陕西省咸阳市实验中学2019-2020年高一下学期第二次月考数学试题

数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．tan(45)sin30(-︒+︒= ) A 3 B ．12
-
C 2
D 32．已知平行四边形ABCD 中，向量(3,7)AD =u u u r
，(2,3)AB =-u u u r
，则向量AC u u u r
的坐标为( ) A ．15
B ．27-
C ．(5,4)
D ．(1,10)
3．下列各式化简正确的是( )
A ．0OA OD DA -+=u u u r u u u r u u u r r
B ．AB MB BO OM AB +++=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r
C ．0AB CB AC -+=u u u r u u u r u u u r r
D ．00AB =u u u r
g
4．下列命题正确的是( )
A ．单位向量都相等
B ．若a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r
共线
C ．若||||a b a b +=-r r r r ，则0a b =r r g
D ．若a r
与b r 都是单位向量，则1a b =r r g
5．若向量(1,2)a =r
，(0,2)b =-r ，则()(a a b -=r r r g )
A ．6-
B ．7-
C ．8
D ．9
6．在ABC ∆中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r
， 则(EF =u u u r
)
A ．2136a b -r r
B ．1133a b +r r
C ．1124a b +r r
D ．1133
a b -r
r
7．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式．某同学想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为
120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm ．则制作这样一
面扇面需要的布料为___cm 2．( ) A ．
4003
π
B ．400π
C ．800π
D ．7200π 8．函数sin(2)3
y x π
=+的图象( )
A ．关于点(,0)6
π
对称
B ．关于点(,0)3
π
对称
C ．关于直线6
x π
=
对称
D ．关于直线3
x π
=
对称
9．将函数2()sin(2)3
f x x π=+的图象向左平移
6
π
个单位长度，所得图象对应的函数()g x ，则()g x 的单调递增区间为( )
A ．[2
k π
π+，3]2k ππ+
，k Z ∈ B ．[4k ππ-，]4k π
π+，k Z ∈ C ．[4
k π
π+，3]4k ππ+
，k Z ∈ D ．[2k ππ-，]2
k π
π+，k Z ∈ 10．函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2
πϕ<的图象如图所示，则()3
f π
的值
为( )
A ．1
2
B ．1
C 2
D 311．已知函数sin()(0)3
y x πωω=+>在区间(,)63
ππ
-上单调递增，则ω的取值范围是(
)
A ．1(0,]2
B ．1[,1]2
C ．12(,]33
D ．2
[,2]3
12．已知A ，B 2的O e 上的两个点，1OA OB =u u u r u u u r
g ，
O e 所在平面上有一点C 满足||1OA CB +=u u u r u u u r ，则||AC u u u r
的最大值为( )
A 21
B 61+
C ．21
D 61
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．求使得2
cos α≥
α的集合________． 14．已知向量(,3)a m =r ，4
(3
b m =-r ，1)m -．若a b //r r ．则m = ．
15．已知
3,4,12
a b a b ==⋅=-r r r r
，则向量a r 在b r
的射影为 .
16．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①()f x 是偶函数
②()f x 在区间（
2
π，π）单调递增
③()f x 在[,]-ππ有4个零点 ④()f x 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是_________.
第II 卷（非选择题 共90分）
三．解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）
已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点
为
P ⎝⎭，求3sin()2cos()cos(
)
2
παπαπ
α--+-的值．
18.（本小题12分）
已知4,2a b ==r r
，且+a b =r r
求：（1）()()
2a b a b -⋅+r r r r
； （2）2a b -r r .
