材料力学第14章(静不定)

a
qa4 8EI
( M1 M1) ( M1 M2) ( M2 M2)
( MF M1)
(MF M2)
⑤代入力法正则方程：
4a3
a3
qa4
3EI
X1 2EI
X2
6EI
0
a3 2EI
X1
a3 3EI
X
2
qa4 8EI
0
X1
1 7
qa
X2
5 28
qa
⑥画弯矩图
A 5qa
28
q
qa
7
B
qa2 qa2 7
1 6
2
B
A
应用叠加法求桁架各杆的内力
( P78)
表14.1
杆件 编号 FNi FNi
1 －F 1
2 －F 1
3
01
401
5 2F 2
6 0 2
FNPi FNi FNi X1
－F/2 －F/2 F/2 F/2
F/ 2 －F/ 2
[题2-43] 求三杆的轴力，各杆的EA相等。 解：
1
2
3
l
a
a
1
A
q
MF图
B
1 2
qa
2
a
a
A
1
B M1图
A
1
M2图
Ba
11
1 EI
1 2
a
2
2 3
a
a
2
a
4a3
3EI
12
1 EI
1 2
a2
a
a3 2EI
22
1 EI
1 2
a2
2 3
a
a3 3EI
1F
1 EI
1 3
a
1 2
qa2
a
qa4 6EI
1
2F EI
1 3
a
1 2
qa
2
3 4
编号 FNi FNi
1 －F 1
2 －F 1
3
01
401
5 2F 2
6 0 2
表14.1
li FNi FNi li FNi FNi li
a －Fa
a
a －Fa
a
a
0
a
a
0
a
2a 2 2Fa 2 2a
2a
0 2 2a
FN i FN i l i Fa(2 2 2)
FN i FN i l i 4(1 2)a
④计算系数11和自由项1F
1 11X1 1F 0
FB
A
a
a
C X1
X1 D
a a
a
a
F
C
C
a
1

1F
1 EI
(
1 2
Fa a a)
Fa3 2EI
11
a EA
1 EI
[
1 2
a
a
2 3
a
a
a
a]
a 4a3 EA 3EI
FB
X1
2
F
(
I Aa
2
4 3
)
A
a
C X1
X1 D
[例4] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 解：①刚架有一个多余约束。
7
15 qa2 28
[例6] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。
解：①刚架有三个多余约束。 ②选取并去除多余约束，代以多 q
a
A
a
余约束反力，得到相当系统。
B
③列出变形协调方程：
1 0 （X1方向上的位移）
2 0 （X2方向上的位移） q
3 0 （X3方向上的位移）
B
B
X3
A
X1
X2
A
11
1 [1 a a 2a
EI 2
3
1 a a 2a ]
2
3
2a3
3EI
⑤代入力法正则方程：11X1 1F 0
得
2a3 3EI
X1
3qa4 8EI
0
X1
9qa 16
A
9qa
q
X1 16
q
qa 16
A
X1
9qa 16
B
B
7qa
qa 16
16
q
B
qa 16
qa 16
A
X1
9qa 16
l
i
X1
1F
11
0
[例14-2] 已知：F，a ，EA，求桁架各杆的内力。
C
a3
D
4
F
5
1 6
C
X1 D
4
F
X1
5
3
1
6
2
B
A
a
2
B
A
切口两侧截面的相对位移等于零： 0
1F 11X1 0 11X11F 0
C
3
A
D
4
F
5
1 6
2
B
计算 FN
C 1
3
1 D
4 5
1 6
2
B
A
计算 FN
( P78)
杆件
2
1
3
l
F
D
X1 2
l
1 X1 3
F
D
切口两侧截面的相对位移等于零：
1 0
1 1F 11X10
11X11F 0
2
1
3
l
F
D
F1
2
F sin
F1
2
1 cos
l
F2 0 F2 1
12
1
13
D
F3
F 2 sin
F3
2
1
cos
1F
1 EA
FN i FN i l i
0
11
1 EA
FN i FN i
2 R3 EI
2
0
sin2 j1dj1
R3
2EI
11X1 1F 0
X1
F
[例3] 求解图示静不定结构的拉杆CD的轴力。设刚架ABC的 抗弯刚度为EI，拉杆CD的轴向刚度为EA。
解：①刚架有一个多余约束。
a
FB
C
a
②选取并去除多余约束，代以多
余约束反力，得到相当系统。
A
D
③建立力法正则方程
11X1 1F 0
X1
应用叠加法：
1 1F 1X1 0 由 1X1 11X1
∴变形协调方程
1F 11X1 0
或：11X1 1F 0 A ——力法正则方程
F
B
1F
1X1
X1
11
1
系数δ11和Δ1F可由莫尔定理(积分或图乘)求得(图c、d) F
1F
1 [( 1 Pl l) (5 2l)]
EI 2
6
(c)
q
B
B
X3 A
B
B
应用叠加法
A
A
X1
X2
B
B
B
B
1 1P 1X1 1X2 1X3 0 2 2P 2X1 2X2 2X3 0 3 3P 3X1 3X2 3X3 0
11X1 12X 2 13X3 1P 0 21X1 22X 2 23X3 2P 0 31X1 32X 2 33X3 3P 0
X2 =0
F
X3
X2
X1 X1 X3
F
X2
X3
X1 X1 X3
F
又如：
F
对 FF
称
轴
X3
X2
X1 X1 X3 X2
F
由于载荷的反对称性，
X2
对称内力为零：
F
X2
F
X1 =0， X3 =0
[例3] 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。 q
解：取左边一半计算
11X1 1F 0
2a
q aa
§14-2 用力法解超静定结构
一、力法的基本思路（举例说明）
[ 例1] 如图所示，梁EI为常数。 (a) A
试求支座反力，作弯矩图。
l
解：①判定静不定次数（一次）
②选取并去除多余约束，得到静定
基，见图(b)。
③加上原载荷,
(b)
A
④加上多余约束反力，
⑤列出变形协调方程： 1 0
F
B C
l
F
B C
8
5Fl 16
+
B
