线性代数习题3.2 向量组及其线性组合

线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
§3.2 向量组及其线性组合
R( A) R( A, B )
1 3 Ｂ的二阶子式 4 0 1 1 R( B ) 2
R( A) R( B ) R( A, B ) 2 组A与组B等价
线性代数
首页
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 向量组及其线性组合
线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
§3.2 向量组及其线性组合
§3.2 向量组及其线性组合
三.向量组等价
设A : a1 , a2 ,, am 及B : b1 , b2 ,, bl , 若组B中的每个 向量都能由组A线性表示, 称组B能由组A线性表示
若组A与组B能相互线性表示，称这 两个向量等价
～
~
～
C A B，则A的列向量组与B的列向量组等价.
～
线性代数
首页
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 向量组及其线性组合
Th2 组B : b1 , b2 ,, bl能由组A : a1 , a2 ,, am线性表示 A a1 , a2 ,, am ( A, B) a1 ,, am , b1 ,, bl
线性代数
首页
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 向量组及其线性组合
结论： T T a1 r b1 r A B，则A的行向量 B 1. A 组与 B 的行向量组等价 . T a b T m m c 2. A a1 , a2 ,, an b1 , b2 ,, bn B
二.线性表示
１.定义 给定向量组A : a1 , a2 ,, am，对于任何一
组实数k1，k2， , km， 向量 k1a1 k 2 a2 k m am k1，k 2， , k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合 ，
个线性组合的系数 . 给定向量组A : a1 , a2 ,, am和向量b, 如果存在 一组数1，2， , m，使 b 1a1 2a2 m am
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
§3.2 向量组及其线性组合
2.向量空间
T R r ( x1, x 2, x 3 ) x1, x 2, x 3R
3


r ( x, y, z )
T
R( A) R( A, B ) cor 组A : a1 , a2 ,, am与组B : b1 , b2 ,, bl 等价 R( A) R( B ) R( A, B ) Th3 若组B : b1 ,, bl能由组A : a1 ,, am线性表示，则 R( B ) R( A)
第三章
线性方程组与向量组的 线性相关性
§3.2 向量组及其线性组合
线性代数
首页
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 向量组及其线性组合
一.向量组
１.向量
n 个有次序的数 a1,a2 , ,an 所组成的数组 称为n维向量，这n个 数称为该向量的n个分 量，第i个数a i称为第i个分量 .
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 aT , bT , T , T 等表示，如：
T m
T 2
T 1


T i T m
向量组
T 1
,
T 2
, …称为矩阵A的行向量组．
首页 上一页 下一页 返回 结束
线性代数
§3.2 向量组及其线性组合
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组 1 , 2 , , m , 构成一个m n矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
首页 上一页 下一页 返回 结束
线性代数
§3.2 向量组及其线性组合
线性代数
首页
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 向量组及其线性组合
1 3 1 3 例3 设组A : a1 1 , a2 1 , 组B : b1 1 , b2 1 1 1 0 2 证明：组A与组B等价 1 3 1 3 1 3 1 3 解： ( A, B ) 1 1 1 1 ~ 0 4 2 2 列 1 1 0 2 0 2 1 1 1 3 1 3 ~ 0 2 1 1 0 0 0 0
P ( x, y, z )
n
一 一
对
应
R x ( x1 , x 2 ,, x n ) x1 , x 2 ,, x nR

T

叫做 n 维向量空间．
线性代数
首页
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 向量组及其线性组合
3.向量组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如 矩阵A (a ij )mn 有n个m维列向量 aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
内容小结
n 维向量的概念,实向量、复向量； 1.
2.向量的表示方法：行向量与列向量； 3. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概 念.
线性代数
首页
上一页
下一页
返回
结束
向量组 a1, a 2 ,, a n上一页 下一页 返回 结束
§3.2 向量组及其线性组合
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1 n a2n a in a mn
R( A) R( A, b) R( B )
线性代数
首页
上一页
下一页
返回
结束
1 0 1 5 例2 设a1 1 , a2 2 , a3 1 , b 7 0 1 2 5 问b 能否由a1 , a2 , a3 , 线性表示，若能写出表 示式 秩法 解：B (a1 , a2 , a3 , b ) 5 1 0 1 5 1 0 0 2 1 0 1 1 2 1 7 ~ 0 1 2 5 ~ 0 1 0 1 0 0 1 3 0 0 1 3 0 1 2 5 列 阶梯形矩阵 行最简形 R( A) R( B ) b 能由a 1 , a2 , a3线性表示 得k1 2 k2 1 k3 3, b 2a1 a2 3a3
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
1 0 1 5 例１ 设a1 1 , a2 2 , a3 1 , b 7 0 1 2 5 问b 能否由a1 , a2 , a3 , 线性表示，若能写出表 示式 解：令b k1a1 k2a2 k3a3 1 0 1 5 k1 1 k2 2 k3 1 7 0 1 2 5 k1 k3 5 k1 2k2 k3 7 k 2k 5 2 3
线性代数
首页
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 向量组及其线性组合
2.秩判定法 Th1 b 能由组A : a1，a2， , am线性表示 矩阵A (a1，a2， , am )的秩等于矩阵 B (a1，a2， , am , b )的秩. 证：b 能由组A : a , am线性表示 1，a2， x1a1 x2a2 xm am b 有解
线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
§3.2 向量组及其线性组合
§3.2 向量组及其线性组合
k1 k3 5 即 k1 2k2 k3 7 k 2k 5 2 3
得k1 2 k2 1 k3 3 b 能由a1 , a2 , a3线性表示 b 2a1 a2 3a3
a T ( a 1 , a 2 , , a n )
线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
§3.2 向量组及其线性组合
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 a1 矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如： a2 a a n 注意: