ1 ξ2 b x 推论：)(x f 在],[b a 上连续,且)(a f 与)(b f 异号⇒在),(b a 内至少存在一点ξ,使得：0)(=ξf ;4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的; 第二章 一元函数微分学 § 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义, 2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 定理：)(x f 在0x 的左或右邻域上连续在其内可导,且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+3.函数可导的必要条件：定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件：定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒,且存在;5.导函数： ),(x f y '=' ),(b a x ∈)(x f 在),(b a 内处处可导; y )(0x f '6.导数的几何性质： y ∆)(0x f '是曲线)(x f y =上点 ∆()00,y x M 处切线的斜率; o x 0㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o v u v u '±'='±)（2ov u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（3o2v v u v u v u '⋅-⋅'='⎪⎭⎫⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：dxdu du dy dx dy ⋅=,或 )()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别：})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导;4.高阶导数：)(),(),()3(x f x f x f 或'''''函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数; ㈢微分的概念 1.微分：)(x f 在x 的某个邻域内有定义,其中：)(x A 与x ∆无关,)(x o ∆是比x ∆较高阶的无穷小量,即：0)(lim 0=∆∆→∆x x o x 则称)(x f y =在x 处可微,记作：2.导数与微分的等价关系： 定理：)(x f 在x 处可微)(x f ⇒在x 处可导,且：)()(x A x f ='3.微分形式不变性：不论u 是自变量,还是中间变量,函数的微分dy 都具有相同的形式;§ 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理1.罗尔定理: )(x f 满足条件:y)(ξf ' )(x fa o ξb x a o x2.拉格朗日定理：)(x f 满足条件:㈡罗必塔法则：∞∞,型未定式 定理：)(x f 和)(x g 满足条件：1o）或）或∞=∞=→→(0)(lim (0)(lim x g x f ax ax ；2o 在点a 的某个邻域内可导,且0)(≠'x g ；3o）（或∞=''∞→,)()(lim )(A x g x f a x则：）（或∞=''=∞→∞→,)()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x☆注意：1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限; 2o若不满足法则的条件,不能使用法则;即不是型或∞∞型时,不可求导;3o 应用法则时,要分别对分子、分母 求导,而不是对整个分式求导; 4o 若)(x f '和)(x g '还满足法则的条件,可以继续使用法则,即： 5o 若函数是∞-∞∞⋅,0型可采用代数变形,化成或∞∞型；若是0,0,1∞∞型可采用对数或指数变形,化成或∞∞型;㈢导数的应用 1．切线方程和法线方程：设：),(),(00y x M x f y =切线方程：))((000x x x f y y -'=-法线方程：)0)((),()(10000≠'-'-=-x f x x x f y y 2． 曲线的单调性：⑴),(0)(b a x x f ∈≥'内单调增加；在),()(b a x f ⇒⑵),(0)(b a x x f ∈>'内严格单调增加；在),(b a ⇒3.函数的极值： ⑴极值的定义：设)(x f 在),(b a 内有定义,0x 是),(b a 内的一点；若对于x 的某个邻域内的任意点x x ≠,都有：则称)(0x f 是)(x f 的一个极大值或极小值,称x 为)(x f 的极大值点或极小值点;⑵极值存在的必要条件：定理：)()(.2)()(.1=⇒⎭⎬⎫'xfxfxfxf存在。
中国大学生数学竞赛竞赛大纲(非数学专业组)
附件1：中国大学生数学竞赛竞赛大纲(非数学专业组)中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6.洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8.函数最大值和最小值及其简单应用.9.弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6.广义积分.7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y ′=′′),(y y f y ′=′′.4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler )方程.8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss )公式、斯托克斯(Stokes )公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz )判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
全国大学生数学竞赛(数学类)竞赛大纲
Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1. 线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。
高等数学竞赛(极限)
4.设
lim
x→0
ln(1 +
x) − (ax + x2 et2 dt
bx2 )
=
+ e
dx x(ln x)2
，求常数
a, b.
0
5. lim x 1 (e−t2 −1)dt = x x→0 0 3 6. lim tan(tan x) − tan(tan(tan x))
x→0 tan x tan(tan x) tan(tan(tan x))
x→ bx − x
2
n
2． lim
1 = _____________.
( ) k n→ k=1 k + 3
3. 求 lim n3( 3 − 3 1 )
n→ n2 i=1 (n + i)2
4.
1 lim( n→ 2
+
3 22
+
5 23
++
2n −1 2n )
5. lim x2 + 2x + 3 x→ x −1
2
3. 已知 f (−x) = x[ f (x) −1] ，求函数 f (x) .
4. 已知 f (x) = lim n 1+ xn + ( x2 )n , x 0 ,求 f (x) .
n→
2
二、求极限
(一). 利用极限的四则运算法则求极限.
1．若 lim ax + 2 x arctan x = − ，则 a = _____；b = _____.
x 求 k 的取值范围. 3. 已知 f (x) 在[a,b] 上连续且 f (a) = f (b) ，求证
(a,b) ，使 f ( ) = f ( + b − a ) .
十二届江苏省高等数学竞赛本科一级解答
y2 = 1 沿逆时针方向. b2 ∫∫ 2. 求曲面积分 xdydz + xzdzdx,
Σ
其中， Σ : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ 0) 取上侧.
x−y x+y dx+ 2 dy . x2 + y 2 x + y2 2′ 2′ 2′
1. 解
L
(b2 x2
a2 b2 (x − y ) a2 b2 (x + y ) dx+ 2 2 dy = 2 2 2 2 + a y )(x + y ) (b x + a2 y 2 )(x2 + y 2 )
L
∂P y 2 − x2 − 2xy ∂Q = = (x, y ) ̸= (0, 0) 时， ， 由Green 公式知 ∂x ∂y x2 + y 2 ∫ 2π x−y x+y x−y x+y 原式 = dx + 2 dy = dx + 2 dy = dθ = 2π. 2 2 2 2 x + y2 x + y2 L x +y x2 +y 2 =ε2 x + y 0 ∫∫ 2. 解
(x4 + sec2 x − 1)dx
3′ 3′
2. 解 设切点为 (a, a2 ), 切线为 y − a2 = 2a(x − a), 将 (2, 3) 代入得 a = 1, 3, 于是切线
为 y = 2x − 1, y = 6x − 9. ∫ 2 ∫ 3 2 2 所求面积为： S = (x − 2x + 1)dx + (x2 − 6x + 9)dx = . 3 1 2 三、 （每小题
广东省大学生数学竞赛考试大纲—经管类
附件3广东省大学生数学竞赛考试大纲—经管类广东省大学生数学竞赛（经管类）竞赛内容为大学本科管理类专业高等数学（或微积分）课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1、函数的概念及表示法。
2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3、反函数、分段函数、隐函数、复合函数，基本初等函数的性质及其图形， 初等函数 函数关系的建立。
4、数列极限与函数极限的定义及其性质。
5、函数的左极限和右极限。
6、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较。
7、极限的四则运算。
8、极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则， 两个重要极限：0sin lim 1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
9、函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性。
10、闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理，介值定理)。
二、一元函数微分学1、导数和微分的概念，导数的几何意义和经济意义，平面曲线的切线与法线。
2、导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数。
3、复合函数、反函数和隐函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性。
4、罗尔（Rolle）定理，拉格朗日( Lagrange)中值定理。
5、洛必达（L'Hospital）法则。
6、函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凸性，拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值。
三、一元函数积分学1、原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式。
2、不定积分的换元积分法和分部积分法．3、定积分的概念和基本性质，定积分中值定理。
4、积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式。
5、定积分的换元积分法与分部积分法。
6、反常（广义）积分。
7、定积分的应用：用定积分计算平面图形的面积，旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题。
四、无穷级数1、常数项级数收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念。
全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷
(*) 2 0 (1 2t 2 t 4 )dt 1
2
1 0
(1 2t 2
t 4 )dt
2t
2 t3 3
1 5
t
5
1 0
16 15
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2
2
f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________.
