高等数学导数的概念
高等数学导数知识点总结
高等数学导数知识点总结导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy 与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f(x0)，也记作y│x=x0或dy/dx│x=x0锐角三角函数公式sinα=∠α的对边/斜边cosα=∠α的邻边/斜边tanα=∠α的对边/∠α的邻边cotα=∠α的邻边/∠α的对边“一划、二批、三试、四分”的预习方法一划：就是圈划知识要点，基本概念。
二批：就是把预习时的体会、见解以及自己暂时不能理解的内容，批注在书的空白地方。
高等数学导数
高等数学导数
导数是高等数学中的一个重要概念，意思是表示函数的变化速率的概念，它是高等数学中的一个基本概念。
导数的定义是：当函数y=f（x）的自变量x经过一个微
小的变化时，函数y的变化量与自变量x变化量之比，记作f′（x）或y′，称为函数f（x）在x处的导数，记作d/dx[f （x）], 或f′（x）。
导数的性质可概括为：（1）函数的导数表示函数变化率
的变化，即函数变化速率；（2）函数的导数指示函数在某一
点处的变化状况，如曲线在某点的切线的斜率；（3）函数的
导数可以用来求函数的极值。
导数在微积分中具有重要的意义，它与微积分的基本概念——定积分密切相关，它使微积分中的许多定理更加清晰明了。
如果不考虑导数，微积分中的定理将是模糊的，将难以推导。
因此，导数是高等数学中非常重要的概念。
导数的应用也十分广泛，在物理、化学、经济学等多学科中都有其重要的作用。
它可以用来计算某一物体在受到力的作用时的速度变化，从而求得物体的运动轨迹；它也可以用来计算某一物体在受到力的作用时的加速度变化，从而求得物体的动量；它还可以用来计算某一物体在受到力的作用时的位置变
化，从而求得物体的位置；它在经济学中也可以用来分析某一经济指标的变化趋势。
总之，导数是高等数学中的一个重要概念，它的应用也十分广泛，具有重要的意义。
高等数学(第二版)上册课件：导数概念
右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解 当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
高等数学-导数的概念
0− 时，极限
(0 +)−(0 )
−
存
→0
在，则称此极限值为函数 = ()在0 处的左导数，记为
−′ (0 )
=
(0 +)−(0 )
−
→0
=
()−(0 )
−
.
−
→0
0
16
01 导数的定义
4.左导数和右导数
′ 在点0 处的函数值，即 ′ (0 ) = ′ ()|=0 ．
12
01 导数的定义
例2 求函数() = ( > 0)的导数．
根据导数定义，使用分子有理化得
( + ) − ()
+ −
′
() =
=
→0
→0
注
如果 ′ (0 ) = ∞，曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的
切线为垂直于轴的直线 = 0 .
19
02 导数的意义
结论 1 曲线 = ()上点(0 , 0 )处的切线方程为
− 0 = ′ (0 )( − 0 ) .
2 如果 ′ (0 ) ≠ 0，曲线 = ()在点 0 , 0
(0 + ) − (0)
=
→0
→0
=
1
()3
−0
1
2
→0 ()3
O
x
= +∞，
即导数为无穷大（导数不存在）．
26
→0
= ()在
点0 处可导，并称这个极限值为函数 = ()在点0 处的导数，
记作
′ (0 )， ′ |=0 ，
同济大学《高等数学》(第四版)2-1节导数的概念
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x)
1
11
x2
2
1. 2x
( x1 )
(1)x11
1 x2
.
例4 求函 f(x) 数 ax(a0 ,a1 )的.导数
解 (ax)lim axhax
h0 h ax limah 1
h0 h axlna.
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
★ 如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f (a )及
f (b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 .