19．（本小题12分）
已知向量(1,3)a =r
，(1,3)b =-r
，(,2)c λ=r
．
（1）若3a mb c =+r r r
，求实数m ，λ的值；
（2）若(2)()a b b c +⊥-r r r r ，求a r
与2b c +r r 的夹角θ的余弦值．
20．（本小题12分）
已知函数()12sin(2)3
f x x π=+-，[,]42
x ππ
∈．
（1）求()f x 的最大值和最小值；
（2）若不等式2()2f x m -<-<在[,]42
x ππ
∈上恒成立，求实数m 的取值范围．
21．（本小题12分）
如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD =，P 是线段AD 上（包括端点）的一个动点．
（1
）当AD AC AB u u u r u u u r
g 的值；
②若5
4
PB PC =u u u r u u u r
g ，求||AP u u u r 的值；
（2）求|2|PB PC +u u u r u u u r
的最小值． 22．（本小题12分）
已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x R ∈（其中0A >，0ω>，0)2
π
ϕ<<的图象与x 轴
的交点中，相邻两个交点之间的距离为2
π
，且图象上一个最高点为(6M π，3)．
（1）求()f x 的解析式；
（2）先把函数()y f x =的图象向左平移
6
π
个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
()y g x =的图象，试写出函数()y g x =的解析式．
（3）在（2）的条件下，若总存在0[3
x π
∈-
，
2]3
π
，使得不等式03()2log g x m +≤成立，求实数m 的最小值．
数学参考答案
一．选择题（共12小题，共60分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
C
D
A
B
B
C
B
A
A
二．填空题（共4小题,每小题5分，共20分） 13．[24
k π
π-
+，
2]4
k π
π+，k Z ∈． 14．2．
15．-3. 16.①④
三．解答题（共7小题，共70分） 17．（本题10分）解：255
sin αα==. ———————— （4分）
3sin 2cos =
sin αα
α
+原式 ——————————————————（8分）
cos 32
2sin α
α
=+= ——————————————————————（10分） 18. （本题12分）解：2222+12a b a a b b +=+⋅=r r r r r r ,4a b ⋅=-r r
.————————（4分）
（1）(
)(
)
22
2=-212a b a b a a b b -⋅+-⋅=r r
r r
r r r r ；————————————————（8分） （2）2
22
2=4484a b a a b b --⋅+=r r r r r r
，2a b -r r
————————————（12分） 19．（本题12分）解：（1）由3a mb c =+r r r ，得(1，3)(m =-，3)(3m λ+，6)，
即13,336,m m λ=-+⎧⎨=+⎩
解得0λ=，1m =-；————————————————————（6分）
（2）2(1,9)a b +=r
r ，(1,1)b c λ-=--r r ； 因为(2)()a b b c +⊥-r
r r r ，所以190λ--+=，
解得8λ=；————————————————————————————————（8分）
令2(6,8)d b c =+=r r r
，————————————————————————————（10分）
则a r
与2b c +r r 的夹角θ的余弦值为
cos ||||a d a d θ===⨯r r g r r ．———————————————————（12
分）
20．（本题12分）解：（1）Q 4
2
x
π
π
剟，∴
226
33
x π
π
π
-
剟，—————————————（3分）
∴
1sin(2)123
x π-剟， ∴2()12sin(2)33
f x x π
=+-
剟，
故()f x 的最大值为3，最小值为2；——————————————（6分） （2）由（1）知，当[,]42
x ππ
∈时，2()3m f x m m ---剟，
要使2()2f x m -<-<在[,]42
x ππ
∈上恒成立，
只需3222m m -<⎧⎨->-⎩
，——————————————————————（10分）
解得14m <<，
∴实数m 的取值范围是(1,4)．——————————————————（12分）
21．（本题12分）解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系． （1）当3AD =时，
()2i AB =Q ，∴(2,0)AB =u u u r
，3)AC =u u u r ，
因此21032AC AB =+=u u u r u u u r
g g g ；—————————————————————
———（3分）
（ⅱ）设||AP t =u u u r
，即点P 坐标为(0,)t ，
则(2,)PB t =-u u u r ，3)PC t =u u u r ，223521()(3)32()4
PB PC t t t t t =+-=+=-+u u u r u u u r g g
当3t 时，54
PB PC =u u u r u u u r g ，即3
|||AP u u u r ；——————————————————（7分）
（2）设(1,)C c 、(0,)P t ，又(2,0)B 则22(2,)(1,)(5,3)PB PC t c t c t +=-+-=-u u u r u u u r
，
∴2|2|25(3)5PB PC c t ++-u u u r u u u r
…，当3
c
t =
时取到等号， 因此|2|PB PC +u u u r u u u r
的最小值为5．——————————————————————（12分）
22．（本题12分）解：（1）Q
122T π=，2T π
πω
∴==，解得2ω=； 又函数()sin(2)f x A x ϕ=+图象上一个最高点为(6
M π
，3)，3A ∴=.
22()6
2
k k Z π
π
ϕπ⨯
+=+
∈，2()6
k k Z π
ϕπ∴=+
∈，又02
π
ϕ<<
，6
π
ϕ∴=
，
()3sin(2)6f x x π
∴=+；——————————————————————————（6分）
（2）把函数()y f x =的图象向左平移
6
π
个单位长度，得到()3sin[2()]3cos2666
f x x x πππ
+=++=；
然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
()3cos y g x x ==的图象，
即()3cos g x x =；——————————————————————————————（8分） （3）0[3
x π
∈-
Q ，
2]3π
，01cos 12x ∴-≤≤，033cos 32
x -≤≤， 依题意知331log 222m ⎛⎫
≥-+= ⎪
⎝⎭
，
所以m ≥，即实数m —。