大学物理下磁场部分总结
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0 NI 2r
B M μ0 B
B
对均匀 各向同性磁介质
H
r μ0
f qE qv B
(2) 载流螺绕环内任一 点处
0 IR
B
3.基本定理 (1)对于介质中的总场B； 高斯定理仍然成立
3/ 2 2 （R 2 x 2 ）
B dS 0
S
2R
(3)无限大载流平面外 一点(电流密度为i)
1 0 I B 2 2 a
0 I B 2 a
（2）圆电流的磁场
Id l
r
I R 0
/
dB ^ dB dB // dB
^
x
B
0
R2I
2 (R 2 x2 ) 32
R2I
dB/
轴线上任一点P的磁场
圆电流中心的磁场 ½ 圆电流的中心的 1/n 圆电流的中心的
B
B
0
H
B
（1）一段载流直导线外一点的磁感应强度 B 0 (sin sin ) 2 1 4 a I 无限长时 B 0 2a 2 （2）载流圆线圈轴线上一点的磁感应强度 B 圆心处 B 0 I
几种典型载流导线所产生的磁感应强度
电磁场对运动电荷的作用力
0 Ir r< R 2R 2 I B 0 r>R 2r
i
M
p
V
m
在各向同性磁介质中
M xm H
(2)磁场强度矢量 (是辅助物理量)
磁通量 m BdS cos B dS
S S
dB
4
0 qv r
r3
载流平面线圈在均匀磁场B 中受到磁力矩的作用 M Pm B 式中 Pm NISn 为线圈的磁矩 运动电荷在外磁场中受 到的磁力： f qv B
3. 载流线圈的磁力矩 M Pm B
4.磁通量
n
I
m B dS BdS cos
1、毕奥-萨伐尔定律 真空中一个电流元Idl ，在相对于该电流元位矢为r的位置
0 Idl r 所产生的磁感应强度dB为dB 4 r 3 0 4 107 H m 1 , 为真空磁导率。dB的方向沿Idl r 方向。
3. 电磁波
变化的电场、变化的磁场相互激发，相互转化；以一定的速度由近及远地向周围空 间传播电磁波。
例1. 两平行长直导线相距40×10-2m，每条导线载有电流20A，如 图2所示，则通过图中矩形面积abcd的磁通量ф=___________. 解：
磁通量计算公式 : m B dS
注意：直接对dB 积分是常见的错误， 一般 B dB
几种典型电流的磁场分布如下：
（1）载流直导线的磁场：
I
Idl
l
1
r
0 I B sin 2 sin 1 4 a
2
dB P
角增加的方向与电流方向相同，则为正， 反之，则为负。
a
※长直电流的磁场 1 2 , 2 2 半长直电流的磁场 1 0, 2 2
Idl
B
L
F dF L Idl B
L
三.稳恒磁场的基本性质： 1.磁场的高斯定理：
m
B dS 0
S
2. 安培环路定理
B dl μ0 I
L
I
L
注意
电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺旋 时， I 为正；反之为负。
毕奥—萨伐尔定律 1.电流激发磁场的规律 I dl r dB 0 4 r3 2.对于有限长的载流导线 0 Idl r B dB 4 r 3 由毕奥—萨伐尔定律可得到 运动电荷激发的磁场
安培定律 1.任意形状的载流导线上的电 流元在外磁场中受的安培力
1.磁场的高斯定理
2、安培定律 大小：
dF Idl B
dF
dF IdlB sin θ 方向：从 Idl 右旋到 B ，
大拇指的指向。
注意： 计算一段有限长载流导线在磁 场中受到的安培力时，应先将其 分割成无限多电流元，将所有电 流元受到的安培力矢量求和—矢 量积分。
B
Idl
P
B
R
o
Q
l
2
PQ
d dB dB l l S R2 dt dt dt 2 2
在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平 行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率 为常量。试证：棒上感应电动势的大小为
dB l l R2 dt 2 2
稳恒磁场是有旋、无源场
利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁场 分布的对称性，选取合适的闭合环路。
选取环路原则： (1)环路要经过所求的场点。 (2)闭合环路的形状尽可能简单，总长度容易求。
(3) 环路上各点B大小相等，方向平行于线元dl 。 μ0 I 目的是将: B dl μ0 I 写成 B L dl0 B ^ dl , cos θ 0
由电流I1产生的通过在矩形abcd的磁通量：
由右手螺旋法则，电流I1、I 2在矩形部分产生的磁场 方向都是垂直纸面向外
总 2 2 ln 3 106 Wb 2.2 10 6 Wb
例2：
在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平 行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率 为常量。试证：棒上感应电动势的大小为 B
(2) B d S 0
D (4) H d l d S t d S L S S
S
麦克斯韦电磁理论的基本思想有两点： 除静止电荷产生无旋电场外，变化的磁场产生涡旋电场； 除传导电流激发磁场外，变化的电场（位移电流）也激发涡旋磁场。
电磁感应小结
电磁感应
一.电磁感应的基本规律： 1. 法拉第电磁感应定律 ①计算步骤
（1）首先选定回路L的绕行方向. （2）按照右手螺旋关系确定出回路的正法线方向. （3）确定通过回路的磁通量的正负. （4）确定磁通量的时间变化率的正负. （5）最后确定感应电动势的正负.