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
★ 单侧导数
1.左导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
★
设函f(x 数) ((x x)),,
xx0, xx0
讨论x在 0的点
可导 . 性
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
高等数学导数的概念10分钟试讲
高等数学导数的概念10分钟试讲高等数学导数的概念是一个非常重要的概念，它在微积分中起到了至关重要的作用。
导数是描述函数变化率的一个数值，可以通过导数来计算出函数在某一点的斜率。
在实际生活中，导数可以用于描述物体的位置、速度、加速度等物理现象，还可应用于经济学、工程学等领域。
本次试讲中，我将详细介绍导数的定义、计算以及其应用。
首先，让我们来讨论导数的定义。
在数学中，设函数y=f(x)在点x=a处可导，那么函数在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，lim代表极限。
这个公式反映了函数在点x=a处的变化率。
我们将点a沿着x轴进行微小的位移h，那么随着h趋近于0，我们得到函数值的变化量除以位移h就可以得到函数在该点的斜率，即导数。
接下来，让我们来探讨导数的计算方法。
常见的导数计算方法有代数法、几何法以及基本函数的导数公式。
首先是代数法。
对于一般函数f(x)，我们可以利用代数法对其求导。
这种方法常用于多项式函数、有理函数、根式函数等一般函数。
直接根据导数的定义，使用极限运算和基本函数的导数公式进行计算。
接下来是几何法。
几何法的基本思想是通过绘制函数的图像，利用直观的几何概念来计算导数。
通过观察图像，我们可以直接判断某一点的斜率，进而得到导数的值。
几何法常用于对于曲线的切线斜率的求导。
最后是基本函数的导数公式。
在高等数学中，有一些基本函数的导数公式是非常重要且常用的。
例如，对于多项式函数f(x) = x^n，其中n为常数，它的导数规律是f'(x) = n * x^(n-1)。
类似地，指数函数、对数函数、三角函数等基本函数都有各自的导数公式，掌握这些公式可以大大简化导数的计算过程。
当我们掌握了导数的定义和计算方法后，就可以将导数运用到实际问题中。
导数在实际问题中的应用非常广泛。
例如，导数可以用来描述运动物体的速度和加速度，它可以帮助我们理解和预测物体在各种运动情况下的行为。
大一高等数学导数知识点
大一高等数学导数知识点一、导数的定义及性质1.定义：设函数f(x)在点x0的一些邻域内有定义，若极限lim（h→0）[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，称该极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
2.函数在一点处的导数表示函数在该点的变化速率，若导数大，则说明函数变化快；若导数小，则说明函数变化慢。
3.导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数等于其曲线在该点的切线斜率。
4.导数的性质：（1）可加性：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（2）可乘性：(f·g)'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)（3）常值函数的导数为0：(C)'=0（4）乘方函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)（5）指数函数的导数：(a^x)' = a^x·ln(a)（6）对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x（7）三角函数的导数：（i）(sin(x))' = cos(x)（ii）(cos(x))' = -sin(x)（iii）(tan(x))' = sec^2(x)（iv）(cot(x))' = -csc^2(x)（8）反三角函数的导数：（i）(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)（ii）(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)（iii）(arctan(x))' = 1/(1+x^2)二、导数的计算法则1.基本计算法则：（1）常数的导数为0（2）幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1)（3）指数函数求导：(a^x)' = a^x·ln(a)（4）对数函数求导：(ln(x))' = 1/x（5）三角函数和反三角函数的导数2.复合函数求导法则：设y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)3.乘积法则：(f·g)'=f'·g+f·g'4.商积法则：(f/g)'=(f'·g-f·g')/g^25. 链式法则：若y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx = dy/du·du/dx = f'(u)·g'(x)三、导数的应用1.切线方程：设函数f(x)在点x0处可导，其切线方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)2.泰勒展开：对于具有n阶导数的函数f(x)，其泰勒展开式为：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为拉格朗日余项，满足，Rn(x)，<=M，x-x0，^(n+1)，其中M为常数。