0
解 令 A 2 f (x)dx ，则 f (x) 3x2 A 2 ， 0
n
x0
n
故
A lim ex e2x enx n e
x0
n
x
e lim ex e2x enx n
x0
nx
e lim ex 2e2x nenx e 1 2 n n 1 e
x0
n
n
2
因此
lim ( ex
e2x
e
nx
)
e x
eA
n1e
e 2
x0
n
解法 2 因
(x0 , y0 ) 处 的 法 向 量 为 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) ， 故 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) 与
(2,2,1) 平行，因此，由 zx x ， z y 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 z y (x0 , y0 ) 2 y0 ，
y(1
f ( y))
因此
—4—
y
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
二、（5
分）求极限 lim ( ex
e2x
e nx
e
)x
1函数、极限、连续全程版-高等数学竞赛知识汇总.
函数、极限、连续一、考试内容函数的概念及表示法、基本初等函数的性质及其图形、复合函数、反函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数、函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性、函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算、极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限；函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
（一）函数1、函数(Function)的定义设D是一个非空实数集合，若∃对应关系f，对于∀x∈D，按照f，对应唯一确定的y∈R，称f是定义在D上的函数, 习惯上也称y是x的函数，记为y=f(x).notes：1. 两个常用的数学符号： 0∀: “任意”或“任意一个”，它是英文单词Arbitrary“表示任意的”打头字母A的倒写；∃: “存在，它是英文单词Existence“表示存在” 打头字母E 的倒写.2、基本初等函数为以下五类函数μy=x(1) 幂函数，μ是常数．图Ⅰ—1xy=a(2) 指数函数 (a是常数且a>0，a≠1)，x∈(-∞,+∞)．图Ⅰ—2(3) 对数函数 y=logax(a是常数且a>0，a≠1)，x∈(0,+∞)．对数（Logarithm）是由英国人纳皮尔创立的, 是相对于真数的比率数.图Ⅰ—3(4) 三角函数1.何谓正？何谓余？正就是正角。
余就是余角，就是90度减去正角.2.何谓弦？何谓切？何谓割？弦就是弦线，切就是切线，割就是割线.圆上两点相连叫做"弦"；圆外与圆相切的线叫"切线"；圆外割入圆内的线叫"割线". 其实一切都是从一个半径为1的单位圆来的.正弦函数 y=sinx，x∈(-∞,+∞)，y∈[-1,1]．图Ⅰ—4余弦函数 y=cosx，x∈(-∞,+∞)，y∈[-1,1]．图Ⅰ—5正切函数 y=tanx，x≠kπ+π2，k∈Z，y∈(-∞,+∞)．图Ⅰ—6余切函数 y=cotx，x≠kπ，k∈Z，y∈(-∞,+∞)．图Ⅰ—7(5) 反三角函数y=arcsinx反正弦函数， x∈[-1,1]，y∈[-ππ,]22．图Ⅰ—8反余弦函数 y=arccosx，x∈[-1,1]，y∈[0,π]．反正切函数反余切函数y=arctanx，y=arccotx，图Ⅰ—9 x∈(-∞,+∞)，y∈(-ππ2,2)．图Ⅰ—10 x∈(-∞,+∞)，y∈(0,π)．图Ⅰ—113、由基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的、能用一个式子表达的函数，称为．高等数学的主要讨论对象是初等函数．（1）幂指函数：y=u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)．4、分段函数是没有严格定义的，任意函数都可以是分段函数．一般而言，把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数. 即便如此，有些分段函数也可称为初等函数．⎧1,x>0⎪（1）符号函数：y=sgnx=⎨0,x=0,xsgnx=x,xsgnx=x．⎪-1,x<0⎩（2）高斯函数：函数y=[x]，称为高斯函数，又称取整函数. 对任意实数x,[x]是不超过x的最大整数，称[x]为x的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数y={x},{x}=x-[x]. x图I －12x-1<[x]≤x<[x]+1，y=[x]是不减函数，即若x1≤x2则[x1]≤[x2]，其图像如图I －13；y={x}是以1为周期的周期函数，如图I －14.图I －13 图 I －14（图I －13中，空心点与实心点应反调）（3）极值函数：max{f(x),g(x)}=⎨⎧⎪f(x),x∈{xg(x)≤f(x)}1=[f(x)+g(x)+f(x)-g(x)]，⎪⎩g(x),x∈{xg(x)>f(x)}2⎧f(x),x∈{xf(x)≤g(x)}1⎪min{f(x),g(x)}=⎨=[f(x)+g(x)-f(x)-g(x)]． g(x),x∈{xf(x)>g(x)}2⎪⎩对数一、三而言，在概率论中有极值分布max{X,Y},min{X,Y}．5、隐函数：若方程f(x,y)=0能确定y与x的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数y=y(x)，但其未必能显化．函数都是方程，但方程却不一定是函数．⎧x=ϕ(t)6、若参数方程⎨能确定y与x的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数y=ψ(t)⎩y=y(x)，但其未必能显化．有时消参后，原参数方程仅能转化为f(x,y)=0．7、函数的奇偶性sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ln(x+，f(x)-f(-x)x,cosx,f(x)+f(-x)为偶；奇±奇=奇，奇±偶（非零常数）=非奇非偶，奇⨯（÷）奇=偶，奇⨯（÷）偶=奇．（二）极限1、函数自变量变化过程的方式n→∞:自变量取正整数且无限增大的过程；x→+∞:自变量取正数且无限增大的过程x→-∞:自变量取负数且其绝对值无限增大的过程x→∞:自变量绝对值无限增大的过程x→x0+:自变量从x0的右侧向x0无限趋近的过程x→x0-:自变量从x0的左侧向x0无限趋近的过程x→x0:自变量向x0无限趋近的过程，也指x∈(x0,δ)，δ为正小数．2、无穷小量与无穷大量：若limf(x)=0，则称f(x)为某自变量变化过程时的无穷小量，零为无穷小量；若limf(x)=∞，则称f(x)为某自变量变化过程时的无穷大量．在同一自变量变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量．无穷小量与有界变量的乘积依然是无穷小量，无穷大量为无界变量的充分不必要条件．3、基本函数的极限11αααlim=,lim=;limx=(α<0),limx=(α=0),limx=(α>0); x→+∞x→+∞x→+∞x→0-xx→0+xlimex=limex=0,limex=,limex=/; limax=，limax=/(a>0,a≠1) x→0x→-∞x→+∞x→∞x→0x→∞x→-∞limax=,limax=(0<a<1);limax=limax=(a>1); x→+∞x→-∞x→+∞x→0+limlnx=-∞，limln(1+x)=0，limlnx=+∞; x→0x→+∞x→∞limsinx=cosx=limtanx=,limcotx=; x→∞x→πx→02limarctanx=limarctanx=-,limarctanx=,limarctanx=; x→0x→-∞x→+∞x→∞ππlimarccotx=x→0,limarccotx=π,limarccotx=0,limarccotx=/．x→+∞x→∞2x→-∞4、记忆以下几个关于极限的充要条件①limxn=a⇔limx2k-1=limx2k=a；n→∞k→∞k→∞π②limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A；x→∞x→-∞x→+∞③limf(x)=A⇔f(x0)=f(x0)=A；x→x0-+④limf(x)=A⇔f(x)=A+α,且limα=0．5、无穷小的比较：在同一极限过程中，设α=α(x)，β=β(x)均为无穷小，则β ①如果lim=0，称β是比α高阶的无穷小；记作β=o(α)；或称α是比β低阶的无穷小；αβ②如果lim=c(c≠0)，称β与α为同阶无穷小；αβ特别当c=1时，即lim=1称β与α为等价无穷小，记作β~α；αβ③如果limk=c(c≠0,k>0)，称β是α的k阶无穷小．