数学归纳法 说课稿 教案 教学设计

数学归纳法

【教材分析】

1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【教学目标】

1、知识与技能：

（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：

努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：

通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

【教学重点】

借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】

（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；

【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；

【教学程序】

第一阶段：创设问题情境，启动学生思维

情境1、法国数学家费马观察到：6553712,25712,1712,5124

232212=+=+=+=+ 归纳猜想：任何形如12

2+n

（n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数6700417641125

25⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想。——“不完全归纳有时是错误的”

（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）

情境

2 、数列{}()

,1,1,*11N n a a a a a n

n

n n ∈+=

=+已知通过对4,3,2,1=n 前4项归纳，猜想

n

a n 1

=

——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。 通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。

为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。

第二阶段：搜索生活实例，激发学习兴趣 1、“多米诺骨牌”游戏动画演示： 探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件

引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；

①第一块骨牌倒下；

②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

强调条件②的作用：是一种递推关系（第k 块倒下，使第k+1块倒下）。 2、类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境2中对于通项公式n

a n 1

=

的猜想。 “多米诺骨牌”原理

①第一块骨牌倒下； ②若第k 块倒下，则使得第k+1块倒下

验证猜想 ↓ ↓

①1=n 验证猜想成立 ②如果k n =时，猜想成立。即k

a k 1

=

，则 当1+=k n 时，1

1

1111

1+=

+=+=

+k k

k a a a k k

k 即1+=k n 时猜想成立

3、引导学生概括, 形成科学方法

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；（归纳奠基）

(2) 假设当n ＝k (k ∈*

N ，k ≥0n ) 时结论正确, 证明当n ＝k ＋1时结论也正确．（归纳递推）

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法．

第三阶段：巩固认知结构，充实认知过程

例1.用数学归纳法证明6

)

12)(1(3212

2

2

2

++=

++++n n n n

证明：（1）当n=1时，左边112

==，右边6

)112()11(1+⋅⋅+⋅=，等式成立。

（2）假设当n=k 时，等式成立，即6

)12)(1(3212

222++=++++k k k k

则当n=k+1时，左边=()2

2

3221321++++++k k

[][][]1)1(21)1()1(61

)672)(1(61)1(6)12()1(6

1

)1(6)12)(1(22+++++=+++=++++=++++=

k k k k k k k k k k k k k k

=右边

由（1）、（2）可知，n ∈*

N 时，等式成立。 师生共同总结：

1、数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。

2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；

3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换。

4、完成第1)、2）步骤的证明后，要对命题成立进行总结。 练习：用数学归纳法证明

等式成立。

探究:已知数列

,)

13)(23(1

,,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n

设S n 为数列前n 项和，计算S 1, S 2 ,S 3 ,S 4,根据计算结果， 猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明。

解:

可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致， 分母可用项数n 表示为3n+1,可以猜想1

3+=n n

S n 证明过程由学生自主完成。

()()12121217

51531311+=

+-++⨯+⨯+⨯n n

n n

证明：(1) n=1时，左边= 3

11⨯右边= 1

121+⨯(2) 假设n=k （k ∈N *)时等式成立，即

()()12121217

51531311+=

+-++⨯+⨯+⨯k k k k 则n=k+1时，

()()()()32121121217

51531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()

32121

12+++

+=

k k k k ()1

121

321+++=

++=

k k k k 即当n=k+1时等式也成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何n ∈N * 都成立。 13

4

131********

1071727

274141414114321=

⨯+==

⨯+==⨯+==

⨯=S S S S 即当n=k+1时等式也成立。