基于瞬时频率估计及时频滤波的阶比分量提取

文章编号:1004-132Ⅹ(2003)17-1506-04

基于瞬时频率估计及时频滤波的阶比分量提取

郭

瑜

博士

郭

瑜

秦树人

摘要:在虚拟式旋转机械特征分析的研究中,利用基于瞬时频率估计的阶比跟踪结合G a b o r

时频滤波实现了阶比分量的提取。实际测试验证了该方法可有效地实现旋转机械非稳定振动信号中各阶比分量的提取。该方法简单、有效,且只需用软件算法实现,有很好的应用前景。

关键词:旋转机械;阶比分量;瞬时频率估计;时频滤波;虚拟仪器中图分类号:T H 1

15文献标识码:A

收稿日期:2002-07-02

基金项目:国家自然科学基金资助重点项目(50135050)

1阶比分析实现方法简介

旋转机械升降速振动信号是典型的非稳定变频信号,

直接对其进行频谱分析将产生严重的"频率模糊"。为解决这一问题,产生了角域采样理论和建立在其基础上的阶比分析理论。阶比分析的关键在于如何实现相对于参考轴的恒角度增量(Δθ)采样。在旋转机械升降速阶段参考轴的转速是变化的,对其转速进行跟踪并实现恒角度增量

采样的过程称为阶比跟踪采样[1,2]。

1.1传统方法

硬件阶比跟踪和计算阶比跟踪[3,4]

是两种常用的传统方法。硬件阶比跟踪采样的实现是直接通过专门的硬件设备(

采样率合成器、抗混叠跟踪滤波器、监测轴转速的频率计数器和在使用中采样速率可调的硬件采样装置等)实现对振动信号的恒角增量采样,也称为同步采样(采样率的变化与轴转速同步)。该方法的主要局限是相关设备成本高、传感器安装复杂,因此其使用的范围受到限制。计算阶比跟踪法是近十年来发展起来的一种先进技术,其特点是实现了用固定采样速率下的采样数据通过信号处理算法以软件的形式合成同步采样数据,但该方法在使用上仍需使用转速计。1.2瞬时频率法

近来在研究中提出了基于信号时频分析和瞬时频率估计的阶比跟踪方法。该方法在原理上利用了参考轴瞬时转速n i (t )(t 为时间)和其瞬时频率f i

(t )的对应关系n i (t )=60f i

(t )(1)

实现阶比跟踪。在应用中利用信号时频分布谱图,

利用峰值搜索法获得参考轴离散瞬时频率f i

(k ),再通过分段最小二乘拟合多项式拟合的方法获得

连续瞬时频率f i (t ),进而得到其瞬时转速n i (t )。通过插值算法实现等角度采样。其优点是只需直接通过对振动信号本身的时频分布的处理即可进

行阶比分析[5]。

2阶比分量提取

在阶比分析中通常希望能得到信号中的各阶比分量的时域波形,如何简单有效地将各阶比分量从原始信号中分离出来一直是阶比分析技术的重要研究课题。目前已在商业软件中得到应用的技术主要是丹麦B &K 公司拥有专利的V o l d-K a l m a n 跟踪滤波法[6]

。该技术是基于非稳定信号K a l m a n 滤波法的时域滤波法。

近来非平稳信号的时频分析成为信号处理领域的研究热点。用某种方法将各分量在时频面上分离并进行波形重构称为时频滤波。

为保证波形重构正确,通常选用满足线性叠加性质的线性时频分布,例如G a b o r

变换、小波变换等。2001年,A l b r i g h t 等[7]利用G a b o r 变换实现阶比分量提取。

笔者通过对这一内容的深入研究,在虚拟式旋转机械特征分析课题的研究中,利用

提出的基于瞬时频率估计的阶比跟踪结合G a b o r

时频滤波实现了阶比分量的提取。

2.1G a b o r

展开简介1946年,G a b o r [8]

提出可用离散的时频网格来表示一个信号,即G a b o r

展开:s (t )=

Σ+∞

m =-∞Σ+∞

n =-∞

C

m ,n h m ,n

(t )(2)

h m ,n

(t )=h (t -m T )e j n Ωt

式中,T 为时间采样间隔;Ω为频率采样间隔;h (t )为单位能量为1的综合窗(函数);C m ,n 为G

a b o r 系数;m 为时间坐·

6051·

标;n 为频率坐标。

研究证明,式(2)的正确性仅当T Ω≤2π时

成立[9]

。T Ω=2π称为临界采样,T Ω<2π称为过采样。尽管G a b o r

展开在信号处理中的作用得到公认,但长期未能在实际中得到应用。根据B a l i a n -L o w 定理,除在临界采样条件下,h m ,n

(t )并不构成正交基,即C m ,n 不唯一。

在临界采样条件下,h (t )在时域和频域的局部性很差[10]

,不能用其表示信号的局部特征。而在过采样条件下,由于h m ,n (t )不构成正交基,C m ,n 不唯一。

如何计算G a b o r 系数和如何选择能正确表示分析信号的G a b o r 系数一直是两个研究课题。B a s t i a a n s t [9]