α6、无穷小的等价代换定理：设α，α'，β，β'是同一极限过程中的无穷小，且满足α~α'，β~β'，及α'αα'lim存在或为无穷大，则：lim=lim. β'ββ'记住当x→0时，下列的等价关系： arcsinx~arctanx~sinx~tanx~ex-1~ln(1+x)~x,ax-1~xlna,loga(1+x)~a，xx2x21-cosx~,lncosx~-1~,(1+x)α-1~αx(α≠0)． n227、极限存在准则（1）夹逼准则：在同一极限过程中，函数f(x)，g(x)，h(x)满足① g(x)≤f(x)≤h(x) ② limg(x)=A，limh(x)=A，则limf(x)存在，且limf(x)=A．（2）单调有界准则：单调增（减）、上（下）有界的数列必有极限（收敛）．收敛数列必有界．8、极限逆问题中两个常用的结论：（1）limf(x)存在，limg(x)=0⇒limf(x)=0; g(x)（2）limf(x)=A≠0,limf(x)=0⇒limg(x)=0． g(x)（三）连续1、连续的定义: 若limf(x)=f(x0)，称f(x)在x0处连续，否则，x0为f(x)的间断点．x→x0-+若f(x0)=f(x0)，称f(x)在x0左连续，若f(x0)=f(x0)称f(x)在x0右连续．若对∀x∈(a,b)，使得f(x)连续，称f(x)在(a,b)内连续，即对∀x∈(a,b)，求证lim[f(x+h)-f(x)]=0.h→0进一步，若f(a+)=f(a),f(b-)=f(b)，称f(x)在[a,b]上连续．2、间断点及其类型1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点．可去间断点:左极限=右极限的间断点．跳跃间断点:左极限≠右极限的间断点．2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在的间断点．3、连续函数的性质1）连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续；2）初等函数在其定义区间内处处连续，初等函数在其定义点处的极限为其定义点处的函数值；3）闭区间上连续函数的性质（1）最值（有界）、介值性：若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上上必有最大值和最小值（当然有界），且f(x)在[a,b]上也可取到介于它在[a,b] 上最小值与最大值之间的一切值.(2）零点定理:若f(x)在[a,b]连续,且f(a)⋅f(b)<0,则必∃ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0．（介值定理与零点定理将结合微积分中值定理进行应用）二、典型例题题型一复合函数⎧2-x2,|x|<1⎧0,x<0例1、设f(x)=⎨, g(x)=⎨，试求f[g(x)],g[f(x)]. 1,x≥0|x|-2,|x|≥1⎩⎩2⎧⎪2-f(x),解：g[f(x)]=⎨⎪⎩f(x)-2,f(x)<1⎧2,f(x)=0⎧2,=⎨=⎨f(x)≥1⎩-1,f(x)=1⎩-1,x<0 x≥0⎧0,g(x)<0⎧⎪0,1≤x<2. f[g(x)]=⎨=⎨1,g(x)≥0⎩⎪⎩1,x<1或x≥2⎧3x-2x2，3x-2x2≤x3⎧3x-2x2，x∈[-1,0]⋃[3,+∞]例2、min{3x-2x,x}=⎨3.=⎨3233x-2x>x⎩x，⎩x，x∈(-∞,-1)⋃(0,3)23例3、已知f(x+1)的定义域为[0,1],，求f(2x+3)的定义域.1解：x∈[0,1], 则x+1∈[1,2]，于是2x+3∈[1,2]，故x∈[-1,-]. 21例4、设f(x)和g(x)互为反函数，则f[g(3x)]的反函数为(B) 211x1(A) g[f(3x)] (B) f[2g(x)] (C) g[2f()] (D) 2g[f(x)] 2333111解：y=f[g(3x)]，则g(3x)=g(y)，即g(3x)=2g(y)，于是3x=f(2g(y))，即x=f(2g(y)) 22311故y=f[g(3x)]的反函数为y=f[g(3x)]. 22题型二函数性态例1、定义于R上的下列函数为奇函数的是(C)ex-e-xx2011tanx2+1 (C) lnx(A) [x] (B) (+x+1) (D) cosx+20112例2、当x→∞时，变量xcosx是(D)（注意函数的局部性质）(A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界量 (D) 无界量例3、设limf(x)=A，下列结论成立的是(C) x→x0(A)存在δ,当x∈U(x0,δ)时，f(x)>A (B) 存在δ,当x∈U(x0,δ)时，f(x)<A(C) 若A>0,则存在δ,当x∈U(x0,δ)时，f(x)>0(D) 若当x∈U(x0,δ)时,f(x)>0,那么A>0.注1：若limf(x)=A，则对∀ε>0，存在δ,当x∈U(x0,δ)时，总有A-ε<f(x)<A+ε（局部有界）. x→x0注2：若limf(x)=A，当x∈U(x0,δ)时,f(x)>0,那么A≥0（局部保号）. x→x0例4、y=x+1在下列区间中有界的是(A) x2-1(A) (-∞,-1) (B) (-∞,1 ) (C) (-1,+∞ ) (D) (1,+∞)注：若f(x)在(a,b)内连续，且f(a+)=A,f(b-)=B,则f(x)在(a,b)内有界.题型三未定式计算（限于例1、求极限：∞0∞，，0⋅∞，1，另三种∞-∞，∞0,00以后讲）∞0(2x+1)4(x-1)6-5x(x8+x)（1）lim；（2）；（3）；10x→0x→x→∞(x+2)（4）limx→0(x+1)-132x-23x∞∞2231x；（5）limx→2cot3x；（6）limx2(x+8-x+1)；（7）lim(cosx)cscxx→0x→∞cot5x1151(2+)4(1-)6-(1+7)=16. 解（1）：原式=limx→∞(1+)10x解（2）：原式=lim00x⋅xxln3⋅(-)x2x→∞=-2. ln3sinxtanx-1-1解（3）：原式==0. x→1ln3-2001xln3+(-)x20注：等价无穷小代换可在,0⋅∞中对较复杂的“0”进行等价代换，一般只能用在乘、除关系，因局部等价能保证0x→∞原式=lim00x-x=0(⨯)（sinx-tanxx-x是错的）整体也等价，而不能直接用于加、减关系，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项后看能否拆开ln(x3+1)e-111=lim2x2lim=解（4）：原式=lim2x2(2ln3-3ln2)x2. x→0x→0x→0(2ln3-3ln2)x22ln3-3ln23[e-1]]3ln(x3+1)xa注：当x→0时，ax-bx~xln,(1+x)α-(1+x)β~(α-β)x(α≠β),(1+x)x-1~x2. b解（5）：原式=limt→0x=-t2πtan3t3=. tan5t5007解（6）：原式===. x→∞x→∞30⋅∞1∞limlncosxsinx2解（7）：原式=e注：limu(x)v(x)1∞x→0=ex→0limcosx-1x2=e. -12=elimv(x)lnu(x)lnu(x)u(x)-1limv(x)[u(x)-1]=e=a. 题型四极限存在题型例1、判断下列极限存在吗？arctanxx-1(a>1)lime；；（3）（4）limx→∞ax-1x→1x-1x→∞x→0tan3x⎛1⎫1+x22n2⎪;（7）lim（5）（6）lim ++⋅⋅⋅+6662⎪n→∞1+x2nx→0n→∞ n+2nn+n⎭⎝n+n1n(n+1)(2n+1)122n2n(n+1)(2n+1)提示：（6）因，则原式= ≤+++≤36n6+n2n6+nn6+2nn6+n26n6+n（1）x)；（2）lim21x-1sinx2+x4sin1⎧1+x,x<11+x⎪（7）lim=⎨1,x=1 n→∞1+x2n⎪0,x>1⎩注1：x→∞时，x-x，ax，arctanx，arccotx的极限不存在，先研究x→+∞,x→-∞x→∞时，sinx，cosx的极限不存在，只需注意其为有界量，arctanx，arccotx也可考虑有界量性质注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则注5：极限函数f(x)=limF(x,n)的求法，要注意对x取值范围的讨论，如xn,anx,arctannx等. n→∞nn+ +am,其中ai>0(i=1,2, ,m)。
高等数学：函数 、极限与连续习题含答案
