(完整版)导数的概念及导数的几何意义

§57 导数的概念及导数的几何意义⑴
【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。

【基础知识】
1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；
2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为，
设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x
x f x x f k PQ ∆-∆+=)
()(00无
限趋近点Q 处切线。

3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x
x f x x f k ∆-∆+=
)
()(00，当
△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率：
t
t s t t s ∆-∆+)
()(00，称为；当无限趋近于0 时，
t
t s t t s ∆-∆+)
()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率：
t t v t t v ∆-∆+)()(00，当无限趋近于0 时，t
t v t t v ∆-∆+)
()(00无限趋近于一个常数，这个常数
称为t=t 0时的．
【基础练习】
1．已知函数2
()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ．
2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】
例1．已知函数f(x)=2x+1,
⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点；
练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率;
⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x
==
在区间[1,1+△x]内的平均变化率
2．试比较正弦函数y=sinx 在区间0,
6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的平均变化率，并比较大小。

§58 导数的概念及导数的几何意义⑵
【典型例题讲练】
例2．自由落体运动的物体的位移s （单位:s ）与时间t （单位：s ）之间的关系是：s(t)=12
gt 2
(g 是重力加速度)，求该物体在时间段[t 1，t 2]内的平均速度； 练习：自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=
22
1gt (1)求t=t 0s 时的瞬时速度；(2)求t=3s 时的瞬时速度； (3)求t=3s 时的瞬时加速度；
例3．已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。

练习:1． 曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为_________． 2．若曲线4
y x =的一条切线与直线480x y +-=垂直，则的方程为． 3．曲线2212x y -
=与24
1
3-=x y 在交点处切线的夹角是____ __． 4．已知函数()321
22
f x x x m =-+（为常数）图象上处的切线与30x y -+=的夹角为，则点的横坐标为.
5．曲线y =x 3在点(1，1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形的面积为__________． 6．过曲线13
-+=x x y 上一点P 的切线与直线74-=x y 平行，则P 点的坐标为． 例4．求21
()f x x
=
过点(1,1)的切线方程 练习：过点(,)12P -且与曲线2342y x x =-+在点(,)11M 处的切线平行的直线方程是__ _ ___.
【课堂小结】 【课堂检测】
1．求曲线132
3
+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程
2．已知函数d ax bx x x f +++=2
3)(的图象过点P （0，2），且在点M (1
(1))f --，处的切线方程为076=+-y x ．求函数)(x f y =的解析式；
3．已知曲线()f x =
P(0,0)的切线斜率是否存在?说明理由
【课堂作业】
1．与直线14-=x y 平行的曲线23
-+=x x y 的切线方程是__ _ ___. 2．设曲线y=
2
1x 和曲线y=x 1在它们交点处的两切线的夹角为，则tan 的值为_ _ __.
3．若直线y=是曲线ax x x y +-=233的切线，则α=.
4．求曲线)2)(1(--=x x x y 在原点处的切线方程.
§59 导数的运算（1）
【考点及要求】理解导数的运算，能根据导数的定义，求函数x
y x y x y c y 1,,,2
====的导数；能利用导数数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

