二年级下册数学讲义-奥数：第二十二讲 类型题拾遗(解析版)全国通用

第二十二讲拾遗
流水作业–效率最优
给6 块小木板涂漆，每一块有两个面都要涂漆。

涂完一面要1 分钟，但
必须要经过5 分钟漆才能干，这时才能给另一面涂漆。

那么全部漆完这6 块木板，最少要用（）分钟。

宝贝们，这道题目背后蕴含的道理，在实际生活中有很大的用途呢！现在的社会不比几百年前了，已经进入了工业时代。

任何一家企业在市场上如果想立足，都得提高效率，效率提高了，就意味着用比较少的成本生产出比较多的产品，那自然就有优势了。

在生产中，流水作业是提高效率的基本方法。

比如生产一个东西需要10 道工序，那么在工厂中不是把10 道工序都做完，完全做出这个东西后再从第一道工序开始做下一个，那样的话，10 道工序中任何时间都只有一道在做，其它9 道都空闲在那，非常浪费。

因此正确的做法是：在一个东西完成第一道工序进入第二道工序时，下一个东西就该放到第一道工序上来加工了，依次类推，这样的话整个生产线上的每一个工序都忙碌起来了，产品就像水流一样经过每道工序被加工出来，生产效率就得到了大幅提高。

理解了流水作业能提高效率的道理，再来看看题目吧。

宝贝们给小木板涂漆，要想提高涂漆的效率，再最短的时间内完成，那么宝贝就不能闲着，要让涂漆的工作像水一样流动起来，只能木板等人，不能人等木板。

因此只要做到不停的在涂漆，就能在最短时间完成了。

因为漆要5 分钟后才能干，然后才能涂另外一面；那就先把它放在一边，抓紧时间涂剩下的木板，等其它5 块木板全部涂完了，是不是5 分钟已经过去了呀？第一块木板的漆刚好干了，于是可以再涂它的另外一面。

涂好之后，第二块是不是也干了呀，于是就这样依次涂过去，就能保证不停歇的涂完所有的木板了。

因为没有停歇过，所以6 块小木板一共要涂12 面，总共需要12 分钟。

所以最短要用
12 分钟。

数字之美–重叠与对称
数字看起来很枯燥，但有时候数字会以独特的方式展现出它的美丽来。

11×11 = 121，111×111 = 12321，1111×1111 = 1234321，11111×11111
= （）
1，看起来再普通不过的数字，重叠起来乘以自己，得出的结果竟然是优美的对称数字。

如果把结果的各位分开，宝贝们就会发现这是“山顶数列”：中间的数字最大，向两边依次减 1 直到减到 1 为止。

再仔细观察，有几个重叠的 1，那么山顶最大的数字就是几。

怎么样，是不是很有趣？
根据以上规律，11111×11111 就等于 123454321。

重叠之美在中国的文化中是很常见的，比如一幅有名的对联：
翠翠红红处处莺莺燕燕，
风风雨雨年年暮暮朝朝。

在此题目中，数学从独特的角度展现了它的重叠之美。

由这道题目，我想起了另外一个美丽的数字题目：
3×4 = 12
33×34 = 1122
333×334 = 111222
3333×3334 = 11112222
… …
是不是也很好玩呀！？
渡过小河
49 名探险队员过一条小河，河上只有一条可以乘坐 7 人的橡皮艇，过一次河 需要 3 分钟（来回算，全体队员渡到河对岸一共需要（）分钟。

宝贝想了，这道题目不难的，一共 49 名队员，每次可以坐 7 个人，那么 7X7 是 49，只要 7 次就全运过去了，每次 3 分钟，所以需要 3×7 = 21 分钟。

