画法几何第二章平面立体
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三棱体与水平面相交
2.3.2 截平面为投影面的垂直面
投影特征:当截平面为投影面的垂直面时，所截得的断面必然 也是投影面的垂直面
a已知
b作图
例2.4：如图，已知三棱锥SABC被正垂面所截的V投影和三
棱锥在H，W面上的投影轮廓，求被切割后的断面实形。
s’
s
3 2
1
3 2
1
a’
a 1
b’
s3 2
b
y
c’ a(c) y
平面立体的投影就是围成立体的平面、直线、点的投影。 主视图 Z 左视图
O
X 俯视图
YW
YH
三视图的位置关系和投影规律
上
上
左
右高
后
前
下
下
长
宽
后
左
右宽
前
主视图 、俯视图 主视图 、左视图 俯视图 、左视图
长对正 高平齐 宽相等
2.2 平面体的投影
2.1.1 棱柱体
直棱柱—侧棱与底面垂直。 斜棱柱—侧棱与底面倾斜。
4 整理轮廓线。
y
2 b
例2.5：如图，已知带缺口的三棱柱V投影和H投影轮廓，要 求补全这个三棱柱的H投影和W投影，并思考：图中那个投 影面反映截面的实形?
a已知
b作图
由图可知H投影反映Q面的实形，W投影反映R面的实形，P面的实 形未反映出来。
2.4 两平面体相交
相贯体—相贯（相交）的立体。 相贯线—相贯体表面出现的交线。 相贯线特点—公共性，即相贯线的点是两立体表面的公有
a
a
a
a
a(b)
a已知条件
b
b
b
b
a(b)
a(b)
b作法一
c作法二
练习：如图所示，已知六棱柱表面A点和B点的的V投影a、 b ，求A、
B两点的H投影和W投影。
a
Βιβλιοθήκη Baidu
(a)
(b)
b
b a
分析图中那些能够反映三棱柱表面的实形和实长？那些具有积聚性？
a棱柱的投影模型
b三面投影图
例2.2：如图，已知三棱柱的三面投影和三棱柱侧棱面上直线AB和BC在 V面上的投影ab 、 bc ，求AB、BC在其他两个面上的投影，要 求清楚表达所求直线投影的可见性。
有积聚投影的情况。
b、辅助作图法—适用于已知相贯点某面投影，求其它投影面
上投影的情况。
c、辅助平面法—适用于相贯两立体均无积聚投影或其它情况。
2.4.1直接作图法 例2.6：如图所示，两个四棱柱形成相贯体，已知它们的两面 投影轮廓如图b所示，求做相贯线，并补全相贯体的两面投影。
L4
L3 1
L1 4
2.3 平面切割平面体
截平面：切割形体的平面。 截交线：截平面与形体表面的交线。 断面：截交线围成的平面图形，也称截断面，或截面。
截交线
截平面
P 断面
平面切割立体
2.3.1 截平面为投影面的平行面
投影特征:当截平面为投影面的平行面时，所截得的截交 线必定与投影面平行，截交线所围成断面必然也是投影面的 平行面。
第2章 平面立体
2.1 概述 2.2 平面体的投影 2.3 平面切割平面体 2.4 两平面体相交
2.1 概述
凡是表面由平面围成的几何体称为平面立体。凡是表 面由曲面或由曲面和平面围成的几何体称为曲面立体。
各种复杂的建筑形体都可以分解成若干个简单的基本 形体。基本形体可分为平面立体和曲面立体。
图2-1 建筑形体的分解
s
s
2 r 1 (3)
2
3 1
b
a c
b(c)
a
b
r s3
c
1
2
a
2.2.3 棱台
•棱台可看成是由棱锥用平行于锥底面的平面截去锥顶而形 成的形体，上、下底面为各对应边相互平行的相似多边形， 侧面为梯形。
视图特征： 1)反映底面实形的视图为两个相似多边形和反映侧面的 几个梯形; 2)另两视图均为梯形(或梯形的组合图形)。
a 已知条件
b作图结果
2.4.2 辅助直线法 例2.8：已知，如下图所示，已知四棱柱与三棱柱的三面投影轮 廓，求它们相贯后的三面投影。
a已知条件和立体示意图
2.4.2辅助直线法
4′ 3′ 1′ 2′
14 23
b作图过程
c作图结果
2.4.3辅助平面法
a已知条件
2.4.3辅助平面法
b作图过程
b作图过程
c作图结果