提

出了用综合窗(函数)h (t )的对偶窗(函数)γ(t )

计算G a b o r

系数,即C m ,n =

(t )>=∫+∞

-∞s

(t )γ

*m ,n

(t )d t (3)

γm ,n

(t )=γ(t -m T )e j n Ωt

式(3)即是所谓的G a b o r 变换,和式(2)组成

G a b o r 变换对。对偶窗γ(t )与综合窗h (t )具有双

正交性[11]

,

即T 0Ω0

2π

∫

+∞-∞

h (t )γ*(t -m T 0)e j n Ω0t

d t =δ(m )δ(n )(4)

T 0=

2π

ΩΩ0=

2πT

We x l e r 等[11]利用离散泊松和(P o i s s o n -s u m)

公式,推导出了与式(2)、式(3)和式(4)对应的周期

有限离散序列的离散G a b o r 变换(D G T )对

s ~(i )=

ΣM-1m =0ΣN-1

n =0

C

m ,n h ～

m ,n

(i )

(5)

C m ,n =ΣL -1i =0

s ~(i )γ～*

m ,n

(i )h ～m ,n

(i )=h ～(i -m ΔM)W n ΔNi L γ～m ,n (i )=γ～(i -m ΔM)W n ΔNi L W

n ΔNi

L

=e

>

))

2πn ΔNi /L

(6)

和有限离散序列的h ～(i )与γ～(i )

的双正交性关系ΣL -1

i =0

h

～

(i +m N)W -n Mi L

γ～*

(i )=δ(m )δ(n )(7)

0≤m≤ΔN -1

0≤n ≤ΔM -1

式中,L 为信号周期;ΔM、ΔN 分别为时间采样间隔和频率采样间隔,临界采样时ΔMΔN=L ,过采样时ΔMΔN

由式(5)可看出若求得对偶窗γ～(i ),G a b o r 系数C m ,n 的计算实际就是采样短时傅里叶变换

(S T F T )[9]

。令ΔMΔN =p ,式(7)可记为如下矩阵形式:

H p ×L p q *

L ×1=r p *1(s )r p ×1=[

100t 0]

T

这一研究成果对实际应用有重要价值。B a s t i a a n s t 方法的主要难题在于如何计算满足式(4)并能很好反映被分析信号局部特征的对偶函数γ(t )。

近几年来,这方面的研究大有进展,B a s t i a a n s t

[12]

研究了用u a v 变换获得偶函数γ(t );w i a n

[13]

等提出了有限x 似正交y G a b o r

展开,即在过采样条件下(ΔMΔN

如何选取可正确表示被分析信号局部特征的优化对偶窗γ～(i )的理论。

其中一个在阶比分量提取中感兴趣的情况是:

选择一个与综合窗h (i )最相似的优化对偶窗,记为γ～o z t (i ),相似误差

{=

m i n γ～:Hp q *

=r

|

γ～

(i )|γ～

(i )|

-h ～

(i )|2(9)

ΣL -1

i =0

}

h ～

(i )}2

=1即能量归一化。式(9)的意义在于,若选择一个局部特性好的综合窗,可得到一个局部特性同样好的对偶窗。

若综合窗矩阵H 有行满秩p ,则由式(9)确定的对偶窗为

p q *o z t

(i )~H T (H H T )-1

r (10)

详细推导见文献[13]。

通常过采样率越大,相似误差{越小。若γ～(i )~αh ～(i ),α=|γ～(i )|,则式(5)即成为所谓的x 似正交y (o r t h o g o n a l-l i v e )G a b o r

展开s ~(i )=ΣM-1m =0ΣN-1

n =0C

m ,n h ～

m ,n

(i )

C m ,n =

ΣL -1k =0

s ~

(k )γ～*

m ,n

(k )~αΣL -1

k =0s ~

(k )h ～*m ,n (k )(11)

由于综合窗是给定的,因此在相似误差{较小的

情况下(选用归一化高斯窗时,在过采样率为4时已达到应用要求)可利用式(11)实现信号的G a b o r 变换和信号的近似重构。2.2时频滤波

式(11)实际给出了信号x 似正交y G a b o r 展开进行分解和重构的算法。G a b o r 变换后得到的G a b o r 系数C m ,n 实际是时频网格上的离散点,

通过C m ,n 可实现信号的近似重构,不难联想到在阶比分析中若能得到被分析信号中某一阶比分量的

G a b o r 系数C q

m ,n

(上标q 代表第q 阶阶比分量),就可实现该阶比分量的时域波形的近似重构。

得到所需的G a b o r 系数C q

m ,n 可用时频分析中实现各信号分量分离的遮隔(m a s v )法[14]

。

在给定滤波带宽后遮隔的关键在于获得所分析阶比分量的瞬时频率,即该阶比分量的阶比跟踪。阶比分量瞬时频率的获得可直接利用前文提到的基于信号时频分析和瞬时频率估计的阶比跟踪方法,即

f q i (t )=q f 1

i

(t )(12)

式中,f 1

i

(t )为参考轴的瞬时频率,其阶比为1。具体算法步骤如下:

·

7051·