信号检测与估计理论

式
3.3.2 最佳判决式 直接极小化平均代价
C P( H j )cij P( H i | H j )
j 0i 0
1
1
(3.3.3)
得到最佳判决式是不方便的，为此利用如下关系式：
P( H i | H j ) Ri p( x | H j )dx
R p( x | H j )dx 1 j 0,1
(4) 判决规则：观测信号 x 是 ( x | H 0 ) 还是 ( x | H1 ) 需要 判决。为此，根据 ( x | H j )( j 0,1) 的统计特性, 将观测空 间 R 划分为两个子空间 R0 和 R1 , 对硬判决而言, 要满足：
R0 i, j 0,1 判决H1成立 R1 i j (3.2.1b) 如图3.2.2所示。 图3.2.2 判决空间划分
观测信号的概率密度函 数
判决域划分 Ri
p( x | H j )
j 0,1
判决结果 ( H i | H j )
i, j 0,1
判决概率 P( H i | H j ) Ri p( x | H j )dx
P( H1 | H j ) 1 P( H 0 | H j )
最佳检测 最佳划分判决域 Ri (i 0,1)
i, j 0,1
(3.3.4a )
(3.3.4b)
R0 p( x | H j )dx 1 R1 p( x | H j )dx
j 0,1
(3.3.4c)
第3章 信号状态检测 3.3 二元信号的贝叶斯检测准则－最佳判决
式
可将平均代价 C 式改写为
C c00 P ( H 0 ) c01 P ( H1 ) R1 P( H 0 )(c10 c00 ) p( x | H 0 ) P ( H1 )(c01 c11 ) p ( x | H1 )dx P ( H 0 )(c10 c00 ) p ( x | H 0 )dx (3.3.5a )

概率密度函数；合理判决域划分； 判决结果与判决概率； 最佳检测概念。
第3章
信号状态检测
3.2
检测理论的概念－二元信号检测
二元信号状态统计检测 的归纳：
信号模型 H 0 ： xk s0 k nk H 1 ： xk s1k nk i 0,1 k 1,2,, N k 1,2,, N
式
1 P ( H )(c p ( x | H1 ) H 0 10 c00 ) p( x | H 0 ) H 0 P( H1 )(c01 c11 )
(3.3.7)
该式就是二元信号贝叶 斯检测准则的最佳判决 式。 p( x | H j ) 称为似然函数，所以判决式 (3.3.7) 又称为
观测信号的概率密度函数
判决域划分 Ri
判决结果 ( H i | H j )
i, j 0,1,, M
判决概率 P( H i | H j ) Ri p( x | H j )dx
i, j 0,1,, M
最佳检测 最佳划分判决域 Ri (i 0,1,, M )
第3章
信号状态检测
3.3 二元信号的贝叶斯检测准则－概念
H0
H1
假设 判决
H0 P( H 0 | H 0 )
P( H1 | H 0 )
H1
P( H 0 | H1 )
H0
( H 0 | H 0 ) ( H 0 | H1 )
( H 1 | H 0 ) ( H1 | H1 )
H0
H1
H1
P( H1 | H1 )
判 决结果的统一表示： ( H i | H j )(i, j 0,1)
i, j 0,1
j 0,1
第3章
信号状态检测
3.2
检测理论的概念－M 元信号检测
3.2.2 M元信号状态统计检测的归纳：
信号模型
H j ： xk s jk nk j 0,1,, M p( x | H j )
i 0,1,, M
k 1,2,, N
j 0,1,, M
第3章
信号状态检测
3.2
检测理论的概念－二元信号检测
