高考高中数学正态分布要点

0 ) 是参数,分别表示总 m ，s 对应着不同的
正态密度曲线的图像特征
1 f ( x) e 2s ( x )2 2s 2
x? ( ? , ? )
1 (0, ] （2）f ( x) 的值域为 2 s
(3) f ( x) 的图象关于
（1）当x = μ 时,函数值为最大.
X=μ σ
μ=0 μ= -1 μ= 1
σ=0.5
若s 固定, 随值 的变化而 沿x轴平 移, 故 称为位置 参数；
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
μ=0
s=0.5
s=1
若 固定, s 大 时, 曲线矮而胖； s小时, 曲线瘦 而高, 故称 s 为形状参数。
s=2

3、正态曲线的性质
y X=μ
+a
-a
P( s X s ) 0.6826, P( 2s X 2s ) 0.9544, P( 3s X 3s ) 0.9974.
当 a 3s 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小（一般不超过 5％ ）， .在实 ( 3 s , 3s ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 通常称这些情况发生为小概率事件。 际运用中就只考虑这个区间,称为 3s 原则.
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平
x= μ
x3
x4
x1
平均数
x2
s的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度
s1 s2
平均数
正态总体的函数表示式 1 f ( x) e 2 s
当μ= 0，σ=1时
( x )2 2s 2
0.5
,
P(2 X 2) =
.
3、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
数
学
情
景
从某中学男生中随机抽取出84名，测量身高， 数据如下（单位：cm) :
164 181 170 168 159 185 169 164 179 156 175 155 169 169 180 164 182 168 161 182 170 178 174 159 154 172 167 173 160 182 163 164 164 174 173 163 165 166 175 168 161 176 167 170 167 172 172 169 161 174 181 171 171 168 171 161 169 177 177 181 176 174 170 185 178 175 173 175 167 172 172 174 157 162 161 165 168 178 174 171 172 174 172 155
y
μ=1
y
μ=0
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2
3
x
-3 -2 -1 0
1
2 3
4x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
3、正态曲线的性质
s ( x )
y μ= -1 σ=0.5
1
2s y
e

( x )2 2s 2
, x ( , )
x =μ
对称.
x
（－∞，μ] 时f ( x)为增函数. （4）当 x∈ （μ，+∞） 时f ( x)为减函数. 当 x∈
正态曲线
知识点：正态分布
若X是一个随机变量，对任给区间(a, b]，P（a p X £ b) 恰好是正态密度曲线下方和x轴 (a, b]上方所围成的图形 的面积，我们就称Ｘ服从参数m和s 的正态分布。
y μ=1
μ=0 σ=1
σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1
1 σ 2π
方差相等、均数不等的正态分布图示
Y
２
简记为：Ｘ : Ｎ(m ，s
２
)
a
b
X
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P(a X b) ,s ( x)dx
a
b
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
第三步：作出频率分布直方图
y
频率/组距
中间高，两头低， 左右大致对称
x
知识点一：正态密度曲线
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布 直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称 此曲线为概率密度曲线． 概率密度曲线的形状特征．
频率 组距
概率密度曲线
“中间高，两头低， 左右对称”
总体在区间 (a , b)内取值的概率
s ( x )
1 2 s
e

( x )2 2s 2
σ=0.5
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
上述数据的分布有怎样的特点？
频率分布 直方图
第一步：分组
确定组数，组距？
第二步：列出频率分布表
区间 号 区间 频数 频率 累积频 频率/组距
1
2 3 4 5 6 7 8
153.5~157.5
157.5~161.5 161.5~165.5 165.5~169.5 169.5~173.5 173.5~1775 177.5~181.5 181.5~185.5
x (,)
y
μ=0
标准正态总体的函数表示式
σ=1
x2
1 2 f ( x) e x (,) 2
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
标准正态曲线
3、正态曲线的性质
s ( x )
y
μ= -1 σ=0.5
1 2s
e

( x )2 2s 2
, x ( , )
a
P( a x ≤ a)
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 s而言，该面 积随着 s 的减少而变大。这说明 s 越小, 落在区间 ( a, a] 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
s ( x )dx
, a
x=μ
特别地有
P( s X s ) 0.6826, P( 2s X 2s ) 0.9544, P( 3s X 3s ) 0.9974.
a
b
产品 尺寸 （mm）
知识点二：正态分布与密度曲线
上图中概率密度曲线具有“中间高，两头 低”的特征，像这种类型的概率密度曲线,叫 做“正态密度曲线”，它的函数表达式是
P( x) =
1 e 2ps
( x- m)2 2s 2
,x? ( ? , ? )
s (s > 式中的实数 m 、 体的平均数与标准差.不同的 正态密度曲线
引入
正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知 道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于 某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是 它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列； 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等 于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的 是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率 分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率 分布规律用密度函数（曲线）描述。
5
8 10 15 18 18 8 5
0.0595
0.0952 0.1190 0.1786 0.2143 0.1786 0.0952 0.0595
0.0595
0.1547 0.2738 0.4534 0.6667 0.8452 0.9405 1
0.015
0.024 0.030 0.045 0.054 0.045 0.024 0.015
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)

正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2

x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N
(,s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
我们从上图看到，正态总体在 2s , 2s 以外取值的概率只有4.6％，在 3s , 3s 以外 取值的概率只有0.3 ％。
1、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率 等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 0.9544 D.0.0228 2、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0)=