dΦ ε dt
dB l l R2 dt 2 2
2
R
o
Q
l
Ek d l
L
Ek d l
P
证1：取 闭合回路OPQ 由法拉第电磁感应定律，有
B Ek d l d S L S t
OP、QO段，因为Ek（涡旋电场）的方向与径 向垂直，与 dl 矢量点积为0。
B dS 0
S
dF Idl B
2.若导线为有限长
2.安培环路定理 B dl 0 I i
L
2.有关物理量 (1)磁化强度
F
dF
L
L
I dl B
说明；安培环路定理中 的电流是闭合恒定电流. 由安培环路定理求 几种典型载流体的 磁感应强度分布 (1) 无限长均匀载流圆 柱体(半径为R)
s
0 I 对于长直导线：B 2 r
R I R I l 0 I1 0 1 1 B dS dS dS 0 1 dr S r 2 r r 2 r 2 r s 0 Il ln R ln r rR ln 3 106Wb 2
I
P
dB
Idl
r
解题步骤： a.根据载流导线的形状或磁场分布的特点，选择适当的坐标系。 b.将电流分成电流元 I d l 然后，从毕奥－萨伐尔定律解出dB的大小与方向; c.按坐标轴方向分解，求得 dBx ,dBy ,dBz
P
r d. Bx d Bx , B y d B y , Bz d Bz ; I dl 2 2 2 指明 B 的方向。 B Bx B y Bz I 或者用矢量式表示 B Bx i B y j Bz k
n
L
ε 0 与回路 L绕向相反； ε 0 与回路 L绕向相同。
②感应电流 ③若为N匝
I
ε 1 dΦ dq R R dt dt
dΦ d ( NΦ ) dΨ ε N dt dt dt
2.楞次定律：用于判断感应电流的方向
二.动生电动势和感生电动势 1.动生电动势：B不变，回路变
L L
r dB 0 2 dt
l
R 2 ( l / 2) 2 dB l dx R2 (l / 2)2 r dt 2
例3：
ε (v B) dl
非静电力：洛仑兹力
2.感生电动势：B变，回路不变 非静电力：感生电场力 （涡旋电场力 B E感与 B 构成左手螺旋关系 i E感 .dl .ds t s t
l
三.自感、互感和磁场能量
1）自感
L Φ I
自感电动势 L
1 Wm LI 2 2
求出另一
磁场能量密度 磁场能量
B 1 1 2 wm H BH 2 2 2
2
Wm wm dV
V
V
B2 dV 2
电磁场与电磁波小结
1.位移电流 为了使安培环路定理具有更普遍的意义,麦克斯韦提
出位移电流假设。
2. 麦克斯韦方程组
(1) D d S q dV S V B (3) E d l t d S L S
2 (R 2 x2 ) 32 0 I
2R 1 0 I B 2 2R
1 0 I B n 2R
（3）载流密绕直螺线管内部的磁场
B
0
2
nI (cos 2 cos 1 )
若为无限长载流螺线管
（4）运动电荷所激发的磁场为
B 0nI
0 qv r0 B 4 r 2
2
Ek d l
B
R
证2：在r＜R 区域，感生电场强度的大小
o
rdB Ek 2d t
设PQ上线元 dx 处，Ek的方向如图所示， 则金属杆PQ上的电动势为
r
Ek
P
o d x
l
cos R 2 (l / 2)2 r
Q
x
EPQ EK d x EK cos d x
磁场部分知识点总结
知识框架
稳 恒 磁 场
真空中的稳恒磁场 磁场中的磁介质
磁场 的描述
基 本 规 律
磁场的性质
1.三种磁介质 抗磁质( r 1 ) ； 顺磁质( r 1) ； 铁磁质( 1 ) .