高职高等数学7-导数定义及公式
条 件
研究导数的意义
1 即时速度 v(t0 )
经过 ∆ t 时间
∆s s (t0 + ∆t ) − s (t0 ) v= = ∆t ∆t
t0 + ∆t时刻
t0时刻
走了 ∆ s 路程
∆t → 0
t0时刻
s (t0 + ∆t ) − s (t0 ) v(t0 ) = lim ∆t →0 ∆t t0 + ∆t时刻
△x
2 x + ∆x = lim = 2x ∆x →0 1 f ′(1) = f ′( x) | x =1 = 2 ×1 = 2
′ = [12 ]′ = 0 PS : [ f (1)]
基本初等函数的求导公式
c′ = 0 ( x a )′ = n ⋅ x a −1 ( a为任意实数 ) ( a x )′ = a x ln a ( (e x )′ = e x ) 1 1 (log a x )′ = ( (ln x )' = ) x ln a x (sin x )' = cos x ; (cos x )' = − sin x (tan x )' = sec 2 x ; (cot x )' = − csc 2 x (sec x )′ = sec x ⋅ tan x ; (csc x )' = − csc x ⋅ cot x
s (t )
s′(t0 )
2 函数f ( x)在x0处切线的斜率
B A C
l
l
∆x → 0
x0
klAB = tan(∠BAC ) =
x0 + ∆x
x0
x0 +∆x
BC f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = AC ∆x f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) kl = lim = f ′( x0 ) ∆x →0 ∆x
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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高等数学导数概念
x 0
x
h 0
h
运动质点的位置函数 sf(t)
f (t0)
在 t 0 时刻的瞬时速度
O t0
v lim
tt0
f(t)f(t0) t t0
f(t0)
f (t)
t
s
曲线 C:yf(x)在 M 点处的切线斜率
k lim
xx0
f(x)f(x0) x x0
f(x0)
y yf(x) N
CM
T
O x0 x x
若 lim Δy
Δ x0 Δ x
,
也称
f (x)
在
x0
的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作: y ; f (x) ; d y ; d f ( x ) . d x dx
求简单函数的导数举例
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
有定义, 若极限
lim ylim f(x 0 x)f(x 0)
x 0 x x 0
(x0)
(x0)
x
x0
存在,则称此极限值为 f (x) 在 x 0 处的右(左) 侧导数,
记作 f(x0)(f(x0))
即 f(x0)xl i0m f(x0 xx)f(x0)
f(x0 )
lim
x0
f (x0 x)f (x0) x
1 x2
(
1
)
(x
3
4 )
3
x
7 4
xx
4
例3. 求函数 f(x)sixn的导数.
解: 令hx,则
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.1 导数的概念
第一节 导数的概念
一、变化率问题的两个实例
1．变速直线运动的瞬时速度问题
对于匀速直线运动，物体在任何时刻的速度都相同，且速度 =
路程
，即 = . 对于变速直
时间
线运动，物体在不同时刻的速度不全相同. 设物体从某一时刻开始到时刻，所走过的路程为，
则是的函数，即 = ().从时刻0 到时刻0 + ，物体运动的路程为 = (0 + ) − (0 )，
例1
解
用定义求函数 = 2 在 = 1, = 2处的导数.
当由1变化到1 + 时，函数相应的改变量
= (1 + )2 − 12 = 2 ⋅ + ()2 ，
→0
从而 ′ (1) =
= 2 +
= (2 + ) = 2
解
设函数() = ( > 0, ≠ 1)，求 ′ ().
① 计算函数的改变量
= ( + ) − () = ( + ) − =
y
② 计算比值
x
log
1+
1
= 1 +
y
1
1
1 +
→0
y f (x)
由 第 二 个 实 例 可 知 ， 函 数 = () 在
= 0 处的导数就是它所表示的曲线在
y
点 (0 , 0 ) 处 的 切 线 的 斜 率 ， 即
∆
(0 , 0 )
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个
摘要：
一、导数的基本概念与性质
1.导数的定义
2.导数的几何意义
3.导数的四则运算
二、常见函数的导数公式
1.幂函数
2.三角函数
3.指数函数与对数函数
4.反三角函数
5.复合函数
6.隐函数
7.参数方程
三、导数的应用
1.求极值
2.求最值