例3.2.1 二元信号状态统计检测时,观测信号模型为 H 0： x a n H1： x a n 2 其中，信号 a 0 , 确知信号； 加性高斯噪声 n ~ N(0, n )。 研究该信号的检测问题 ： 判决域划分；判决结果 ；判决概率； 最佳检测概念。 解： 该信号的观测空间是一维的，即 x 。 2 观测噪声 n ~ N(0, n )； 2 观测信号 ( x | H 0 ) ~ N(a, n )；
决域,能够实现信号状态的最 佳检测。
2. 判决结果与判决概率 二元信号状态有四种判决结果, 见表3.2.1。 对应四种判 决结果, 有四个判决概 率, 见表3.2.2 。
第3章
信号状态检测
3.2
检测理论的概念－二元信号检测
表3.2.1 二元信号检测判决结果 表3.2.2 二元信号检测判决概率
假设 判决
本章内容重点
本章内容重点：
奈曼 - 皮尔逊检测准则
信号状态统计检测理论 的概念； 二 元信号状态统计检测的三大准则： 贝叶斯检测准则， 最小平均错误概率检测 准则， 奈曼 - 皮尔逊检测准则； 高斯观测信号时二元信号检测的 若干概念； M 元信号状态统计检测的 基本方法与性能 ； 随机(未知)参量信号检测的 基本方法： 平均似然比检验， 广义似然比检验， 奈曼 - 皮尔逊检验。
第3章
信号状态检测
3.1 引言
3.1 引言
本章讲述信号状态统计 检测的概念、准则、方 法和 性能分析。
本章主要内容 ：
参量型信号状态的统计 检测问题。其他内容略 。 信号状态统计检测的概 念； 二元信号状态的统计检 测准则； 高斯观测信号时信号状 态的统计检测问题 ； M 元信号的检测问题； 随机(未知)参量信号的检测方法。
时，判决假设 H 0 成立，能使平均代价C 最小 ； 当
P ( H1 )(c01 c11 ) p ( x | H1 ) P ( H 0 )(c10 c00 ) p ( x | H 0 ) 时，判决哪个假设成立都是一样的，通常判决假设 H1
成立。 将上述结果写成一式 ，整理得
第3章 信号状态检测 3.3 二元信号的贝叶斯检测准则－最佳判决
x 可能落入的空间 。假设 H j ( j 0,1) 为真的观测信号
记为( x | H j ) ，其概率密度函数为 p( x | H j )( j 0,1) 。
第3章
信号状态检测
H1
3.2
检测理论的概念－二元信号检测
观测
信源
H0
概率 转移机构
空间R
判决 规则
H1成立
H 0成立
图3.2.1 二元信号状态统计检测 理论的信号模型
i 0
Ri R
1
(3.2.1a)
R R 0
判决H 0成立
Ri R j
第3章
信号状态检测
3.2
检测理论的概念－二元信号检测
当 x 落入 R0域 时, 则判决假设 H 0 成立, 而不管实 际信号是( x | H 0 ) 还是 ( x | H1 ) ；
当 x 落入 R1域 时, 则判决假设 H1 成立, 而不管实 际信号是( x | H1 ) 还是 ( x | H 0 ) 。 显然, 判决结果与判决域的划 分有关。最佳划分判
二元信号状态统计检测理论的模型如图3.2.1所示。
第3章
信号状态检测
H1
概率 转移机构
3.2
检测理论的概念－二元信号检测
观测
信源
H0
空间R
判决 规则
H1成立
H 0成立
图3.2.1 二元信号状态统计检测 理论的信号模型
(1) 信源：某时刻输出信号两种可能状态的一种, 分别记 为假设H 0和假设H1 。 (2) 概率转移机构：将信源输出的假设 H j ( j 0,1)为真 的信号以概率 P( H j )( j 0,1)映射到观测空间 。 (3) 观测空间 R：信号叠加观测噪声所形成的观测信号
或
C c11 P ( H1 ) c10 P( H 0 ) R0 P( H1 )(c01 c11 ) p( x | H1 ) (3.3.5b)
分析：前两项是固定代价，积分项可变； 积分项中两被积函数均为正函数； 式(3.3.5a)的积分域是判决假设 H1 成立的 R1 域；
式(3.3.5b)的积分域是判决假设 H 0 成立的 R0 域 。
第3章 信号状态的统计检测理论
第 3章 信号状态检测 本章内容要点
本章内容要点：
信号状态统计检测理论 的概念； 二元信号的贝叶斯检测 准则； 二元信号的派生贝叶斯 检测准则； 高斯观测信号时二元信 号状态的统计检测； M元信号状态的统计检测 ； 随机(未知)参量信号状态的统计检测；
第3章
信号状态检测
价因子 cij 表示，含义是：假设 H j 为真时, 判决假设 H i (i, j 0,1) 成立所付出的代价 ,且满足 cij c jj (i j ) 。
第3章
信号状态检测
3.3 二元信号的贝叶斯检测准则－概念
考虑以上三个因素, 可求出平均代价
C P( H 0 )c00 P( H 0 | H 0 ) c10 P( H1 | H 0 ) P ( H1 )c01 P ( H 0 | H1 ) c11 P ( H1 | H1 )
似然比检验判决式。 式中 p( x | H1 ) ( x) p( x | H 0 ) 称为似然比函数，它仅 与观测信号的统计特性 有关。 P( H 0 )(c10 c00 ) 0 P( H1 )(c01 c11 ) 称为似然比检测门限， 它仅与P( H j )、cij (i, j 0,1)有关, 用来确定判决域的划分 。
第3章
信号状态检测
3.2
检测理论的概念－二元信号检测
3.2 信号状态统计检测理论 的基本概念
针对不同的信号模型, 有相应的信号状态统计 检测理 论。下面基于已知观测 信号概率密度函数的二 元信号, 来 阐述信号状态统计检测 理论的概念。然后说明 M元信号 检测的概念。这种利用 观测信号概率密度函数 的信号状 态检测, 称为参量型信号状态检 测, 它能实现信号状态的 最佳检测。 3.2.1 二元信号状态的统计检 测 1. 检测理论模型
2 观测信号 ( x | H1 ) ~ N(a, n )。
第3章
信号状态检测
3.2
检测理论的概念－二元信号检测
p (x | H0 ) P (H0 | H0 )
p ( x | H1 )
P ( H1 | H1 )
a

o
x0
a
P ( H1 | H 0 )
x
P ( H 0 | H1 ) R0
R1
图3.2.4 图示信号的统计检测
P ( H j )cij P( H i | H j )
j 0i 0
1
1
(3.3.3)
在假设为真的先验概率H j ( j 0,1) 已知，代价因子 cij (i, j 0,1)指定的情况下，使平均代价 C 最小的信号
检测准则， 称为贝叶斯检测准则。
第3章 信号状态检测 3.3 二元信号的贝叶斯检测准则－最佳判决
3.3 二元信号的贝叶斯检测 准则
3.3.1 平均代价与贝叶斯检测准则的概念 信号状态的贝叶斯检测 准则是以平均代价最小 为指 标的一种最佳信号检测 准则。 信号检测性能与判决概 率 P( H i | H j )(i, j 0,1) ； 与假设 H j 为真的先验概 率 P( H j ) ( j 0,1) 有关，先验概率大的假设的判决概率对检测性 能影响大； 先验概率满足 P( H 0 ) P( H1 ) 1； 与各种判决所付出的代价有关 ,用代
判 决概率的统一表示： P( H i | H j ) R p( x | H j )dx(i, j 0,1)
i
判 决结果的含义： 判 决概率的含义： 假设 H j为真时, 判决 假设 H j为真时, 判决 假设 H i成立 (i, j 0,1) 。 假设 H i成立 的概率(状态检测 3.3 二元信号的贝叶斯检测准则－最佳判决
式
这样，当 P ( H1 )(c01 c11 ) p ( x | H1 ) P ( H 0 )(c10 c00 ) p ( x | H 0 )
时，判决假设 H1 成立，而当 P ( H1 )(c01 c11 ) p ( x | H1 ) P ( H 0 )(c10 c00 ) p ( x | H 0 )