-=使
()BY Y ACY C
Y AX X '=''='-1
2
22212222
1n p p p y y y y y y ----+++=++ΛΛ，
且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在Y C Z 1
-=中，令p y y y ===Λ21
,1,021=====++n p p y y y Λ则可得一线性方程组
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++1
10
02211,122,11
1,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，
由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21Λ=使
()0111000<--=----+++='p n AX X s s
ΛΛ， 即证存在0≠X ，使0<'A X X 。
13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。 证 因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且
0>'A X X ， 0>'B X X ， 因此
()0>'+'
=+'BX X AX X X B A X ， 于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。
14．证明：二次型()n x x x f ,,,21Λ是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数≠p 秩r ，则r p <。即
()n x x x f ,,,21Λ2
2122221r p p y y y y y ---+++=+ΛΛ，
若令
021====p y y y Λ，11===+r p y y Λ，
则可得非零解()n x x x ,,,21Λ使()0,,,210≥矛盾，故r p =。
充分性。由r p =，知
()n x x x f ,,,21Λ2
2221p y y y +++=Λ，
故有()0,,,21≥n x x x f Λ，即证二次型半正定。
15．证明：2
112
⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i n
i i x x n 是半正定的。
证 2
112
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i n
i i x x n
()
-+++=2
2221n x x x n Λ
()
n n n n n x x x x x x x x x x x x x
12321212222122222-+++++++++++ΛΛΛΛ
()1-=n ()
-+++2
2221n x x x Λ（+++++ΛΛ32121222x x x x x x n
n n n x x x x 1222-++Λ）
()()()
2
121233121222121222n n n n x x x x x x x x x x x x +-+++-++-=--Λ
()2
1∑≤<≤-=
n
j i j i
x x
。
可见：
1） 当n x x x ,,,21Λ不全相等时 ()n x x x f ,,,21Λ()02
1>-=∑≤<≤n
j i j i
x x 。
2） 当n x x x ===Λ21时 ()n x x x f ,,,21Λ()02
1=-=
∑≤<≤n
j i j i
x x
。
故原二次型()n x x x f ,,,21Λ是半正定的。
16．设()AX X x x x f n '
=,,,21Λ是一实二次型，若有实n 维向量21,X X 使 01
>'AX X ， 022<'AX X 。 证明：必存在实n 维向量00≠X 使000
='AX X 。 设A 的秩为r ，作非退化线性替换CY X =将原二次型化为标准型
2
222211r r y d y d y d AX X +++='
Λ， 其中r d 为1或-1。由已知，必存在两个向量21,X X 使
011
>'AX X 和 022<'AX X ， 故标准型中的系数r d d ,,1Λ不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有p 个1，q 个-1， 且r q p =+，即
2
2
12
2
1q p p p y y y y AX X ++---++='ΛΛ， 这时p 与q 存在三种可能：
q p =， q p >， q p < 下面仅讨论q p >的情形，其他类似可证。
令11===q y y Λ， 01===+p q y y Λ， 11===++q p p y y Λ， 则由CY Z =可求得非零向量0X 使
02
2
12
2
100
=---++='++q p p p y y y y AX X ΛΛ， 即证。
17．A 是一个实矩阵，证明：
()()A rank A A rank ='。