1第一章函数、极限与连续一、选择题1．函数)(x f 的定义域为[]10，，则函数51()51(-++x f x f 的定义域是（）.A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,51B．⎥⎦⎤⎢⎣⎡56,51C．⎦⎤⎢⎣⎡54,51D．[]1,02．已知函数()62+x f 的定义域为[)4,3-，则函数)(x f 的定义域是（）.A．[)4,3-B．[)14,0C．[]14,0D．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,293．函数211ln ++-=x xy 的定义域是（）.A．1≠x B．2-≥x C．2-≥x 且1≠x D．[)1,2-4．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．11)(+⋅-=x x x f ，1)(2-=x x g B．2)(π=x f ，x x x g arccos arcsin )(+=C．x x x f 22tan sec )(-=，1)(=x g D．1)(=x f ，x x x g 22cos sin )(+=5．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．x x g x x f lg 2)(,lg )(2==B．2)(,)(x x g x x f ==C．33341)(,)(-=-=x x x g x x x f D．xx x g x f 22tan sec )(,1)(-==6．若1)1(2-=-x x f ，则)(x f =（）.A．2)1(+x x B．2)1(-x x C．)2(+x x D．)1(2-x x 7．设xx f cos 2)(=，xx g sin 21)(⎪⎭⎫⎝⎛=，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，内成立（）.A．)(x f 是增函数，)(x g 是减函数B．)(x f 是减函数，)(x g 是增函数C．)(x f 和)(x g 都是减函数D．)(x f 和)(x g 都是增函数28．函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=（）.A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是偶函数，也是奇函数9．下列函数中（）是奇函数.A．1cos sin +-=x x y B．2xx a a y -+=C．2211x x y +-=D．)1)(1(+-=x x x y 10．函数x x x f sin )(2=的图形（）.A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．关于原点对称D．关于直线x y =对称11．下列函数中，（）是奇函数.A．2ln(1)x +B．)x C．sin x x D．x xe e-+12．若()f x 是奇函数，且对任意实数x ，有(2)()f x f x +=，则必有(1)f =（）.A．1-B．0C．1D．213．偶函数的定义域一定是（）.A．包含原点的区间B．关于原点对称 C.),(+∞-∞D．以上三种说法都不对14．若)(x f 是奇函数，)(x ϕ是偶函数，且)]([x f ϕ有意义，则)]([x f ϕ是（）.A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．奇函数或偶函数15．函数xx f 1sin )(=是其定义域内的什么函数（）.A．周期函数B．单调函数C．有界函数D．无界函数16．若()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，()x ϕ是单调减少，则[()]f x ϕ在(,)-∞+∞内（）.A．单调增加B．单调减少C．不是单调函数D．无法判定单调性17．函数xxe e y -+=的图形对称于直线（）.A．y x=B．y x=-C．0x =D．0y =318．下列函数中周期为π的是（）.A．xy 2sin =B．xy 4cos = C.xy πsin 1+= D.()2cos -=x y 19．下列函数是周期函数的是（）.A．)sin()(2x x f =B．xx f 1cos)(=C．xx f πcos )(=D．xx f 1sin)(=20．设1cos )(-=x x f 的定义域和周期分别为（）.A．πππ2,,22=∈+=T Z k k x B．ππ2,,2=∈=T Z k k x C．ππ=∈=T Z k k x ,,D．πππ=∈+=T Z k k x ,,221．下列结论不正确的是（）.A．基本初等函数在其定义域内是连续的B．基本初等函数在其定义区间内是连续的C．初等函数在其定义域内是连续的D．初等函数在其定义区间内是连续的22．下列说法正确的是（）.A．无穷小的和仍为无穷小B．无穷大的和仍为无穷大C．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D．收敛数列必有界23．下列说法不正确的是（）.A．两个无穷小的积仍为无穷小B．两个无穷小的商仍为无穷小C．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小D．在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小24．若无穷小量α与β是等价的无穷小，则αβ-是（）无穷小.A．与β同阶不等价的B．与β等价的C．比β低阶的D．比β高阶的25．当0→x 时，4x x +是32x x +的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小D．等价无穷小26．当0→x 时，x x sin 2-是x 的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小但不等价D．等价无穷小27．设232)(-+=xxx f ，则当0=x 时，有（）.4A．)(x f 与x 是等价无穷小B．)(x f 是x 同阶但非等价无穷小C．)(x f 是比x 高阶的无穷小D．)(x f 是比x 低阶的无穷小28．设x x f -=1)(，31)(x x g -=，则当1→x 时（）.A．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C．)(x f 与)(x g 是同阶但不等价的无穷小D．)(x f 与)(x g 是等价无穷小29．当0→x 时，与x 不是等价无穷小量的是（）.A．2sin xx -B．xx 2sin -C．3tan x x -D．xx -sin 30．当0→x 时，下列函数为无穷小量的是（）.A．x x sin B．xx sin 2+C．)1ln(1x x+D．12-x 31．当0→x 时，是无穷大量的有（）.A．xx 1sin 1B．xx sin C．2xD．xx 21-32．当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是（）.A．x x x x tan cos 2-B．21sin xx C．x x x sin 3+D．xx )1ln(2+33．下列等式正确的是（）.A．1sin lim=∞→x xx B．11sinlim =∞→xx C．11sinlim =∞→xx x D．11sin lim=∞→xx x 34．设函数()f x 在闭区间[1,1]-上连续，则下列说法正确的是（）.A．1lim ()x f x →+必存在B．1lim ()x f x →必存在C．1lim ()x f x →-必存在D．1lim ()x f x →-必存在35．=→xx 102lim （）.A.0B．∞+C．∞D．不存在36．下列各式中正确的是（）.A.0cos lim0=→xxx B．1cos lim0=→xxx C．0cos lim=∞→xxx D．1cos lim=∞→xxx537．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（）.A．3sin 2x+B．32sin 2x-C．3cos 2x+D．3cos 2x -38．设21()arcsin 3lim ()1x x f x f x x x→∞=++，则lim ()x f x →∞等于（）.A．2B．21C．2-D．21-39．设x xx f )31()2(-=-，则=∞→)(lim x f x （）.A．1e-B．2e-C．3e-D．3e40．极限lim sinx x xπ→∞=（）.A．1B．πC．2eD．不存在41．当0x →时，1xe 的极限是（）.A．0B．+∞C．-∞D．不存在42．当5x →时，5()5x f x x -=-的极限是（）.A．0B．∞C．1D．不存在43．设x x x f 21)(-=，则=→)(lim 0x f x （）.A．1B．不存在C．2eD．2e-44．若0→x 时，kx x x ~2sin sin 2-，则=k （）.A．1B．2C．3D．445．若52lim22=-++→x bax x x ，则（）.A．1=a ，6=b B．1-=a ，6-=b C．1=a ，6-=b D．1-=a ，6=b 46．=+-∞→x x xx arctan 1lim （）.A．2πB．2π-C．1D．不存在647．=+→xx x )1ln(lim0（）.A．1-B．1C．∞D．不存在但非∞48．已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则b a ,的值是（）.A．8,2-==b a B．b a ,2=为任意值C．2,8=-=b a D．b a ,均为任意值49．=-+-+++∞→11)2(3)2(3lim n n nn n （）.A．31B．31-C．∞D．050．xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-→的值等于（）.A．2eB．2e-C．1D．∞51．设xx g x3e 1)(2-=，当0≠x 时，)()(x g x f =，若)(x f 在0=x 处连续，则)0(f 的值是（）.A．0B．