三种不常见的正项级数收敛性判别法

三类不常见的正项级数收敛性判别法

赖宝锋

积分判别法，对数判别法，拉贝判别法是三种重要的积分判别法，但不在大纲所规定的考核范围之内。尽管如此，这里仍然要详细地叙述下这三大判别法，以及其中所体现的思想方法，并用一些例子来说明这三种判别法。

先介绍积分判别法。先建立如下三个简单的引理。 引理1 设()f x 为[,]a +∞上的一个单调递增函数，则lim ()x f x →+∞

存在当且仅当()

f x 有界。

证明：先证明必要性。假设lim ()x f x →+∞

存在，记lim ()x f x A →+∞

=。则存在一个0R >，

当x R >时，有()1f x A -<，于是()()()1f x f x A A f x A A A =-+≤-+<+。又()f x 单调递增，因此，()()f x f a ≥。于是，()f x 有界。

充分性，若()f x 有界，则()f x 为单调有界函数，极限lim ()x f x →+∞

必存在。得证！

引理 2 设()f x 为[,]a +∞上的一个单调递增函数，则lim ()x f x →+∞

存在当且仅当

{}()f n 有界。

证明：必要性显然。充分性：[,)x a ∀∈+∞，[][]1x x x ≤<+，[]()(1)f x f x ≤+。再由{}()f n 的有界性就知道了。

引理3 设()f x 为[,)a +∞上的非负可积函数。则()a

f x dx +∞⎰

收敛当且仅当

()A

a

f x dx ⎰有界，当且仅当

{}

()n

a

f x dx ⎰

有界。

证明：()a

f x dx +∞

⎰

收敛当且仅当lim

()A

a

A f x dx →+∞⎰

存在。由于()f x 非负，因此，

()A a

f x dx ⎰

是单调递增的。由引理1，()A

a

f x dx ⎰收敛当且仅当()A

a

f x dx ⎰有界；由

引理2，()A a

f x dx ⎰收敛当且仅当

{}

()n

a

f x dx ⎰

有界。这样，结论得证！

定理1(积分判别法)假设数列{}n u 满足：0n u ≥且{}n u 单调递减。假设存在一个

[1,]+∞上的非负的单调递减的可积函数()f x ，使得()n f n u =。则1n n u +∞

=∑的收敛性

与广义积分1

()f x dx +∞

⎰

是一致的。

证明：记1n n u +∞

=∑部分和为n S ，即

1

1

1

12

2

2

1

()(1)()(1)()(1)()(1)()n n n n

n

k

k

n n k k k k k k k n

S u f k f f k f f k dx f f x dx

f f x dx

--========+=+≤+=+∑∑∑∑∑⎰

⎰

⎰

另一方面，

11

1

1

1

1

1

1

()()()()n

n

n

n

k k n n n k

k

k k k k S u f k f k dx f x dx f x dx +++=======≥=∑∑∑∑⎰

⎰

⎰

这样，1

1

1

()(1)()n n

n f x dx S f f x dx +≤≤+⎰

⎰。这样，若1

()f x dx +∞

⎰

收敛，即

{}

1

()n

f x dx

⎰

有界，即1

()f x dx +∞

⎰收敛，则{}n S 收敛，即1

n n u +∞

=∑收敛。若1

n n u +∞

=∑收敛，即{}n S 有

界，则

{}

1

1

()n f x dx +⎰

有界，即1

()f x dx +∞

⎰

收敛。

这个判别法的证明方法的几何意义是很清楚的，就是曲边梯形的内接矩形

面积小于曲边梯形面积，曲边梯形面积又小于其外接矩形的面积。见图1：

图1

注1：积分判别法中，数列{}n u 单调性可以放宽为某一项以后单调。由于级数是否收敛与前几项无关，因此，即使{}n u 某一项以后才保持单调递减性，级数仍然收敛。

下面用积分判别法解决两个问题。 例1.判别级数11

p

n n

+∞

=∑

的收敛性。

解答：当0p <，1

p

n →+∞，级数自然是不收敛的。 当0p =，

1

1p n

=，级数也不收敛。 当0p >，广义积分11

p dx x +∞⎰当1p >时收敛，当01p <≤时发散。于是，01p <≤时，级数收敛。当1p >时，级数发散。综合起来看，1p ≤，级数发散。1p >，级数收敛。 例2.判别级数21

ln p

n n n

+∞

=∑

的收敛性。 解答：通过研究函数

1ln p x x 可知，数列1ln p

n n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

在某一项以后就是单调递减的了。由于广义积分2

2ln 21

ln ln ln p p p d x dy dx x x

x y +∞

+∞+∞==⎰⎰⎰当1p >收敛，当1p ≤发散。于是，级数2

1

ln p

n n n +∞

=∑

当1p >收敛，当1p ≤发散。 定理2.假设数列{}n u 满足0n u >，且1

ln(

)lim ln n

n n

u p u →+∞=(包括p =+∞)。

则：(1)若1p >，级数收敛。(2)若1p <，级数发散。(3)若1p =，此法失效。

证明：若1p <<+∞，则对任意1p α<<，存在0N >，使得当n N >，有

1

ln(

)

1ln n

n

u u α>>，于是1ln()ln n n u α>，即1n n u α>，于是，10n u n α<<。由于1α>，

因此级数n u ∑收敛。

若p =+∞，与上面方法一样，只需任取一个1α>，则存在一个0N >，当

n N >，有1

ln(

)1ln n

n

u u α>>。下同。

若01p <<，则对任意1p α<<，存在0N >，使得当n N >，有1ln(

)1ln n

n

u u α<<，