【基础知识】
1．基本初等函数的求导公式：
=')(C ，
；=')(αx ，（α为常数）；=')(x
a ，)1,0(≠>a a =')x (log a =，)1,0(≠>a a ；
注：当a=e 时，=')(e x
，=')(lnx ，
=')(sinx ，=')(cosx ；
2．法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的，即
=±')]()([x v x u ．
法则2 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的 ．
法则3 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即='))()((x v x u ． 法则4 两个函数的商的导数，等于，即
='⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(x x v u )0()(≠x v ． 【基础练习
】
1．求下列函数导数．
（1）5
-=x
y （2）x
y 4= （3）x x x y =
（4）x y 3log = （5）)100()
1(log 1
≠>>-=
x a a x a
y x ，，， （6）y=sin(
2π+x) (7) y=sin 3
π
（8）y=cos(2π－x) （9）y=(1)f ' 【典型例题讲练】
例1 求下列函数的导数
（1）x x y sin 3
+=； （2）2
(23)(32)y x x =+-；(两种方法)
（3）9cos 2sin 510
--=x x x x y ；（4）y =x
x sin 2
；.
练习：(1)求y =
33
2++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x
1·cos x 的导数.
（3）．求y =x
x x cos 423-的导数. （4）．求x x y x
ln 3+=的导数.
【课堂检测】
1．设函数()()(2)(3)f x x x k x k x k =++-，且'
(0)6f =，则； 2．求下列函数的导数：
(1) y =x
x 53
+ (2)y =
2
32
x
x + (3)y = )sin )(cos ln 34(x x x x ++- (4)y =
x
cos 11
-
§60 导数的运算（2）
例2．求满足下列条件的函数()f x
(1)()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-= (2)'()f x 是一次函数,2
'()(21)()1x f x x f x --=
练习：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式
例3．已知点P 在函数y=cosx 的图象上（0≤x ≤2π），在点P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围．
练习：已知函数23
5)3(3
5)(a x a ax x x f +++-=，且对0)(,≥'∈∀x f R x ， 求证：63≤≤-a
例4.若直线y x b =-+为函数1
y x
=
图象的切线,求b 的值和切点坐标． 练习：1．求曲线y=x 2在点(1,1)处的切线方程； 2．求曲线y=x 2过点(0,-1)处的切线方程；
3．已知直线1y x =-,点P 为y=x 2上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短； 【课堂小结】 【课堂检测】
1．已知函数23)(23++=x ax x f ，f ’(-1)=4，则a=．
2．过抛物线2
x y =上的点M （4
1,21）的切线的倾斜角是．
3．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为，则数列1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是．
4．曲线1y x
=
和2
y x =在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是． 5．已知曲线y =和这条曲线上的一点P (2,),求曲线y =在点P 处的切线方程.
【课堂作业】
1．若曲线y =x 2－1与y =1－x 3在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0等于． 2．求下列函数的导数：(1) y =lg(1+cos2x ) (2) y =e x ln x 3．设函数f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,试求a 的值.
4．已知抛物线y =ax 2+bx +c 通过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线y =x －3相切,求a 、b 、c 的值.
§61 导数在研究函数性质中的应用⑴
【考点及要求】
熟练掌握导数在研究函数性质中的应用；通过数形结合的方法直观了解函数的单调性、极值、最值与导数的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，能在指定区间上确定不超过三次的多项式函数的极值、最值。

【基础知识】
1．用导数的符号判别函数增减性的方法：若0)(>'x f ，则函数)(x f 为，若0)(<'x f ，则函数)(x f 为；
2．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
⑴确定函数)(x f 的；⑵求)(x f '，令0)(='x f ，解此方程，求出它在定义域外区间内的一切；
⑶把上面的各实根按由的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；
⑷确定)(x f '在各个小区间内的符号，根据)(x f '的判断函数)(x f 在每个相应小区间内的增减性；
3．函数极值的定义：设函数)(x f 在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >），就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极值；和统称为极值； 4．求可导函数)(x f 在],[b a 上的最大或最小值的一般步骤和方法：
①求函数)(x f 在),(b a 上的值；②将极值与区间端点的函数值)(),(b f a f 比较，确定最值。

【基础练习】
1．若函数)(x f 在区间),(b a 内是一个可导函数，则)(x f ＞0是)(x f 在区间),(b a 内递增的条件．
2．如果函数f(x)=x 4－8x 2+c 在[－1，3]上的最小值是－14，那么=．
3．已知0>a ，函数ax x x f -=3
)(在),1[+∞是单调递增函数，则的最大 值是____________．
4．函数22
3
)(a bx ax x x f +++=在1=x 时, 有极值10, 那么b a ,的值为 . 5．已知f(x)=ax 3－6ax 2+b 在[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，则a=___________． 【典型例题讲练】
例1．已知函数d ax bx x )x (f 2
3
+++=的图象过点P )2,0(, 且在点M ))1(f ,1(--处的切线
-2
2
O 1 -1
-1
1
方程为07y x 6=+-.
(1) 求函数)x (f y =的解析式; (2) 求函数)x (f y =的单调区间.
练习：1．已知函数1)(3
5
+++=bx ax x x f ，仅当x=－1及x=1时取得极值，且极大值比极小值大4，求a 、b 的值。