32-C．1D．3152．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=0,1sin 0,10,1e )(2x a x x x x x x f x 在点0=x 处连续，则常数=a （）.A．1-B．1C．2-D．253．若)(x f 在点0x 点连续，则=+→)2(sin lim 00h x f h （）.A．)2(sin 0h x f +B．)(sin 0x f C．)(sin 0x f D．不存在54．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点有（）.7A．3个B．1个C．0个D．2个55．设0=x 是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1sin 0,00,11)(1x x x x x ex f x 的（）.A．跳跃间断点B．可去间断点C．第二类间断点D．连续点56．11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（）.A．可去间断点B．跳跃间断点C．第二类间断点D．连续点二、填空题57．函数xxx f -+=11ln21)(的定义域是_________．58．函数2ln arcsin +=x xy 的定义域为_________．59．函数xx y 1arctan3+-=的定义域是_________．60．设)(x f 的定义域[]1,0=D ，则)(sin x f 的定义域_________．61．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为_________．62．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为_________．63．设2(1)32f x x x +=-+，则f =_________．64．函数nn x a y 12)(-=的反函数是_________．65．函数)0(≠-++=bc ad dcx bax y 的反函数是_________．66．函数x y 3sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-66ππx 的反函数是_________．867．函数3arccos2xy =的反函数是_________．68．______28153lim 233=+-++∞→n n n n n n ．69．_______43867lim 22=+-+∞→n n n n ．70．⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n 21...41211lim =_________．71．2)1(...321limnn n -++++∞→=_________．72．35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→=_________．73．_______lim 2210=+→x x x e．74．_______1lim432=-+++∞→nn n n n n ．75．_______43...21lim 2=++++∞→nn nn ．76．_______1!!sin lim=+∞→n n n ．77．=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 222...221lim _________．78.设012lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x x ，则=a _________，=b _________．79．_______4421lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．80．_______2)2sin(lim22=---→x x x x ．81．_______63sin lim=∞→xxx ．982．m n x x x )(sin )sin(lim 0→（m n ,为正整数，且m n >）=．83．_______1cos 1lim 20=--→x e x x ．84．_______4tan 8arcsin lim0=→xxx ．85．_______81221lim 32=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．86．xxx x 30sin sin tan lim-→=．87．)1(lim 2x x x x -++∞→=．88．)1sin 1)(11(tan sin lim32-+-+-→x x xx x =．89．若2)1sin(1lim 21=--+→x ax x x ，则_________=a ．90．若0x →时函数tan sin x x -与nmx 是等价无穷小，则=m ，n =．91．当∞→x 时，函数)(x f 与21x是等价无穷小，则_______)(3lim 2=∞→x f x x ．92．当0→x 时，函数112-+ax 与x 2sin 是等价无穷小，则_______=a ．93．当∞→x 时，函数)(x f 与x4是等价无穷小，则_______)(2lim =∞→x xf x ．94．若1x →时，2(1)1mx x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是．95．11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x =_________．96．40)21(lim -→=-e x x kx ，则_________=k ．1097．nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→sin 1lim )(，则=')(x f ．98．4lim e a x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→，则_______=a ．99．_______1lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x ．100．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．101．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤+=1,10,0,2)(2x bx x a x x x x f 在),(+∞-∞内连续，则___________,==b a ．102．)(lim 2)sin 21()(031x f x x f x x→++=，求()=x f ．103．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．104．设2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则=)(x f ．105．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=010,1sin 1)(x x xx x f 的连续区间是．106．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0,21ln 0,)(12x x x x a x f x 在0=x 处连续，则=a ．107.极限02sin 3lim[sin]x x x x x→+=．108.极限3sin 2lim[sin ]x xx x x→∞+=．109．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=-0,0,316sin )(3x a x x e x x f ax 在0=x 连续，则_______=a ．110．函数⎪⎩⎪⎨⎧><<-±===2,420,42,0,2)(2x x x x x x f 的间断点有_________个．111．函数653)(2+--=x x x x f 的第二类间断点是_________．112．函数)5)(32(86)(22-----=x x x x x x f 的间断点是．113．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,,0,1sin )(2x x a x x x x f 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则=a ．114．设⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0,20,0,)(2x b x x a x e x x f 在点0=x 处连续，则=a ，=b ．115．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,3sin )(x x x x x x f ，则点0=x 是)(x f 的第类间断点．116．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 则点0=x 是)(x f 的第类间断点；点1=x 是)(x f 的第类间断点．117．