广义相对论第八次作业

上式中我们把 a / a0 当一个宗量来处理。当把积分上限取为 1，相应的时间就是宇 宙年龄，考虑 Ω0 = 1 ，得
2 a (t ) 3H 0t 2 / 3 =( ) ，因此现在宇宙的寿命为 t0 = H 0−1 。 3 a0 2
2 H 02 a0 =
−1/ 2 a / a0 2 Ω a a (= ) H 02 (1 − Ω 0 + Ω 0 0 ) ⇒ = t H 0−1 ∫ (1 − Ω 0 + 0 ) dx ， 0 a0 a x
进而讨论 Ω0 = 1 的情况下宇宙Baidu Nhomakorabea寿命。
8π G 8π G 2 2 2 + K = ρ a 2= 和 H 02 a0 证明：把 a ρ0 a0 − K 两式相减，得 3 3 8π G 8π G 2 2 2 2 ρ0 a0 ρa ， H 02 a0 = −a − 3 3
dρ a = −3 ( ρ + p ) 。 dt a
试从此方程出发导出
d ( ρ a 3 ) = −3 pa 2 ， da
满足 r matter a 3 = const ， 辐射为主宇宙 （ p = ρ / 3） 并讨论实物为主的宇宙 （ p� ρ） 满足 r radiation a 4 = const 。
《广义相对论基础》第九次作业答案
一、已知 A= Aµ ,ν − Γ λ µ ;ν µν Aλ ，利用标量微分关系 U ; µ = U , µ 及莱布尼兹法则证明：
µ µ µ B= B,ν + Γ λν Bλ 。 ;ν
证明：由莱布尼兹法则，有
µ µ ， ( Aµ= ， ( Aµ= B µ );ν Aµ ;ν B µ + Aµ B;ν B µ ),ν Aµ ,ν B µ + Aµ B,ν
8π G 2 + K = ρ a2 ， a 3
出发，考虑到 Hubble 定律 a = H (t )a ，对于今天的宇宙有
8π G 2 ρ0 a0 −K。 3 8π G ρ 及 r matter a 3 = const ，证明 请把上面的两个式子相减，并考虑到 / ρc = Ω ρ= 2 3H
dρ 3 = ， a + 3ρ a 2 a −3 pa 2 a dt
即
r matter a 3 = const 。
辐射为主的宇宙满足 p = ρ / 3 ，因此
d ( ρ a3 ) = −3 pa 2 = − ρ a 2 ，即 da
r radiation a 4 = const 。
三、由弗里德曼方程
整理，得
µ µ µ + Aµ Γσν Aµ B= Aµ B,ν Bσ ， 即 ;ν
µ µ µ B= B,ν Bσ 。 + Γσν ;ν
二、在宇宙学中，均匀各向同性介质的能量动量张量采用形式 T µν = ( ρ + p )u µ uν + pg µν ， 由能量动量张量满足 T;νµν = 0 ，可导出一个微分方程
d 证明： ( ρ a 3 ) = −3 pa 2 da 而
⇔
1 d ( ρ a3 ) = −3 pa 2 。 dt a
d ( ρ a3 ) d ρ 3 ， a + 3ρ a 2 a = dt dt
因此
dρ a = −3 ( ρ + p ) 。 dt a d 实物为主的宇宙满足 p � ρ ，因此可取 p ≈ 0 ，因此 ( ρ a 3 ) = −3 pa 2 = 0 ，即 da
而 U ;µ = U , µ ，故
µ µ 。 Aµ ;ν B µ + Aµ B;ν = Aµ ,ν B µ + Aµ B,ν
把 A= Aµ ,ν − Γ λ µ ;ν µν Aλ 代入上式，得
µ µ µ ， ( Aµ ,ν − Γ λ Aµ B;ν Aµ ,ν B µ + Aµ B,ν µν Aλ ) B + =
3 考虑到 ρ a 3 = ρ0 a0 ，上式可变为：
2 2 H 02 a0 = −a
8π G 8π G 2 3 ， ρ0 a0 ρ0 a0 − 3 3a
考虑到 = Ω0 ρ0 = / ρ0c
8π G ρ0 ，整理得 3H 02
−1/ 2 a / a0 2 Ω0 a0 a −1 2 (= ) H 0 (1 − Ω 0 + Ω 0 ) ⇒ ) dx ， = t H 0 ∫ (1 − Ω 0 + 0 a0 a x