r
1.磁感应强度B B是描写磁场本身性质的物理量 F B的大小 B max q0 v B的方向沿 的方向 （Fm v） 2.几何描述： 磁感应 线：(1) B线上某点的 切线方向是该点B的方向；(2) 磁感应线愈密的地方磁场愈强。
明确几点 (1) 电流正负规定：电流方向与环路方向满足 右手定则时电流 I取正；反之取负。 (2) B 是指环路上一点的磁感应强度，不是任 意点的，它是空间所有电流共同产生的。
(3) 环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。而 有限电流（如一段不闭合的载流导线）不适用 环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定律。 (4) 安培环路定理说明磁场性质—— 磁场是非保守场，是涡旋场。
（3）载流直螺线管的磁场 无限长时 B 0nI
B
0
2
nI (cos 2 cos 1 )
B
0i
2
(2)有磁介质时的安 培环路定理
H dl I
L i
i
稳恒磁场小结
一.基本概念
1. 磁感强度大小
Fmax B qv
方向：小磁针N极在此所 指方向
pm
2. 载流线圈磁矩 P ISn m
dI L dt
计算自感L：通电流I，计算B，求 Φ ：
NΦ NBS N
N IS L n 2V l
I
L
2）互感
Φ21 M I1
Φ12 M I2
互感电动势:
12
dI 2 M dt
21
dI1 M dt
互感的计算方法:
先设某一线圈中通以电流 I 线圈的磁通量 Φ M 3.自感磁能
B M μ0 B
B
对均匀 各向同性磁介质
H
r μ0
f qE qv B
(2) 载流螺绕环内任一 点处
0 IR
B
3.基本定理 (1)对于介质中的总场B； 高斯定理仍然成立
3/ 2 2 （R 2 x 2 ）
B dS 0
S
2R
(3)无限大载流平面外 一点(电流密度为i)
1 0 I B 2 2 a
0 I B 2 a
（2）圆电流的磁场
Id l
r
I R 0
/
dB ^ dB dB // dB
^
x
B
0
R2I
2 (R 2 x2 ) 32
R2I
dB/
轴线上任一点P的磁场
圆电流中心的磁场 ½ 圆电流的中心的 1/n 圆电流的中心的
B
B
0
H
B
（1）一段载流直导线外一点的磁感应强度 B 0 (sin sin ) 2 1 4 a I 无限长时 B 0 2a 2 （2）载流圆线圈轴线上一点的磁感应强度 B 圆心处 B 0 I
几种典型载流导线所产生的磁感应强度
电磁场对运动电荷的作用力
0 Ir r< R 2R 2 I B 0 r>R 2r
i
M
p
V
m
在各向同性磁介质中
M xm H
(2)磁场强度矢量 (是辅助物理量)
磁通量 m BdS cos B dS
S S
dB
4
0 qv r
r3
载流平面线圈在均匀磁场B 中受到磁力矩的作用 M Pm B 式中 Pm NISn 为线圈的磁矩 运动电荷在外磁场中受 到的磁力： f qv B
3. 载流线圈的磁力矩 M Pm B
4.磁通量
n
I
m B dS BdS cos
1、毕奥-萨伐尔定律 真空中一个电流元Idl ，在相对于该电流元位矢为r的位置
0 Idl r 所产生的磁感应强度dB为dB 4 r 3 0 4 107 H m 1 , 为真空磁导率。dB的方向沿Idl r 方向。
3. 电磁波
变化的电场、变化的磁场相互激发，相互转化；以一定的速度由近及远地向周围空 间传播电磁波。
例1. 两平行长直导线相距40×10-2m，每条导线载有电流20A，如 图2所示，则通过图中矩形面积abcd的磁通量ф=___________. 解：