若函数=)(x ϕ，则函数)(x f 为奇函数这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>++=0, )( 0, 0 0 ),1ln()(2x x x x x x x f ϕ118．⎩⎨⎧<-≥=00 )(22x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.119．⎩⎨⎧>+≤-=0 10 1)(x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.三、计算题120．设函数1)1(2++=x x x f 0>x ，求)(x f ．121．设函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求)(x f ．122．设xx f -=11)(，求))((x f f ．123．设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ．124．已知x x g xx f -==1)(,1)(，求))((x g f ．125．设x x x f 2)1(2-=-，求)1(+x f ．126．求函数321)(2-+=x x x f 的连续区间．127．设函数)(x f 的定义域为)0,1(-，求函数)1(2-x f 的定义域．128．设x xx f +=12arccos )(，求其定义域．129．设)(x f 的定义域为[]1,0，求)(cos x f 的定义域．130．已知⎩⎨⎧≤<≤≤=+21,210,)1(2x x x x x ϕ，求)(x ϕ．131．设⎩⎨⎧<+≥+=0,40,12)(2x x x x x f ，求)1(-x f ．132．判断函数x x x f 32(32()(-++=的奇偶性．133．判断11-+=x x a a x y 的奇偶性．134．设)21121)(()(-+=x x f x F ，已知)(x f 为奇函数，判断)(x F 的奇偶性．135．求函数x x y 44sin cos -=的周期．136．求函数2cos sin x x y +=的周期．137．求函数x y 3sin 2=)66(ππ<<-x 的反函数．138．求函数)1ln(2-+=x x y 的反函数．139．xx x 3113sin lim +-∞→．140．633lim 6--+→x x x ．141．2203)1ln(lim x x x +→．142．x xx 4cos 12sin 1lim 4-+→π．143．2321lim 4--+→x x x ．144．123lim 221-+-→x x x x ．145．25273lim 33+-++∞→x x x x x ．146．)cos 3(11lim 32x x x x +++∞→．147．2021cos lim x x x -→．148．2021lim x ex x -→．149．3222......21lim nn n +++∞→．150．)3(lim 2x x x x -++∞→．151．xx x ln 1lim 21-→．152．20cos 1lim x x x -→．153．38231lim x x x +---→．154．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1...531311lim n n n ．155．n n 11lim +∞→．156．114sin lim 0-+→x xx ．157．)(lim 22x x x x x --++∞→．158．156223lim 22+-++∞→n n n n n ．159．nx mxx sin sin lim 0→．160．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x ln ln 1lim 1．161．145lim 1---→x xx x ．162．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11lim 31x x x ．163．xx x --→πππ1cos )(lim ．164．20cos 1lim x mx x -→．165．11sinlim -+∞→x x x x x ．166．)15(lim 323x x x x -+-∞→．167．)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→．168．28lim 38--→x x x ．169．n n n 31...9131121...41211lim ++++++++∞→．170．xx x x x 6sin 4cos lim ++∞→．171．)1(lim 2x x x x -+∞→．172．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→114sin lim 0x x x ．173．174lim 22++→x x x ．174．2220)1()41ln(lim x x e x -+→．175．115)2(5)2(lim ++∞→+-+-n n nn n ．176．xx e 1011lim +→．177．若123lim 22=-+-→x ax x x ，求a ．178．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→b ax x x x ，其中a ，b 是常数，求a ，b ．179．已知),0()1(lim 2017∞≠≠=--∞→A n n n k k n ，求k 的值．180．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim .181．已知5312)(22+++-=bx x ax x f ，当∞→x 时，求a 和b 的值使)(x f 为无穷小量．182．当0→x ，比较函数22)(-+=x x e x f 与x 是否为同阶无穷小．183．已知82lim 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x a x a x ，求a ．184．()xx x sec 32cos 1lim +→π．185．11212lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ．186．26311lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 187．xx x x 311lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→．188．21232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x ．189．xx x tan 2)(sin lim π→．190．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>+=0,sin 10,0,1sin )(x x x x p x q x x x f 在点0=x 处极限存在，求p 和q 的值．191．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点的个数．192．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点及其类型．193．判断函数xx x f 1cos)(=的间断点及其类型．194．设)(x f 在点0=x 处连续，且⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos 1)(2x a x x x x f ，求a ．195．求函数xxy sin =的间断点及类型．196．求函数)1()(22--=x x xx x f 的间断点．197．证明方程019323=+--x x x 至少有一个小于1的正根．198．判断函数122+=x y 的单调性．199．已知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>+--=0,110,0,1)1(2sin )(2x x x b x a e e x f x x x 在点0=x 处连续，求a 和b 的值．200．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在),(+∞-∞内连续，求a ．201．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x xx x x x x x f ，判断其间断点及类型．202．设xe xf x 1)(-=，判断其间断点及类型．203．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0)(,11x x x e x f x ，判断)(x f 的间断点及其类型．204．求曲线65222+-=x x x y 的渐近线．205．求xex f -+=1111)(的间断点并判断其类型．206．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++=<=0,)21ln(0,0,sin 1sin )(2x a xx x b x x x x x f ，求b a ,的值使其在),(+∞-∞内连续．207．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<-=-21,1,210,1ln )(1x e x x x xx f x ，（1）求)(x f 的定义域（2）判断间断点1=x 的类型，如何改变定义使)(x f 在这点连续？208．判断函数x x y ln +=在区间),0(+∞内的单调性．第一章函数、极限与连续1..54,51:15101510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤D x x 选C2.43<≤-x ，826<≤-x ，14620<+≤x 。
