快速傅里叶变换(含详细实验过程分析)

[实验2] 快速傅里叶变换 (FFT) 实现

一、实验目的

1、掌握FFT 算法和卷积运算的基本原理；

2、掌握用C 语言编写DSP 程序的方法；

3、了解利用FFT 算法在数字信号处理中的应用。

二、实验设备 1. 一台装有CCS 软件的计算机； 2. DSP 实验箱的TMS320C5410主控板； 3. DSP 硬件仿真器。

三、实验原理 （一）快速傅里叶变换

傅里叶变换是一种将信号从时域变换到频域的变换形式，是信号处理的重要分析工具。离散傅里叶变换（DFT ）是傅里叶变换在离散系统中的表示形式。但是DFT 的计算量非常大， FFT 就是DFT 的一种快速算法, FFT 将DFT 的N 2

步运算减少至 ( N/2 )log 2N 步。

离散信号x(n)的傅里叶变换可以表示为

∑=-=1

0][)(N N nk N W n x k X ， N

j N e W /2π-=

式中的W N 称为蝶形因子，利用它的对称性和周期性可以减少运算量。一般而言，FFT 算法分为时间抽取（DIT ）和频率抽取（DIF ）两大类。两者的区别是蝶形因子出现的位置不同，前者中蝶形因子出现在输入端，后者中出现在输出端。本实验以时间抽取方法为例。

时间抽取FFT 是将N 点输入序列x(n) 按照偶数项和奇数项分解为偶序列和奇序列。偶序列为：x(0), x(2), x(4),…, x(N-2)；奇序列为：x(1), x(3), x(5),…, x(N-1)。这样x(n) 的N 点DFT 可写成：

()()∑++∑=-=+-=1

2/0

)12(1

2/0

2122)(N n k

n N

N n nk

N

W n x W

n x k X

考虑到W N 的性质，即

2/)2//(22/)2(2][N N j N j N W e e W ===--ππ

因此有：

()()∑++∑=-=-=12/0

2/1

2/0

2

/122)(N n nk

N k N

N n nk

N W n x W

W

n x k X

或者写成：

()()12()k

N X k X k W X k =+

由于X 1(k) 与X 2(k) 的周期为N/2，并且利用W N 的对称性和周期性，即：

k

N

N

k

N

W

W-

=

+2/

可得：

()()

12

(/2)k

N

X k N X k W X k

+=-

对X1(k) 与X2(k)继续以同样的方式分解下去，就可以使一个N点的DFT最终用一组2点的DFT来计算。在基数为2的FFT中，总共有log2(N) 级运算，每级中有N/2 个2点FFT蝶形运算。

单个蝶形运算示意图如下：

以N＝8为例，时间抽取FFT的信号流图如下：

从上图可以看出，输出序列是按自然顺序排列的，而输入序列的顺序则是“比特反转”方式排列的。也就是说，将序号用二进制表示，然后将二进制数以相反方向排列，再以这个数作为序号。如011变成110，那么第3个输入值和第六个输入值就要交换位置了。一种比较常用有效的方法就是雷德算法。

（二）卷积运算

卷积是数字信号处理中经常用到的运算。其基本的表达式为：

()()()

∑

=

-

=

n

m

m

n

x

m

h

n

y

编写实现程序时需要注意两点：（1）序列数组长度的分配，尤其是输出数组y (n) 要有足够的长度；（2）循环体中变量的位置，即n和m的关系。

（三）IDFT的FFT实现

IDFT与DFT的关系为

{}1

*

**

1

()[()]()

N

kn

N

k

x n IDFT X k X k W

N

-

=

==∑

即

{}**

1()[()]x n DFT X k N

=

那么直接调用FFT 子程序计算IDFT 的方法是：

X

（四）线性卷积的FFT 实现

当有限长序列x(n)与h(n)的圆周卷积长度L ≥N+M 时，其中N 、M 分别为x(n)和h(n)的长度，L 点的

圆周卷积能够代表它们的线性卷积，即x(n)○h(n)=x(n)*h(n)。再利用DFT 的圆周卷积性质

x(n)○h(n)=IDFT{X(k)H(k)}

就可以利用FFT 计算两个有限长序列的线性卷积。

y x (n h (n (n )n )*h (n )

（五）分段卷积

直接利用DFT 计算的缺点是：(1) 信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多；(2) 内存要求大；(3) 算法效率不高。解决问题方法是采用分段卷积，分段卷积可采用重叠相加法和重叠保留法来实现。

1. 重叠相加（overlap add ）

将长序列x[k] 分为若干段长度为L 的序列][][0

nL k x k x n n -=∑

∞

=

其中

⎩⎨

⎧-≤≤+=

010

][][其它L k nL k x k x n 记 [][][]n n y k x k h k =*，那么，][][][][0

k h nL k x k h k x n n *-=

*∑

∞

=][0

nL k y n n -=∑∞

=

y 0[k]的非零范围为20-+≤≤M L k ，y 1[k-L]的非零范围为22-+≤≤M L k L 。序列y 0[k]、y 1[k]的重叠部分为2-+≤≤M L k L ，重叠的点数L+M-2-L+1=M-1。依次将相邻两段的M-1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。

2.重叠保留法(overlap save) 方法：

(1) 将x [n ]长序列分段，每段长度为L ； (2) 各段序列xn [k ]与 M 点短序列h [k ]循环卷积； (3) 从各段循环卷积中提取线性卷积结果。

因 yn [k ]=xn [k ] L h [k ] 前M -1个点不是线性卷积的点，故分段时每段与其前一段有M-1个点重叠。