2.4.3辅助平面法
a已知条件
2.4.3辅助平面法
b作图过程
2.4.3辅助平面法
c作图结果
c
Ⅰ
A
b Ⅲ
Ⅱ
B
练习： 求带切口三棱锥的投影
s'
s"
4'
4"
解题步骤
1' a'
a1
4
2' (3‘) b'c' c"
c 3
3" y
y
s
1" 2" a" y
1 分析 截交线的 正面投影已知，水 平投影和侧面投影 未知；
b" 2 求出截交线上的 折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ 、Ⅳ；
3 顺次地连接各点 ，作出截交线，并 且判别可见性；
s
S
s
b c
A
C
a（c)
B
b
a
c
s
b
三棱锥的投影图
s
s
a
b c
a
b
a
（c)
c
s
A
b
S C B
例2.3：已知点的V投影面上的投影m、n ， 求作m、n和m、 n 。
s
s
m a e
a
m
n f
b
c
a（c)
（n） b
f
c
s
e mn
b
练习：已知如图三棱锥上点的V投影面上的投影1、2 、 3 ， 求其在H、W两面投影 。
32 L2
4′ 1′ 3′ 2′
a立体示意图
b已知
相贯体可见性判别原则：位于两立体都可见的侧面上，则相贯线可见，只要 有一个侧面不可见，则这两个侧面的交线不可见。
2.4.2辅助直线法 虽然立体表面或棱线有积聚投影，但由于位置特殊，不能完全利 用积聚性直接求出相贯点的各面投影，需要在立体表面做辅助线 来求得相贯点。 例2.7请画出烟囱、虎头窗与屋面的交线。
•正棱柱——底面为正多边 形的直棱柱。
视图特征： 1)反映底面实形的视图为 多边形； 2)另两视图均为由实线或 虚线组成的矩形。
分析图中那些能够反映六棱柱表面的实形和实长？那些 具有积聚性？
平面体表面的点和线的投影均在其相应的同名投影面上。
例2.1：如图所示，已知长方体顶面内的A点和底面内的B点的 H投影a、b，求A、B两点的V投影和W投影。
c b a
c b a
(c) a b
a已知条件
ac b
b作法
2.2.2 棱锥体
棱锥体——底面为多 边形，不属于该多边 形平面的空间任意一 点作为顶点与多边形
各顶点用直线连接形 a
成的平面立体。
•正棱锥——底面为 正多边形，顶点过底 面中心垂线的棱锥体。
视图特征： 1)反映底面实形的视图 为多边形（三角形的组 合图形）； 2)另两视图均为三角形。
点；封闭性，相贯线一般是封闭的空间折线，可在同一平面 上，也可不在同一平面上。
折线—平面体有关表面的交线。 折点—一个立体上的棱线与另一个立体的表面的交点（即
贯穿点）。
相贯线的投影—可转换为求线面交点的投影，连线即得相贯
线投影，棱线穿入体内的线段，一般不必画出。
求相贯线的方法：
a、直接作图法—适用于两立体相贯时，有一立体在投影面上
2.3.2 截平面为投影面的垂直面
投影特征:当截平面为投影面的垂直面时，所截得的断面必然 也是投影面的垂直面
a已知
b作图
例2.4：如图，已知三棱锥SABC被正垂面所截的V投影和三
棱锥在H，W面上的投影轮廓，求被切割后的断面实形。
s’
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3 2
1
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a 1
b’
s3 2
b
y
c’ a(c) y
平面立体的投影就是围成立体的平面、直线、点的投影。 主视图 Z 左视图
O
X 俯视图
YW
YH
三视图的位置关系和投影规律
上
上
左
右高
后
前
下
下
长
宽
后
左
右宽
前
主视图 、俯视图 主视图 、左视图 俯视图 、左视图
长对正 高平齐 宽相等
2.2 平面体的投影
2.1.1 棱柱体
直棱柱—侧棱与底面垂直。 斜棱柱—侧棱与底面倾斜。
4 整理轮廓线。
y
2 b
例2.5：如图，已知带缺口的三棱柱V投影和H投影轮廓，要 求补全这个三棱柱的H投影和W投影，并思考：图中那个投 影面反映截面的实形?