同济大学高等数学竞赛试题-答案
高等数学竞赛试卷2010一.填空题1. . 11122limcos cos cos n n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭答: .sin1+cos1-12. 设函数连续且，则极限 .()f x (1)1f =()()1131()d d lim1xt x t u f u u tx →⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰答： .16-3. 设.0yx =⎰330d d x yx ==答： .44. 设,变量且,那么.(),z z x y =23u x y v x y =-⎧⎨=+⎩2222261z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂2zu v ∂=∂∂答：.155. 设曲面的方程，的方程为，的方程为，1∑333y x z +=2∑222y x z -=3∑222y x z =的方程为，它们在面上的投影均为，它们的面积依次4∑z =xOy 122≤+y x 为、、和，则、、、的大小关系为 .（用等号1S 2S 3S 4S 1S 2S 3S 4S 或不等号表示）答： .4213S S S S >>>6.设曲线：，则 .Γ2221231x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩()()()222123d x y z s Γ⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎰.二.选择题1.设， 其中是有界函数. 则在点处 .⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,)(0,cos 1)(2x x g x x xxx f )(x g )(x f 0=x (A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导答： D2.设与具有任意阶导数，且，()x f ()p x ()()()()2f x p x f x xf x x x '''++=+是的驻点，且，则 .0x =()f x ()10=f (A)为函数的极大值(B)为函数的极小值()0f ()x f ()0f ()x f (C)点为曲线的拐点(D)极值或拐点由确定()0,1()x f y =()p x 答： B3. 设函数连续，则.)(x f 22d ()d d x tf x t t x -=⎰(A)(B)(C)(D))0(xf )(212x f )(2x xf )(22t x tf -答： C4. 已知级数收敛，则实数的取值范围是 .13121111n n α∞=⎡⎤⎛⎫⎢⎥+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑α(A)(B)(C)(D)10,3⎛⎤⎥⎝⎦11,32⎛⎤⎥⎝⎦1,22⎛⎤⎥⎝⎦()2,+∞答： D三.求无界区域轴旋转形成立体的体积.211+y x ≤≤x解：,()()222202211d 2d 111x V x x x x x ππ∞∞-∞⎛⎫ ⎪=-= ⎪+++⎝⎭⎰⎰令，tan x t =222222400tan sec 2d 2sin d .sec 2t t V t t t t πππππ===⎰⎰四.已知曲线的方程为.L ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2241tt y t x (0)t ≤(1) 讨论的凹凸性.L (2) 过点 引的切线，求切点，并写出切线方程.)0,1(-L ),(00y x (3) 求此切线与以及轴所围成的平面图形的面积.L x 解：(1) ，，下凸；d 221d y t x t t-==-()223d 100d y t x t =-><L (2) 由，得求得切点的参数，切点；22d 24d 2y t t t x t t --==+02t =-()5,12-切线方程；()21y x =-+(3) 记的方程为，面积L ()y y x =.()5221036d 3642d A y x t t t t -=--=+-⎰⎰88203633=-=或记的方程为，面积L ()x x y =()()0212121222d d d d 2x y y y A y x x y y y +----+==+⎰⎰⎰⎰()()0229220142d 2424.33t t t -=+--=-=⎰五.设函数，是极值. 求曲线在点()21()||e d t f x t t x t =-⎰(01)x ≤≤()0f x ()y f x =处的曲率.()()0,x f x解：()()2210()e d e d x t t xf x t x t t t t x t=-+-⎰⎰2222112200e d e d e d e d x xt t t t xxx t t t t t t x t t=-+-⎰⎰⎰⎰， ()2210e d e d xt t xfx t t t t '=-⎰⎰2e 1e 2x +=-驻点0x =，()20002e x f x x ''=()322||1x f K f ''='+(e 1=+六.设是球面被平面，， 切下的在第一卦限的部分，∑2221x y z ++=0z =x y =2z x =试求的面积.∑解： ,在面的投影：:z ∑=∑xOy 由，，围成.xyD 2251x y +=x y =221x y +=xyD S σ=⎰⎰xyD σ=⎰⎰24d d ππϕρρ=⎰22ϕ=====-七.设是坐标原点，动点在曲线:Γ上移动时，线段的轨O M 21y x z ⎧=⎨=⎩()11x -≤≤OM 迹形成了锥面.∑(1)试写出的方程；(2)求曲面积分，其中取下侧.∑d d d d d d z y z y z x x x y ∑++⎰⎰∑解：(1)，必有， ，，(),,P x y z ∑∈()00,,1M x y Γ∈||OM OP 001x y x y z⇒==，即的方程为.200y x =⇒22y x z z=∑2yz x =()11x -≤≤(2)在面上的投影区域.的方程为,有∑zOx :zx D ,01z x z z -≤≤≤≤∑2x y z=,合一投影法并利用对称性计算，222,x z x x y y z z==-()()d d d d d d d d x z I z y z y z x x x y z y y x y z x∑∑=++=-++-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰2323222d d 2d zx D x x x x x z x x z z z z ∑σ⎛⎫⎛⎫=-++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰2211200022d 2d d d .39zxz D x x z x z z z z σ=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰或(2)在面上的投影区域.的方程为∑yOz :yz D 0,01y z z ≤≤≤≤12∑∑∑=+与,有x =x =.12d d d d d d 0z y z z y z z y z ∑∑∑=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰在面上的投影区域.的方程为,有∑zOx :zx D ,01z x z z -≤≤≤≤∑2x y z=d d y z x ∑=⎰⎰2d zxD x zσ-⎰⎰2112000222d d .39z x dz x z z z -=-=-⎰⎰⎰在面上的投影区域.的方程为,∑xOy :xy D 2||x y x ≤≤∑2x z y=.d d x x y ∑=⎰⎰d 0xyD x σ-=⎰⎰故.2d d d d d d 9I z y z y z x x x y ∑=++=-⎰⎰。
函数极限连续知识点概况
函数极限连续知识点概况函数是一种映射关系，用来描述两个集合之间的元素对应关系。
在数学中，常常用字母f、g、h等表示函数。
函数可以用公式、图像、数据表等形式进行表示。
函数的定义域是指函数中所有可能的输入值，值域是指函数中所有可能的输出值。
函数的图像可以通过将函数的输入值和输出值对应起来，绘制成平面直角坐标系中的点的形式来表示。
极限是函数中一个非常重要的概念。
极限描述了函数在一些点附近的行为。
当自变量趋向于一些特定的值时，函数的值也会趋向于一个特定的值。
这个特定的值就是函数在该点的极限。