磁通量计算公式 : m B dS
注意：直接对dB 积分是常见的错误， 一般 B dB
几种典型电流的磁场分布如下：
（1）载流直导线的磁场：
I
Idl
l
1
r
0 I B sin 2 sin 1 4 a
2
dB P
角增加的方向与电流方向相同，则为正， 反之，则为负。
a
※长直电流的磁场 1 2 , 2 2 半长直电流的磁场 1 0, 2 2
Idl
B
L
F dF L Idl B
L
三.稳恒磁场的基本性质： 1.磁场的高斯定理：
m
B dS 0
S
2. 安培环路定理
B dl μ0 I
L
I
L
注意
电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺旋 时， I 为正；反之为负。
毕奥—萨伐尔定律 1.电流激发磁场的规律 I dl r dB 0 4 r3 2.对于有限长的载流导线 0 Idl r B dB 4 r 3 由毕奥—萨伐尔定律可得到 运动电荷激发的磁场
安培定律 1.任意形状的载流导线上的电 流元在外磁场中受的安培力
1.磁场的高斯定理
2、安培定律 大小：
dF Idl B
dF
dF IdlB sin θ 方向：从 Idl 右旋到 B ，
大拇指的指向。
注意： 计算一段有限长载流导线在磁 场中受到的安培力时，应先将其 分割成无限多电流元，将所有电 流元受到的安培力矢量求和—矢 量积分。
B
Idl
P
B
R
o
Q
l
2
PQ
d dB dB l l S R2 dt dt dt 2 2
在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平 行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率 为常量。试证：棒上感应电动势的大小为
dB l l R2 dt 2 2
稳恒磁场是有旋、无源场
利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁场 分布的对称性，选取合适的闭合环路。
选取环路原则： (1)环路要经过所求的场点。 (2)闭合环路的形状尽可能简单，总长度容易求。
(3) 环路上各点B大小相等，方向平行于线元dl 。 μ0 I 目的是将: B dl μ0 I 写成 B L dl0 B ^ dl , cos θ 0
由电流I1产生的通过在矩形abcd的磁通量：
由右手螺旋法则，电流I1、I 2在矩形部分产生的磁场 方向都是垂直纸面向外
总 2 2 ln 3 106 Wb 2.2 10 6 Wb
例2：
在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平 行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率 为常量。试证：棒上感应电动势的大小为 B
(2) B d S 0
D (4) H d l d S t d S L S S
S
麦克斯韦电磁理论的基本思想有两点： 除静止电荷产生无旋电场外，变化的磁场产生涡旋电场； 除传导电流激发磁场外，变化的电场（位移电流）也激发涡旋磁场。
电磁感应小结
电磁感应
一.电磁感应的基本规律： 1. 法拉第电磁感应定律 ①计算步骤
（1）首先选定回路L的绕行方向. （2）按照右手螺旋关系确定出回路的正法线方向. （3）确定通过回路的磁通量的正负. （4）确定磁通量的时间变化率的正负. （5）最后确定感应电动势的正负.