3.求曲率
4.求拐点
正文：
高等数学中的导数是微积分的基础，掌握导数的求解方法是解决高等数学
问题的关键。
本文将介绍24 个常用的高数求导公式，帮助大家更好地理解和掌握导数的相关知识。
首先，我们需要了解导数的基本概念和性质。
导数是描述一条曲线（即函数）在某一点处斜率的概念，它可以表示为函数在某一点的瞬时变化率。
导数的几何意义是曲线在某一点的切线的斜率。
导数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算规则在求导过程中非常实用。
其次，我们要熟悉常见函数的导数公式。
这些公式包括幂函数、三角函数、指数函数与对数函数、反三角函数、复合函数、隐函数和参数方程等。
熟练掌握这些公式，可以帮助我们在求导过程中更加迅速地找到规律，简化计算过程。
最后，导数在实际问题中的应用也非常重要。
导数可以用来求解函数的极值、最值、曲率和拐点等问题。
通过求导，我们可以了解函数的局部最优点、临界点等信息，从而对函数的图形有更深入的理解。
总之，掌握这24 个常用的高数求导公式，能够帮助我们更好地理解导数的性质和应用，从而提高解决高等数学问题的能力。
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个引言在高等数学中，求导是一个重要的概念和技巧。
掌握常用的求导公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
本文将介绍24个常用的求导公式，并通过例题加以说明。
1.导数的定义导数表示函数的变化率，可以形象地理解为函数在某一点的切线斜率。
函数y=f(x)在点x0处的导数定义如下：```f'(x0)=l im┬(Δx→0)〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx〗```2.常数函数求导对于常数函数y=c，其中c为常数，则其导数恒为0。
3.幂函数求导对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则其导数为：```(y)'=n x^(n-1)```4.指数函数求导对于指数函数y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为：```(y)'=a^x*l n(a)```5.对数函数求导对于对数函数y=lo gₐ(x)，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为：```(y)'=1/(x*ln(a))```6.三角函数求导对于三角函数y=si n(x)，其导数为：```(y)'=c os(x)```对于三角函数y=co s(x)，其导数为：```(y)'=-si n(x)```对于三角函数y=ta n(x)，其导数为：```(y)'=s ec^2(x)```7.反三角函数求导对于反三角函数y=ar c si n(x)，其导数为：```(y)'=1/√(1-x^2)```对于反三角函数y=ar c co s(x)，其导数为：```(y)'=-1/√(1-x^2)```对于反三角函数y=ar c ta n(x)，其导数为：```(y)'=1/(1+x^2)```8.双曲函数求导对于双曲函数y=si nh(x)，其导数为：```(y)'=c os h(x)```对于双曲函数y=co sh(x)，其导数为：```(y)'=s in h(x)```对于双曲函数y=ta nh(x)，其导数为：```(y)'=1/c os h^2(x)```9.两个函数之和/差求导对于两个函数f(x)和g(x)，其和函数F(x)=f(x)+g(x)或差函数H(x)=f(x)-g(x)，其导数为：```(F(x))'=(f(x))'+(g(x))'(H(x))'=(f(x))'-(g(x))'```10.两个函数之积求导对于两个函数f(x)和g(x)，其积函数P(x)=f(x)g(x)，其导数为：```(P(x))'=f(x)(g(x))'+g(x)(f(x))'```11.两个函数之商求导对于两个函数f(x)和g(x)，其商函数Q(x)=f(x)/g(x)，其导数为：```(Q(x))'=(f(x)(g(x))'-g(x)(f(x))')/(g(x))^2```12.复合函数求导（链式法则）对于复合函数y=f(g(x))，其中y是g(x)的函数，f(u)是u的函数，则其导数为：```(y)'=(f'(u))(g(x))'=(f'(g(x)))(g(x))'```13.反函数求导对于函数y=f(x)的反函数x=g(y)，若f'(x0)≠0，则其导数为：```(x)'=1/(y)'```14.参数方程求导对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，则x对t的导数为：```(d x)/(dt)=(d f)/(d t)```y对t的导数为：```(d y)/(dt)=(d g)/(d t)```15.隐函数求导对于隐函数方程F(x,y)=0，则y对x的导数可以通过隐函数求导公式计算得到。
简析导数的概念在高等数学中的综合应用
简析导数的概念在高等数学中的综合应用导数的概念是高等数学中的重要内容，它在许多数学和科学领域中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将简要分析导数概念在高等数学中的综合应用。
导数是用来描述函数变化率的概念。
具体来说，对于一个实函数f(x)，其导数f'(x)表示函数在给定点x处的变化速率。