极限可以用数学符号“lim”进行表示，例如lim(x->a) f(x)表示当x趋向于a时，f(x)的极限。
连续是函数的一个性质，它描述了函数图像上不存在突变的现象，即函数的值在一些点附近变化不大。
连续可以用数学语言表述为：如果对于函数f(x)的定义域中的任意数a，当x趋向于a时，lim(x->a) f(x)存在且等于f(a)，那么函数f(x)就在点a处连续。
这意味着函数在整个定义域上都不会出现断裂、间断或跳跃的情况。
函数、极限和连续是紧密相关的概念。
在函数的定义中，我们常常要用到极限的概念。
例如，导数和积分就是通过极限的方法来定义的。
而连续则是函数在定义域上的一种性质，通过极限的概念可以更准确地描述函数的连续性。
在实际应用中，函数、极限和连续有着广泛的应用。
函数可以用来描述各种自然现象中的规律和关系，例如物体运动的轨迹、电路中电压和电流的关系等。
极限的概念可以用来描述各种变化趋势，例如速度的极限可以用来描述物体在一些时刻的瞬时速度。
连续性是数学建模中的一个重要要求，对于许多实际问题的解答和分析，需要用到连续函数的性质。
综上所述，函数、极限和连续是高等数学中的重要概念，它们是数学分析的基础，并在各个科学领域中有广泛的应用。
深入理解和掌握这三个概念对于学好高等数学和其他科学学科都有着重要的意义。
对于学生来说，通过大量的练习和实例分析，结合具体问题的实际背景和应用，能够更好地理解和应用这些概念。
高等数学函数的极限与连续习题及答案
上式化简为
1a2
0，∴a1，
2
1b
12ab12abx1b212ablimlimlim
xxx1a∴1
a1，12ab0，b2
10、函数fx
的间断点是（x0,x1）．
11
xx2x2
11、fx2的连续区间是（,1,1,3,3,）．
x4x3ax2sinx
2，则a（2）12、若lim．
xx∴aax2sinxsinxlimlima2a0a02limxxxxx
a
xx21
logaxx21fx
3、当x0时，ex1是x的（c）
a．高阶无穷小b．低阶无穷小c．等价无穷小
4、如果函数fx在x0点的某个邻域b．连续c．有界
5、函数fx1
1x在（c）条件下趋于.
a．x1 b．x10 c．x10
6、设函数fxsinx
x，则limx0fx（c）
a．１b．－１c．不存在∵sinx
6、如果～，则o．
1，是
∴limlim10，即是的同阶无穷小．
2xx2sin2sin1cosx11limlim2正确∵limx0x0x04x2x2x2
2正确∵lim
11limxlimsin0．x0xx0x0x
1错误∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x0x8、limxsin
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
第一章函数与极限复习题
1、函数fxx2x31x1与函数gxx1相同．
错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴fxx2x31x1与gx函数关系相同，但定义域不同，所以fx与gxx1
是不同的函数。
2、如果fxM（M为一个常数），则fx为无穷大．
高等数学竞赛试题及参考答案
九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题院系 班级 学号 姓名一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( )。
A. 3 B. 2 C. 1 D. 312 ⎰-=+116dx x sin 1xcos x （ ）A.2π B.π C.1D.03 设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x xx ln lim +∞→B.xxx 2cos lim∞→C.xxx -→1ln lim1D.x e x x ln lim -+∞→5 设f (x)是连续函数，且⎰=x x x dt t f 0cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin xB.cos x+xsin xC.sin x-xcos xD.sin x+xcos x6 设函数f(x)满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（ ） A.x=x 0及x=x 1都是极值点 B.只有x=x 0是极值点C.只有x=x 1是极值点D.x=x 0与x=x 1都有可能不是极值点7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰-=a adx )x (f （ ）A. 0B. 2⎰adx )x (fC.⎰-+a0dx )]x (f )x (f [D. ⎰--adx )]x (f )x (f [8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x 0)内可导，如果∀x ∈V(x 0)有f(x)≥f(x 0)， 有（ ） A ．)(')('0x f x f ≥ B ．)()('0x f x f ≥ C ．0)('0=x fD ．0)('0>x f9 设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16!B ．15!C ．14!D ．010=⎰])arctan ([673dx x x dx d （ ） A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分）1 当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a=___________ .2 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+000)1ln(2x x xx ，则f '(0)=___________. 3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 4 n31sin n 1lim22n ∞→= ___________.5 设1)1(f =' 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞→)1(f )x11(f x lim x =___________.6 曲线x 2+y 5-2xy=0在点(1、1)处的切线方程为 .7 dx xx x ⎰++221)(arctan = .8 曲线y =1222-+-x x x 的垂直渐近线的方程是 .三、计算题 （每题8分，共16分） 1. 计算⎰10dx ex2. 设f(x)的一个原函数为x e x 2，计算dx x x f)(/⎰四、解答题（第1题10分，第2题12分）1. 设曲线xy=1与直线y=2，x=3所围成的平面区域为D （如图所示）.求D 的面积.2. 计算定积分⎰-+12.)2()1ln(dx x x九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( A )。
全国大学生数学竞赛考纲
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler)方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7. 初等函数的幂级数展开式.8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
高等数学(1)函数极限与连续(1)
x
x
2, 1,
于是函数 f (x) arcsin(x 1) ln(x 1) 定义域为 (1,2].
x 1 0,
x 1,
（2）函数的定义域应满足 x 2 x 2 0, 即 x 2 x 2 0,
1 2 x 1. 1 x 2 3.
于是函数的定义域为[1,2) (2,3] .
第一章 函数 极限与连续
一、函数
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的
函数关系.
定义 设 D R, f 是一个对应法则.对于D 中任意的x ,按照
对应法则 f ,总存在唯一的一个 yR 与x 对应,则称对应法则
f :D R是定义在D 上函数,记为y f (x),x D .其中x 为自变量,
例 2 若函数y f (x) 的定义域为[0,1] ,试求函数y f [ln(x 1)], y f (sinx)的定义域.
解 因为 函数 y f (x) 的定义域为[0,1] ,所以 y f [ln(x 1)] 的 定 义域应满足 0 ln(x 1) 1,即1 x 1 e , 于是x 应满足1 x 1 e . 故 函数 的定 义域为 [1,e ] .
于是所求反函数为x 3 y 或 y 3 x .
例
求函数y
1
1 x
2
,
x 0, 的反函数
x 2 1, x 0.
解
当x 0时,
0y 1,
此时由y
1 1x2
可得x
1 y
1
;当
x 0 时, y 1,由y x 2 1可得x y 1 . 所以,所求反函数为
数 f (x)在 D 上有界.也称函数 f (x)是D 上的有界函数. 例如函数y sinx,y cosx,y x2(0 x 1) 都是有界函数. 若函数 f (x)的定义域 D 是一个关于原点对称的区间,且对于