蔡子星模拟题-原创物理竞赛决第一套

原创物理竞赛决赛模拟题
第一套
满分140分 命题人 蔡子星 第一题（20分） 我们假设汽车前进的阻力主要来源于滚动摩擦。

假设地面很硬，轮胎被挤压变形。

当正压力为N 时，轮胎接触面接触部分的长度为kN ∆=（当然形变远小于半径）。

当轮胎滚动时，支持力将作用在接触面的边缘处。

考虑一个前轮驱动的汽车，最大牵引力矩为M ，最大功率为P 。

汽车的重力为G ，重心距离地面高度和车轮半径均为h ，重心位于前后轮的中点处，前后轮轴距离l 。

正常行驶的时候，车轮和地面之间不发生相对滑动。

车轮质量相对于汽车可以忽略。

（1） 计算汽车以最大功率P 匀速行驶时的速度，以及前轮和后轮与地面之间的摩擦力，并指明方
向。

（2） 计算汽车以最大牵引力矩M 刚启动的时候加速度，以及前轮和后轮与地面之间的摩擦力，并
指明方向。

（3） 计算汽车以最大牵引力矩M 能爬上的最大坡度θ，要求在此角度爬坡时，车轮与地面不滑动，
求地面与车轮之间的摩擦系数μ的最小值满足的方程。

第二题（20分）
在空间中存在轴对称分布的介质，折射率随不同位置分布的函数为：()a
n r r
=
其中a 是常数，r 是参考点到z 轴的矩离。

有一个点光源位于坐标为0(,0,0)r 的位置，发射一束激光。

激光出射方向和y z -平面平行，与x y -平面夹角为α。

认为光线满足的折射定律，结果光线刚好能走过一个螺旋线
达B 点0(,0,)r h （即光线距离Z 轴的距离保持位0r ）
求各参数a ，α，h 应当满足的条件。

（以下不是考题：如果给定α，不要求光走螺旋线，只是要求光能到达B 点，则a 应当满足什么条件？）
l '
∆h
G
∆
第三题（20分）
气缸中填充有数密度为n 气体，气体粒子静质量为0m 。

气缸形状是边长为l 的立方体。

为了简单
起见，我们假设粒子只能相对气缸沿着x 正向或反向以速度v 运动（v 并非远小于光速c ）。

粒子与气缸壁之间做完全弹性碰撞。

我们这里把碰撞产生的压强定义为：在单位面积上，在一定时间内容器壁碰撞的粒子与容器壁交换的动量。

（1） 在相对于气缸沿着y 方向，速度u 运动的参照系中，计算因为粒子碰撞产生的压强。

（2） 在相对于气缸沿着x 方向，速度u 运动的参照系中，计算因为粒子碰撞产生的压强。

（以下不是考题）在相对于气缸沿着与x 轴方向夹角θ方向，速度u 运动的参照系中，计算因为粒子碰撞产生的压强。

第四题（20分）
找一个理想的电感L ，两个阻值为1R 和2R 的电阻，一个电动势为ε的直流电源，连接成如图的电
路。

开关闭合后电感电流逐渐增大直到稳定。

（1） 从开关闭合到电路达到稳定，1R 上流过的电量为多少？1R 上总发热为多少？ （2） 1R 上发热量达到1R 上总发热一半的时候，求电源流过的电流。

x
y
z
α
A B
x
y
o
第五题（20分） 某人希望完成电能的分配，于是模仿变压器造了如图所示的一个装置。

先用硅钢造成一个架子（可以理解为三个对称的半框形支路连接起来），磁通量只能在硅钢内，即不会漏磁。

一条支路上密绕了3N 扎线圈，接入一个交流电源0()cos U t U t ω=，另两个支路分别密绕了1N 、2N 扎线圈，接入电阻1R 、2R 。

系统达到稳定工作状态
（1） 求出两个绕有电阻的支路上磁通量的比值。

（2） 求出1R 上的平均功率。

第六题（20分） 从赤道发射一个总质量为M 人造卫星（包含发动机和燃料的质量）。

发动机正常工作的时候可以将燃料以相对卫星2000m/s u =的速度喷射出去。

可以通过计算得知，总质量从M 下降到'M 时，火箭的速度能增加'
ln
M v u M
∆=。

我们把卫星送上同步轨道的过程简化成为两次在极短时间的喷射。

第一次喷射发生在地面附近，剩余质量为1M ，第二次喷射发生在同步轨道卫星高度，最后进入同步轨道时候的质量为2M 。

地球半径6371R km =，地面附近重力加速度为29.8g ms -=，一天24T h =，求出
'
M M 的最小值，并指出在地面附近的起飞方向与水平的夹角。

忽略地球自转对初速度的影响，T 只用来确定同步轨道卫星的半径。

ε
L
1
R 2
R S
0()cos U t U t
ω=3
N 1
N 1
R
2
N 2
R
~
第七题（20分）
如图四根杆铰接，长度比为3：3：1：1。

短杆长度为l ，两边吊着质量为m 的重物，中间放着原
长为
22
l
的弹簧，弹簧下端和短杆一起铰接在地面上，平衡的时候杆和水平角度为45 。

始终保持左右对称，求微小振动的时候系统的周期。

重力加速度为
g 。