a已知
b作图
由图可知H投影反映Q面的实形，W投影反映R面的实形，P面的实 形未反映出来。
2.4 两平面体相交
相贯体—相贯（相交）的立体。 相贯线—相贯体表面出现的交线。 相贯线特点—公共性，即相贯线的点是两立体表面的公有
a
a
a
a
a(b)
a已知条件
b
b
b
b
a(b)
a(b)
b作法一
c作法二
练习：如图所示，已知六棱柱表面A点和B点的的V投影a、 b ，求A、
B两点的H投影和W投影。
a
Βιβλιοθήκη Baidu
(a)
(b)
b
b a
分析图中那些能够反映三棱柱表面的实形和实长？那些具有积聚性？
a棱柱的投影模型
b三面投影图
例2.2：如图，已知三棱柱的三面投影和三棱柱侧棱面上直线AB和BC在 V面上的投影ab 、 bc ，求AB、BC在其他两个面上的投影，要 求清楚表达所求直线投影的可见性。
有积聚投影的情况。
b、辅助作图法—适用于已知相贯点某面投影，求其它投影面
上投影的情况。
c、辅助平面法—适用于相贯两立体均无积聚投影或其它情况。
2.4.1直接作图法 例2.6：如图所示，两个四棱柱形成相贯体，已知它们的两面 投影轮廓如图b所示，求做相贯线，并补全相贯体的两面投影。
L4
L3 1
L1 4
2.3 平面切割平面体
截平面：切割形体的平面。 截交线：截平面与形体表面的交线。 断面：截交线围成的平面图形，也称截断面，或截面。
截交线
截平面
P 断面
平面切割立体
2.3.1 截平面为投影面的平行面
投影特征:当截平面为投影面的平行面时，所截得的截交 线必定与投影面平行，截交线所围成断面必然也是投影面的 平行面。
第2章 平面立体
2.1 概述 2.2 平面体的投影 2.3 平面切割平面体 2.4 两平面体相交
2.1 概述
凡是表面由平面围成的几何体称为平面立体。凡是表 面由曲面或由曲面和平面围成的几何体称为曲面立体。
各种复杂的建筑形体都可以分解成若干个简单的基本 形体。基本形体可分为平面立体和曲面立体。
图2-1 建筑形体的分解
s
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2 r 1 (3)
2
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a c
b(c)
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1
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2.2.3 棱台
•棱台可看成是由棱锥用平行于锥底面的平面截去锥顶而形 成的形体，上、下底面为各对应边相互平行的相似多边形， 侧面为梯形。
视图特征： 1)反映底面实形的视图为两个相似多边形和反映侧面的 几个梯形; 2)另两视图均为梯形(或梯形的组合图形)。
a 已知条件
b作图结果
2.4.2 辅助直线法 例2.8：已知，如下图所示，已知四棱柱与三棱柱的三面投影轮 廓，求它们相贯后的三面投影。
a已知条件和立体示意图
2.4.2辅助直线法
4′ 3′ 1′ 2′
14 23
b作图过程
c作图结果
2.4.3辅助平面法
a已知条件
2.4.3辅助平面法
b作图过程
b作图过程
c作图结果
2.4.3辅助平面法
a已知条件
2.4.3辅助平面法
b作图过程
2.4.3辅助平面法
c作图结果
c
Ⅰ
A
b Ⅲ
Ⅱ
B
练习： 求带切口三棱锥的投影
s'
s"
4'
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解题步骤
1' a'
a1
4
2' (3‘) b'c' c"
c 3
3" y
y
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1" 2" a" y
1 分析 截交线的 正面投影已知，水 平投影和侧面投影 未知；
b" 2 求出截交线上的 折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ 、Ⅳ；
3 顺次地连接各点 ，作出截交线，并 且判别可见性；
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A
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b
三棱锥的投影图
s
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b c
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A
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S C B
例2.3：已知点的V投影面上的投影m、n ， 求作m、n和m、 n 。
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b
c
a（c)
（n） b
f
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e mn
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练习：已知如图三棱锥上点的V投影面上的投影1、2 、 3 ， 求其在H、W两面投影 。
32 L2
4′ 1′ 3′ 2′
a立体示意图
b已知
相贯体可见性判别原则：位于两立体都可见的侧面上，则相贯线可见，只要 有一个侧面不可见，则这两个侧面的交线不可见。
2.4.2辅助直线法 虽然立体表面或棱线有积聚投影，但由于位置特殊，不能完全利 用积聚性直接求出相贯点的各面投影，需要在立体表面做辅助线 来求得相贯点。 例2.7请画出烟囱、虎头窗与屋面的交线。
•正棱柱——底面为正多边 形的直棱柱。
视图特征： 1)反映底面实形的视图为 多边形； 2)另两视图均为由实线或 虚线组成的矩形。
分析图中那些能够反映六棱柱表面的实形和实长？那些 具有积聚性？
平面体表面的点和线的投影均在其相应的同名投影面上。
例2.1：如图所示，已知长方体顶面内的A点和底面内的B点的 H投影a、b，求A、B两点的V投影和W投影。
c b a
c b a
(c) a b
a已知条件
ac b
b作法
2.2.2 棱锥体
棱锥体——底面为多 边形，不属于该多边 形平面的空间任意一 点作为顶点与多边形
各顶点用直线连接形 a
成的平面立体。
•正棱锥——底面为 正多边形，顶点过底 面中心垂线的棱锥体。
视图特征： 1)反映底面实形的视图 为多边形（三角形的组 合图形）； 2)另两视图均为三角形。
点；封闭性，相贯线一般是封闭的空间折线，可在同一平面 上，也可不在同一平面上。
折线—平面体有关表面的交线。 折点—一个立体上的棱线与另一个立体的表面的交点（即
贯穿点）。
相贯线的投影—可转换为求线面交点的投影，连线即得相贯
线投影，棱线穿入体内的线段，一般不必画出。
求相贯线的方法：
a、直接作图法—适用于两立体相贯时，有一立体在投影面上