Hi ，小马虎，河上只有一条橡皮艇，不是七条啊！橡皮艇到了对岸，要再回来才行，题目上说了，来回算两次，也就是说来回一趟得要 6 分钟。

啊哦，宝贝想了想，说需要 42 分钟。

因为要运 7 趟才能运完，来回一趟要 6 分钟，所 以 6×7 = 42 分钟。

真是小马虎呀，你最后一趟把队员们都运送到对岸了，还需要再回来吗？空跑一趟干嘛！ 宝贝不好意思的挠了挠头，那就是 42 – 3 = 39 分钟。

这下总归对了吧？！
还是不对！题目上说河上只有一条橡皮艇，没有说有船夫吧。

就是说要探险队员们自己划着橡皮艇过河。

到了河对岸，橡皮艇要再回来接人的，可是橡皮艇自己不能划回来吧， 必须要有一个队员给划回来，这样每次只能运送 6 个人过去。

又不对，宝贝开始冥思苦想了：假定有一个人站出来要求做船夫，他每次运 6 个人过去， 再独自一人划船回来。

要把剩下的 48 个人全部送完，需要 48 除以 6，就是 8 次划到河
对岸去。

第8 次到达河对岸时，他就可以上岸，不用再回去了。

所以一共划到河对岸8 次，由河对岸划回来7 次，总共15 次。

每次3 分钟，因此需要15×3 = 45 分钟。

哈哈，这下宝贝经过认真思考了，终于回答对了，真棒！那么再看一道去年刚刚考过的题目，巩固一下吧。

有16 个人要到河对岸去，河边只有一条空船，每次船上只能坐4 个人。

用小船最少运次
才能把16 人全部渡过河。

（来、回各算作一次）
这道题目是不是和前面一道几乎一样呀，只是人数变了变而已。

理解了前面那道题的解题思路，再来解答这道题应该是游刃有余了吧。

同样得有一个人划船才行，因为小船每次只能坐4 个人，划船的人每次也就只能运4−1=3 个人过去，再独自一人把船划回来。

那么这个划船的人需要运送多少人过去呢？
自然是16−1=15 个人。

好啦，现在知道每次可以运 3 个，总共需要运15 人，那么自然需要15÷3=5 次！只是因为题目上已经说得很明确了，来、回各算一次。

如此一来，当船夫第5 次到达对岸的时候，因为不需要再回来了，所以一共划到河对岸5 次，由河对岸划回来4 次，总共5+4=9 次。

和积规律
把144 分成两个数（）与（）之和，使这两个数的积最大。

这个题目考察的知识点如果宝贝们知道，就能做出来，如果不知道，那么是很难回答上来的。

这个知识点时什么呢？
两个数的和固定，则两个数越接近，积越大。

两个数的积固定，则两个数越分散，和越大。

上面的知识点宝贝们一定要牢牢的记在脑海中，到了5、6 年级时你们要学会证明它。

回到题目中来，144 分成72 和72 的和，那么它们的积一定最大。

由这个知识点，我们能得出一个很有用的推论：
周长相同的情况下，正方形的面积要大于长方形的面积。

这当然也是可以证明的，但是证明过程超出了二年级小朋友们的知识范围，咱们就不列出来了，宝贝们要记清楚。

想象力–数学抽象
小明有一根绳子，他将这根绳子对折、再对折，然后用剪刀从中间把绳子剪断，这根绳子最多可以剪成小段。

宝贝们可以当然可以用线或是小纸条折一折，然后从中间剪开再数一数，就会找到正确答案了。

但是这道题真正考的是宝贝们的空间想象力，要想象着有这个一根绳子，对折、再对折后从中间剪开，然后总共有多少根小绳子。

即便宝贝们想象起来有点困难，也不要紧，要学会用数学方式来表示。

拿起笔来在纸上画一画，比如V 就是一条线对折过了；W 就是对折、再对折。

然后用剪刀从中间剪开，其实就是拦腰截断W: W
只要数一数，就知道线绳被剪成了5 段。

把一根线绳对折、对折、再对折，然后从对折后线绳的中间剪开，这根线绳被剪成（）段？
仔细看看，这道题和上面一道是不一样的哦！前面的题目是“对折、再对折”，而这道题目呢，是“对折、对折、再对折”，多对折了一次，是不是呀？！既然“对折、再对折”是W，那么再多对折一次，就是把W 中朝上的三个尖都从中间折断，然后再拦腰斩断，变成下面这样：
数一数，上面的图形被中间的横线分成了几段呢，一共是9 段，对不对！
自然数列趣题
一本小人书共123 页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共
用了（）个铅字。