2．设522
)(2
3
+--=x x x x f （1）求函数f(x)的单调递增、递减区间； （2）当x ∈[－1，2]时，f(x)＜m 恒成立，求实数m 的取值范围。

【课堂检测】
1. 函数1x 3x )x (f 2
3
+-=是减函数的区间为 .
2. 函数9x 3ax x )x (f 2
3
-++=, 已知)x (f 在3x -=时取得极值, 则 . 3.函数x 6x 3x 4y 2
3
++-=的单调递减区间为, 极大值为,极小值为.
4． 已知: a (a x 6x 2)x (f 2
3
+-=为常数)在]2,2[-上有最大值是3, 那么]2,2[-在上的最小值是
5． (1)函数)x (f y =的图象过原点且它的导函数)x (f y '=的图象
是如图所示的一条直线, 则)x (f y =的图象的顶点在第象限 (2)如果函数bx x )x (f 3+-=(为常数) 在区间)1,0( 内单调递增, 并且
0)x (f =的根都在区间]2,2[ -内, 那么的范围是.
6．已知函数,a x 9x 3x )x (f 2
3+++-=(1) 求)x (f 的单调递减区间; (2) 若)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.
§62 导数在研究函数性质中的应用(2)
【典型例题讲练】
例2．已知函数ax x 2)x (f 3+=与c bx )x (g 2
+=的图象都过点P )0,2( 且在点P 处有相同
的切线.
(1) 求实数c ,b ,a 的值;
(2) 设函数)x (g )x (f )x (F +=, 求)x (F 的单调区间, 并指出)x (F 在该区间上的单调性. 练习：已知f(x)是三次函数，g(x)是一次函数，且f(x)－2
1
g(x)=－x 3+2x 2+3x+7，f(x)在x=1处有极值2，求f(x)的解析式和单调区间。

例3．设a 为实数,函数.a x x x )x (f 2
3+--=
(1) 求)x (f 的极值.
(2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线x )x (f y 与=轴仅有一个交点.
练习：已知向量b a b a ⋅=-=+=)x (f ),t ,x 1(),1x ,x (2
若函数在区间)1,1(-上是增函数,求
t 的取值范围. 【课堂小结】 【课堂检测】
1．函数93)(2
3-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则=． 2．函数3
2
()31f x x x =-+是减函数的区间为． 3．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是．
4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中'()f x 是
函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）
2
x 2．函数)(x f ＝522
4+-x x 在区间] ,[32-上的最大值与最小值分别是．
3. 已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间] ,[2a 上的最大值为4
3
3
, 则a 等于． 4．设函数y=f(x)是一次函数，已知f(0)=1，f(1)=－3，则该函数的导数 f ′(x)=．
5．已知函数y=3x 3+2x 2－1在区间(m ，0)上是减函数，则m 的取值范围是_____________ 6. 已知1x =是函数1nx x )1m (3m x )x (f 2
3
+++-=的一个极值点, 其中
,0m ,R n ,m <∈ (1) 求m 与n 的关系式; (2) 求)x (f 的单调区间;
(3) 当]1,1[x -∈时, 函数)x (f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m, 求m 的取值范围.
§63 导数在实际生活中的应用
【考点及要求】导数在实际问题中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，
主要有：⑴与几何有关的最值问题；⑵与物理学有关的最值问题；⑶与实际生活有关的最值问题；
【典型例题讲练】
1．与几何有关的最值问题：
例1．在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底的铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 练习：某种圆柱形饮料罐的容积为V ，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？ 变式1：表面积为定值S ，如何制造，才能使其容积最大？
变式2：例中若罐底单位造价为周围单位造价为侧壁部分单位造价的2倍，如何设计尺寸，使总造价最低？
变式3：有一底半径为r （cm ），高为h （cm ）的倒立的圆锥容器，若以n(cm 3)/s 的速度向容器里注水，求注水t(s)的水面上长的速度。

2．与物理学有关的最值问题；
例2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：313
8(0120).12800080
y x x x =
-+<≤已知甲乙两地相
距100千米。

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？。