导数可以用几何和物理意义来解释，例如在几何中，导数可以表示函数曲线上某点的切线的斜率；在物理中，导数可以表示物体的速度或加速度。
在微积分中，导数具有许多重要的性质和应用。
导数可以用来确定函数的临界点。
临界点是函数在某个点处导数为零或不存在的点。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极大值和极小值。
这对于优化问题和约束条件的最优解的求解非常重要。
导数可以用来描述函数的变化趋势和形态。
通过研究函数的导数，可以确定函数的增减性、凹凸性以及拐点等属性。
这些属性对于理解函数的性质、绘制函数图像和求解最值问题都非常有帮助。
导数还可以用于对函数进行近似和线性化。
在微小变化的范围内，可以使用导数来近似函数的变化。
这种线性近似在数值计算和数学模型中非常有用，可以简化问题的求解过程，并得到合理的结果。
导数的应用不仅局限于数学本身，还扩展到了物理、工程和经济学等领域。
在物理学中，导数可以用来描述物体的运动和变化。
在工程学中，导数可以用来分析和优化电路的性能。
在经济学中，导数可以用来描述供求关系和市场均衡的变化。
在实际应用中，导数还被广泛应用于数值计算、优化问题、物理建模、金融分析等领域。
在金融学中，通过对金融市场的数据进行导数分析，可以预测股票价格的变化趋势和波动性，从而进行交易决策。
导数的概念在高等数学中有着广泛的应用。
它不仅是微积分的重要组成部分，还是许多数学和科学领域中的基础工具。
通过对导数的研究和应用，我们可以更好地理解和描述函数的变化规律，从而解决各种实际问题。
高等数学 第三章 第1节 导数的概念(中央财经大学)
一.导数产生的背景1.物理背景1.2. 几何背景PTPQ P L Q P L 的极限位置割线时趋向点沿曲线点处点切线为在点曲线切线方程:, )(00x x k y y −=−αtan =ktan lim 0β→∆=x 其中, . lim 0xy x ∆∆=→∆小结a x f =′)(0⇐⇒ax f x f =′=′−+)()(00定理好像见过面啊！先求导、后代值.4.导数的几何意义)(tan 0x f k ′==α此时, 切线方程为:))((000x x x f y y −′=−函数 f (x ) 在点 x 0 的导数 f ′( x 0) 就是对应的平面曲线 y = f (x ) 在点 (x 0, y 0) 处的切线的斜率 k :切线平行于x 轴：0)(0=′x f 曲线 y = f (x ) 在点 x 0 处的切线可能平行于x 轴、垂直于 x 轴、或不存在, 所反映出的导数值是：切线垂直于x 轴：∞=′)(0x f （曲线为连续曲线）在点 x 0 处无切线： f ′(x 0) 不存在.解定理解解定理证则函数 f (x ) 在点 x 0 处有若函数 f (x ) 在点 x 0 处有(有限)导数 f ′(x 0),可近似表示为： ∆y ≈ f ′(x 0)∆x(1) 函数 f (x ) 在该点的增量∆y = f (x 0+ ∆x ) − f (x 0)x x f x f x x f ∆′+≈∆+)()()(000(2);) )U( (00x x x ∈∆+))(()()(000x x x f x f x f −′+≈))U((0x x ∈ 推论。
高等数学五：导数的定义
⾼等数学五：导数的定义⽰例1：
⾃由落体的函数： s = f(t) = 1/2gt2
时间t0到t的平均速度为：
在t0时刻的瞬时速度为：
⽰例2：曲线的切线斜率
导数的定义：
导数定义式⼀：
导数定义式⼆：利⽤x - x0 = Δx变形得到
⼀般地，导数的定义式，还可以写成以下形式(导数的⼴义定义式)：使⽤Ψ(h)代替Δx
单侧导数：
右导数。
左导数。
左、右导数统称为单侧导数。
区间可导与导函数：
函数可导与函数连续的关系：
证明：
+可导的差别定理：
⽰例：
导数的⼏何意义：
⽰例：
求点（x0, f(x0)切线⽅程为：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)
将x0=6代⼊，得到y - f(6) = f'(6)(x - 6)，
⼜因f(x)是周期为5的连续函数，因此，相当于求的是：y - f(1) = f'(1)(x - 1)
因此，需要我们求得f(1)和f'(1)。
f'(1)：对某点求导，根据导数的定义，可以使⽤以下任意⼀种公式：
f(1)：求极限，可根据极限定义，⽆穷⼩的⽐较法则，结合题⽬中的条件，得到。
⾼阶导数：
⾼阶导数的定义式：
n阶导数的计算⽅法：。
高等数学 第2章 第一节 导数的概念
曲线y f ( x)在点x0 , f ( x0 )处的切线方程为：
y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
当f ' ( x0 ) 0时，在该点处的法线方 程为：
y
f (x0 )
f
'(
1 x0
)
(
x
x0
)
8
四.可导与连续的关系
f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。 f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。
解 当 x 1 时， 1 n 1 x 3n n 2 , f ( x) lim n 1 x 3n 1, n
当 x 1 时， f ( x) limn 1 x 3n limn 2 1,
n
n
当 x 1 时， x 3 n x 3n n 1 x 3n n 2 x 3n n 2 x 3 ,
ex ex.
