专题训练(一) 三角形内角和与外角应用的常见类型

专题训练(一)三角形内角和与外角应用的常见类型►类型一直接计算角度

1．如图1－ZT－1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果∠A＝50°，那么∠1＋∠2的度数为()

图1－ZT－1

A．130°B．180°C．230°D．260°

2．如图1－ZT－2，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为()

图1－ZT－2

A．40°B．50°C．60°D．70°

3．如图1－ZT－3，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为()

图1－ZT－3

A．18°B．20°C．38°D．40°

4．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝3∠C，则∠B＝________°.

5．2017·迁安市一模如图1－ZT－4，在△ABC中，∠A＝64°，D是BC延长线上一点，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝________°；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……∠A n－1BC与∠A n－1CD的平分线相交于点A n，要使∠A n的度数为整数，则n的最大值为________．

图1－ZT－4

6．已知：图1－ZT－5是五角星形，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．

图1－ZT－5

►类型二在三角尺或直尺中计算

7．如图1－ZT－6，把一个含30°角的三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数为()

图1－ZT－6

A．20°B．50°C．60°D．70°

8．2018·鄂州一副三角尺如图1－ZT－7所示放置，则∠AOD的度数为()

图1－ZT－7

A．75°B．100°C．105°D．120°

9．2018·青海小桐把一副三角尺按如图1－ZT－8所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1＋∠2等于()

图1－ZT－8

A．150°B．180°C．210°D．270°

10．已知直线l1∥l2，一个含45°角的三角尺按如图1－ZT－9所示方式放置．若∠1＝85°，则∠2＝________°.

图1－ZT－9

11．如图1－ZT－10，一个含30°角的三角尺DEF放置在△ABC上，三角尺DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝70°，求∠DBA＋∠DCA的度数．

图1－ZT－10

►类型三与平行线的性质或判定综合

12．2018·宿迁如图1－ZT－11，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是()

图1－ZT－11

A．24°B．59°C．60°D．69°

13．如图1－ZT－12，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线．若∠B＝35°，AB∥CE，则∠A的度数为()

图1－ZT－12

A．35°B．75°C．85°D．95°

14．如图1－ZT－13，a∥b，∠1＋∠2＝75°，则∠3＋∠4＝________°.

图1－ZT－13

15．如图1－ZT－14，AD∥BE，AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，试判断AC和BC 的位置关系，并说明理由．

图1－ZT－14

16．如图1－ZT－15，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．

图1－ZT－15

17．如图1－ZT－16，在△ABC中，∠ABC＝30°，点D在BC上，点E在AC上，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于点F.

(1)求∠BFD的度数；

(2)若EG∥AD交BC于点G，EH⊥BE交BC于点H，求∠HEG的度数．

图1－ZT－16

►类型四与截取或折叠有关

18．如图1－ZT－17，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD 折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE的度数为()

图1－ZT－17

A．71°B．64°C．80°D．45°

19．如图1－ZT－18，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在BC边上的点A1处，折痕为CD，则∠A1DB＝________°.

图1－ZT－18

20．如图1－ZT－19，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为________．

图1－ZT－19

教师详解详析

1．C [解析] ∵∠1＝∠A ＋∠ADE ，∠2＝∠A ＋∠AED ，

∴∠1＋∠2＝∠A ＋∠ADE ＋∠A ＋∠AED ＝∠A ＋(∠ADE ＋∠A ＋∠AED)＝50°＋180°＝230°.

2．A [解析] ∵AB ⊥BD ，∠A ＝40°，∴∠AEB ＝90°－40°＝50°.∴∠DEC ＝50°. ∵AC ⊥CD ，∴∠D ＝90°－50°＝40°.

3．B [解析] 在△ABC 中，∵∠B ＝36°，∠C ＝76，∴∠BAC ＝68°.∴∠BAD ＝∠DAC ＝34°.

∴∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝70°. ∴∠DAE ＝20°.

4．75 [解析] ∵∠A ＝80°，∴∠B ＋∠C ＝180°－80°＝100°.∵∠B ＝3∠C ，∴3∠C ＋∠C ＝100°.∴∠C ＝25°.∴∠B ＝75°.故答案为75.

5．32 6 [解析] 由三角形的外角性质，得∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC.

∵∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点A 1， ∴∠A 1BC ＝12∠ABC ，∠A 1CD ＝1

2

∠ACD.

∴∠A 1＝∠A 1CD －∠A 1BC ＝12∠ACD －12∠ABC ＝12(∠ACD －∠ABC)＝12∠A ＝1

2×64°

＝32°.

同理可得∠A 2＝1

2∠A 1，

∴∠A 2＝1

4∠A.

∴∠A n ＝⎝⎛⎭⎫12n

∠A ＝64°

2n

.