应力状态与强度理论

x
y
2
x
y
2
因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且
CD1
2
B1B2 2
2
B1D1
x
2
y
2
2 xy
该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述 圆确为应力圆。
应力圆
另外，E点横坐标为：
应力圆
E OF OC CF OC CE cos2a 2a0
OC CE cos2a 0cos2a CE sin 2a 0sin 2a
D2 y , yx
应力圆
• 连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。
D1 x , xy
C
D2 y , yx
• 以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应 力圆。
D1 x , xy
C
D2 y , yx
• 从D1点按斜截面角a的转向转 动 2a 得 到 E 点 ， 该 点 的 坐 标 值
即为斜截面上的应力分量值。
2）证明
对下图所示应力圆可见C点的
横坐标为：
应力圆
E
D1 x , x
2a
C
D2 y , y
E
OC OB2 B2C
由于
O
D2B2C D1B1C
可得：
y
x
2
A2 B2
y D2
D1
2a 0
CF
B1 A1
x 1
应力圆
则：
B2C B1C
应力圆
OC
OB2
B1B2
/2 y
即： E
x
y
2
x
y
2
cos 2a
2 xy
应力圆
而圆方程为： x a2 y b2 R2
可见前式实际上表示了在为水平轴、为垂直
轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：
x
2
y
,
0
半径为：
R
x
2
y
2
2 xy
如下图。
x
2
x
2
2y
y
2
x2
2 xy
O C
x y 2
(a ,a )
应力圆
单元体斜截面上应力（a，a）和应力圆上点 的坐标（a，a）一一对应，因此可通过确定应力 圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（a，a）。
而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的 组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法 来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确 定引起材料破坏的共同因素。
关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假 说，即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度 条件。
平面应力状态
§2 平面应力状态分析•主应力
对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布
30
2
2
xy sin 60
16.9MPa
30
x
2
0
sin
2a
xy
cos
2a
45.4MPa
应力圆
2、应力圆
由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：
a
x
y
2
x
y
2
cos 2a
xy sin 2a
a
x
y
2
sin 2a
xy
cos 2a
两式两边平方后求和可得：
a
x
2
y
2
a 2
x
2
y
2
T
y
C
F x x
C
x
x
x
x
y
(a)
(b)
解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：
x
F A
500103 π 1002
63.7MPa
4
斜截面应力
xy
Me WP
7 106 π 1003
35.7MPa
y
16
y
图示斜截面上应力分量为：
x x
x C -30 °
x -30°
x 30°
y
n
x 0 x 0 cos 60
x
xy x
zb
yx y c
(a)
yx y
n
ae
d
xy
x
x a
f
xy
x
b
y yx
c
(b)
可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面 上应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的
夹角为a，称为a截面。
斜截面应力
应力的正负和斜截面夹角的正负规定：
1）正应力拉为正，压为负； 2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；
因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的
两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力 圆。
应力圆
y
1）应力图的画法
y yx
已知x、y、xy、yx， a
d
n
如右图，假定x>y。 xy e
x
x a
xy
x
b
f
c
y yx
•在、 坐标系内按比例尺确定两点：
D1 x , xy
D1 x , xy
D2 y , yx
其中dA为斜截面ef的面积。
由此可得，任一斜截面上的应力分量为：
a
x
y
2
x
y
2
cos 2a
xy
sin 2a
a
x
y
2
sin 2a
xy
cos 2a
斜截面应力
例1 图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向
拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点
a = -30°截面上的应力。
y
T F
xdAcosa
adA
n 0 ⇒
f b
yxdAsina
ydAsina t
adA xdAcosa cosa xydAcosa sina
ydAsina sina yxdAsina cosa 0
斜截面应力
t 0 ⇒
adA xdAcosa sina xydAcosa cosa ydAsina cosa yxdAsina sina 0
（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不
等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。
a'
d'
F
a
d
A
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(a)
b'
(b)
b
c' c
a
d
该应力状态则称为平面
A
应力状态，其单元体可简化
为左图所示情形。
b
c
1、斜截面上的应力
斜截面应力
已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：
y
y
y
yx
a
xy
d x
单元体如何取？
应力状态概述
在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平 面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量 dx、dy和dz，如下图所示。
y
dz
dx dy
x
z
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上 的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截 面上的应力。
2、强度理论
强度理论概述
对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相 应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。
反之为负；
3）对a角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面
外法线重合时，其值为正；反之为负。
取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截
面上应力为正，斜截面夹角为正。
(c)
e
xy
a
x
a
f b
y yx
斜截面应力
由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法
线n和切线t方向可得：
e
(d)
adA n
xy dAcosa
第一节 概述
第二节 平面应力状态分析·主应 力 第三节 强度理论及其应用
§1 概述
1、一点处的应力状态
应力状态概述
构件内一点处各截面方向上的应力的情况， 称为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元 体表面上的应力表示。
目的：通过应力状态分析求出该点处的max、max
及其作用面，从而更好地进行强度分析。