dΦ ε dt
dB l l R2 dt 2 2
2
R
o
Q
l
Ek d l
L
Ek d l
P
证1：取 闭合回路OPQ 由法拉第电磁感应定律，有
B Ek d l d S L S t
OP、QO段，因为Ek（涡旋电场）的方向与径 向垂直，与 dl 矢量点积为0。
B dS 0
S
dF Idl B
2.若导线为有限长
2.安培环路定理 B dl 0 I i
L
2.有关物理量 (1)磁化强度
F
dF
L
L
I dl B
说明；安培环路定理中 的电流是闭合恒定电流. 由安培环路定理求 几种典型载流体的 磁感应强度分布 (1) 无限长均匀载流圆 柱体(半径为R)
s
0 I 对于长直导线：B 2 r
R I R I l 0 I1 0 1 1 B dS dS dS 0 1 dr S r 2 r r 2 r 2 r s 0 Il ln R ln r rR ln 3 106Wb 2
I
P
dB
Idl
r
解题步骤： a.根据载流导线的形状或磁场分布的特点，选择适当的坐标系。 b.将电流分成电流元 I d l 然后，从毕奥－萨伐尔定律解出dB的大小与方向; c.按坐标轴方向分解，求得 dBx ,dBy ,dBz
P
r d. Bx d Bx , B y d B y , Bz d Bz ; I dl 2 2 2 指明 B 的方向。 B Bx B y Bz I 或者用矢量式表示 B Bx i B y j Bz k
n
L
ε 0 与回路 L绕向相反； ε 0 与回路 L绕向相同。
②感应电流 ③若为N匝
I
ε 1 dΦ dq R R dt dt
dΦ d ( NΦ ) dΨ ε N dt dt dt
2.楞次定律：用于判断感应电流的方向
二.动生电动势和感生电动势 1.动生电动势：B不变，回路变
L L
r dB 0 2 dt
l
R 2 ( l / 2) 2 dB l dx R2 (l / 2)2 r dt 2
例3：
ε (v B) dl
非静电力：洛仑兹力
2.感生电动势：B变，回路不变 非静电力：感生电场力 （涡旋电场力 B E感与 B 构成左手螺旋关系 i E感 .dl .ds t s t
l
三.自感、互感和磁场能量
1）自感
L Φ I
自感电动势 L
1 Wm LI 2 2
求出另一
磁场能量密度 磁场能量
B 1 1 2 wm H BH 2 2 2
2
Wm wm dV
V
V
B2 dV 2
电磁场与电磁波小结
1.位移电流 为了使安培环路定理具有更普遍的意义,麦克斯韦提
出位移电流假设。
2. 麦克斯韦方程组
(1) D d S q dV S V B (3) E d l t d S L S
2 (R 2 x2 ) 32 0 I
2R 1 0 I B 2 2R
1 0 I B n 2R
（3）载流密绕直螺线管内部的磁场
B
0
2
nI (cos 2 cos 1 )
若为无限长载流螺线管
（4）运动电荷所激发的磁场为
B 0nI
0 qv r0 B 4 r 2
2
Ek d l
B
R
证2：在r＜R 区域，感生电场强度的大小
o
rdB Ek 2d t
设PQ上线元 dx 处，Ek的方向如图所示， 则金属杆PQ上的电动势为
r
Ek
P
o d x
l
cos R 2 (l / 2)2 r
Q
x
EPQ EK d x EK cos d x
磁场部分知识点总结
知识框架
稳 恒 磁 场
真空中的稳恒磁场 磁场中的磁介质
磁场 的描述
基 本 规 律
磁场的性质
1.三种磁介质 抗磁质( r 1 ) ； 顺磁质( r 1) ； 铁磁质( 1 ) .
r
1.磁感应强度B B是描写磁场本身性质的物理量 F B的大小 B max q0 v B的方向沿 的方向 （Fm v） 2.几何描述： 磁感应 线：(1) B线上某点的 切线方向是该点B的方向；(2) 磁感应线愈密的地方磁场愈强。
明确几点 (1) 电流正负规定：电流方向与环路方向满足 右手定则时电流 I取正；反之取负。 (2) B 是指环路上一点的磁感应强度，不是任 意点的，它是空间所有电流共同产生的。
(3) 环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。而 有限电流（如一段不闭合的载流导线）不适用 环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定律。 (4) 安培环路定理说明磁场性质—— 磁场是非保守场，是涡旋场。
（3）载流直螺线管的磁场 无限长时 B 0nI
B
0
2
nI (cos 2 cos 1 )
B
0i
2
(2)有磁介质时的安 培环路定理
H dl I
L i
i
稳恒磁场小结
一.基本概念
1. 磁感强度大小
Fmax B qv
方向：小磁针N极在此所 指方向
pm
2. 载流线圈磁矩 P ISn m
dI L dt
计算自感L：通电流I，计算B，求 Φ ：
NΦ NBS N
N IS L n 2V l
I
L
2）互感
Φ21 M I1
Φ12 M I2
互感电动势:
12
dI 2 M dt
21
dI1 M dt
互感的计算方法:
先设某一线圈中通以电流 I 线圈的磁通量 Φ M 3.自感磁能