12
例5 求函数 y ln x 的导数
解： x (0,)
当x 0时, Ln(1+x)~x
(ln x)' lim ln(x x) ln x
x 0
x
ln(1 lim
x ) x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
即 : 对x 0, (ln x)' 1 x
例6 设 f x x sin x, 求 f 0.
f (x0 x)
y f ( x0 x) f ( x0 );
（2）比值
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
f (x0)
P0
•
O
x0
•P
P1
•
P2•
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h0
h
h0 h0
例6. 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
f ((xx00)hf)(x0f (xh0))
2(2hh)
原式
1 2
f
(x0 )
1 2
f (x0 )
f
(x0 )
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f 0 1.
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f (x0 ) a
f(x0 ) f(x0 ) a
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
(C) 0;
(ln x) 1
(cosx) sin x;
x
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义;
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
所以
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2. 设 在
在
处连续, 且
处可导.
证：因为
存在，则有
又在 所以 即
处连续, 故
lim f (x) f (0)
x0
x
在
处可导.
存在，证明:
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看左右导数是否存在且相等.
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思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数 有什么区别与联系 ?
与导函数
区别: f (x) 是函数 , f (x0 ) 是数值;
联系: f (x) xx0 f (x0 )
？ 注意: f (x0) [ f (x0) ]
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x0
x
lim f x0 2x f x0 lim f x0 x f x0
x0
x
x0
x
2 lim f x0 2x f x0 lim f x0 x f x0
x0
2 x
x0
x
2 f x0 f x0 f x0
1
A=-
.
f x0
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1 2
x
1 2
1 2x
1
x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
7
x4
xx
4
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例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin( x h) sin x
第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节
第二章
导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数
lim
f
x
f
0
lim
xk
sin
1 x
lim xk1 sin
1 存在，
x0 x 0
x0 x 0 x0
x
当且仅当lim xk1存在，k 1 0, k 1. x0
习题2.1 题7，题8
f
x
x2,
x 1
ax b, x 1.
f x 在x 1连续，
f 1_ f 1 f 1 , 得f 1 lim x2 1,
h0
h
h0
h
lim 2cos( x h)
h0
2
lim cos( x h)
h0
2
cos x
即
(sin x) cos x
类似可证得 (cos x) sin x
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例4. 求函数
的导数.
解:
lim f (x h) f (x) lim ln(x h) ln x
练习：习题2.1 题1
1 4 : lim x0
f
x
x0 2x
f
x0 x
A,
得 lim f x0 2x f x0 x 1 ,
x0
x
A
lim f x0 2x f x0 x
x0
x
= lim f x0 2x f x0 f x0 x f x0
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作: y ; f (x) ; dy ; d f (x) . dx dx
注意:
f (x0 )
f (x) xx0
d f (x0 ) dx
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曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0)
说明: 在经济学中, 边际成本率,
CM
o x0
T
xx
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
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y f (x) f (x0 ) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
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例7. 问曲线
哪一点有垂直切线 ? 哪一点处
的切线与直线
平行 ? 写出其切线方程.
解:
1
x
2 3
3
y x0 ,
故在原点 (0 , 0) 有垂直切线
令
1 33
1 x2
1, 3
得
x 1,
对应 y 1 ,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
1
平行的切线方程分别为
三、 导数的几何意义
y y f (x)
曲线
若 若 若
在点
tan f (x0 )
曲线过
曲线过
的切线斜率为
CM
上升; 下降;
o x0
y
切线与 x 轴平行, 称为驻点;
T
x
(x0 , y0 )
若
切线与 x 轴垂直 .
o y
x0 x
曲线在点
处的
切线方程:
o
x0
x
法线方程:
( f (x0 ) 0 )
t
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2. 曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
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二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0 ) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f (x0 )
lim y x0 x
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运动质点的位置函数 s f (t) 在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
f (t) s
t
f (t0 )
例1. 求函数
(C 为常数) 的导数.
解: y lim f (x x) f (x)
x0
x
即
例2. 求函数
解:
lim f (x) f (a) lim xn an
xa x a
xa x a
lim ( xn1 a xn2 a2 xn3 an1)
xa
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2. 设
存在 , 则
lim
h0f( Fra bibliotek0h) h
f
(x0 )
___f_(_x_0_)_ .
3. 已知
则
k0
4. 若 可导?
解: 由题设
时, 恒有
问 是否在
故在 可导, 且
由夹逼准则
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