5F 16
注意：对于同一静不定结构，若选取不同的多余约束，则基 本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多 余约束，基本静定系是如图所示的简支梁。
X1 A
F
B
C
二、力法正则方程
11X1 1F 0
变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。
X1——多余未知量；
11——在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿
X1方向的位移； 1F——在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿
X1方向的位移；
力法解超静定的基本步骤：
①判定静不定次数 ②选取并去除多余约束，代以多余约束反力。 ③画出两个图：原载荷图和单位力图。
④计算正则方程的系数： 1F和11程，两图互乘得1F ，单 位力图自乘得11。
⑤建立力法正则方程：
第十四章 超静定结构
§14–1 超静定结构概述 §14–2 用力法解超静定结构 §14–3 对称及反对称性质的应用
§14-1 超静定结构概述
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称 为静不定结构(或静不定系统)，也称为超静定结构(或超静定系 统)。
在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多 余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的 数目为结构的静不定次数。
静不定问题分类
第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束， 即支反力是静不定的。
第一类
静不定问题分类
第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束， 即支反力是静不定的。
第二类：内力静不定：仅在结构内部存在多余约束， 即内力是静不定的。
第二类
F
F
F F
F
B
F
F A
C
D
C
D
B F
静不定问题分类
FN3
F 6
FN1
5F 6
例
试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。
解：①刚架为二次超静定。
a A
a
②选取并去除多余约束，代以多
q
余约束反力，得到相当系统。
③建立力法正则方程
11X1 12 X 2 1F 0 21X1 22 X2 2F 0
B q
B
A
X1 X2
④计算系数11、 12、 22和自由项1F、 2F
2
3
l
X1 X1
a
a
F
F
1
2
3
l
a
a
1
2
3
l
11
a
a
F
FN1 F
FN2 0
FN3 0
FN1
1 2
FN2 1
FN
3
1 2
1F
1 EA
FNi FNi
l
i
Fl 2EA
11
1 EA
FNi FNi l i
11X1 1F 0
X1
1F
11
F 3
3 l 2 EA
FN1
X1
FN3
1 a 2 a3
A
F
X1
F 3
5Pl 3
Pl
6EI
11
1 EI
[(1 2
2l
2l) ( 2 3
2l)]
(d)
8 l3
A
3 EI
8 l3 3 EI
X1
5Fl 3 6EI
0
2l
X1
5 16
F
B
B 1
④求其它约束反力
11F
由平衡方程可求得 A 端反
16
F
力，其大小和方向。
⑤ 作弯矩图，见图(e)。
3Fl A
C
8
(e) –
3Fl
A
M图
F
2
1F
1 [1 EI 2
Fa 2a a]
2
2
Fa3 4EI
B
0
F
2
a a
11
1 EI
[1 2
a
2a
2 3
a
1 2
a
a
2 3
a]
1 21
a3
EI
M图
11X1 1F 0
B
1
1
2
X1
F 4
F
a
a
X1
F 4
A
a
B
1 Fa
3 Fa 8
4
1 Fa
4
M图
[题14-５(b)] 已知各杆的EA相等，求各杆的内力。 (P52)
对于有n个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：
11X1 12X 2 1n X n 1P 0
21X1 22X 2 2n X n 2P 0
n1X1 n2 X 2 nn X n nP 0
由位移互等定理知： ij ji
ij 影响系数，表示在基本静定系上由Xj取单位值时引起的
11X1 1F 0
[例2] 试求图示曲杆的支座反力。
F
F
A
a
B
A
j
X1
O
O
F
A
jB
O
A
j
１
O
F
A
j2
j1 B
O
１ A j2
j1
１
O
F
2
F
M
(j1)
F 2
(R
R cos2j1)
FR 2
(1
cosj1)
M
(j2
)
F 2
(R R cosj2 )
FR 2
(1
cosj
2
)
M (j1) Rsinj1
第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束， 即支反力是静不定的。
第二类：内力静不定：仅在结构内部存在多余约束， 即内力是静不定的。
第三类：混合静不定：在结构外部和内部均存在多余约 束，即支反力和内力是静不定的。
第三类
分析方法 1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
1 11X1 1F 0
q
X1
X1
q
q
a
a qa 2
2
qa 2 2
q
X1
27 56
qa
A
MA FA
1
1F
9qa4 8EI
11
7a3 3EI
则
7a3 3EI
EI 对
EI 对
EI 对
E1I1
称 E1I1 E1I1 轴
称 E1I1 E1I1 轴
称 E1I1 轴
正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可 大大简化计算过程：对称变形对称截面上，反对称内力为零 或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。