相信这道题难不倒宝贝们，因为咱们早就知道了要分类数数：
一位数的页： 1 ~ 9 页总共9 个铅字。

两位数的页：10 ~ 99 页总共90×2 = 180 个铅字。

三位数的页：100 ~ 123 页总共24×3 = 72 个铅字。

三类相加一共有9 + 90 + 72 = 171 个铅字。

动物赛跑
在动物运动会上，老虎和猎豹在1200 米的长跑比赛中成绩相同。

为了决出胜负，裁判员大象决
定让老虎和猎豹再加赛一场，这两头猛兽最后赛的是百米来回跑，共计200 米。

老虎每跑一步是
2 米，猎豹每跑一步是
3 米，但是老虎每跑3 步，猎豹却只能跑2 步。

根据这些信息下面正确
的答案是（）
A.并列第一名
B. 猎豹第一名
C. 老虎第一名
D. 不能判断
老虎和猎豹比赛百米来回跑，真是有看点啊，只是谁会得冠军呢？题目上说老虎跑 3 步，猎豹只能跑2 步；但是猎豹的步子大，一步有3 米，老虎的步子小，一步只有2
米。

啊呀，那就是说在老虎跑3 步的时间里，它跑了3×2 = 6 米；可是猎豹也跑了2
×3 = 6 米。

两头猛兽跑的一样快，可以说是并驾齐驱，根本分不出胜负的。

宝贝们，是不是最后老虎和猎豹并列第一名呢？！
先别仓促下结论，还有一个条件没有用呢：百米来回跑。

就是说跑到百米跑道的终点还得掉头
回来，先到达出发点的获胜。

老虎的频率快，步子小，每步2 米，百米的跑道，老虎刚好50 步跑完，然后立马就能转身，再需要50 步，就会到达起点了。

也就是说老虎跑完百米来回跑需要100 步。

那么猎豹呢，频率稍慢，步子很大，一步3 米，百米的跑道，跑了33 步之后是99 米，刚好差1 米，这个气人！但是没办法，猎豹只好再跑一步，也就是又跑了3 米，总共
99 + 3 = 102 米。

有宝贝说，猎豹可以不用跑一大步的，只需要跑一小步就好。

唉，宝贝说的是，题目出的不严谨，应该再加一个限制条件：离终点不满一步的，也要跑一步，
并且整个过程是匀速跑的，没有加减速，转身的时间忽略不计。

这样就严谨了，但是题目也就显得很啰嗦啦，宝贝们如果在考试的时候有这样的疑问可以大胆举手问老师，听听老师怎么解读题目的。

好啦，虽然猎豹只差1 米到百米终点，但是它必须得再跑一步，也就是说它其实跑了
34 步，99 + 3 = 102 米。

跑完了它还要回来，又是34 步，102 米。

猎豹跑下来是34 + 34 = 68 步，在这段时间里，老虎可以跑68÷2×3 = 102 步。

但老
虎只跑了 100 步就跑完了，所以老虎比猎豹早一点跑完，因此老虎取得了第一名。

猎豹因为规则
对自己不利，屈居亚军。

可见呀，一定要吃透规则，发现规则不公平就要及时上诉，要不就会像猎豹一样吃大亏了。

猎豹
就是数学不好，被坑了，爬到百米终点发现老虎比自己先转身，才明白过味儿来，可是太晚啦！
课后小练习:
1．一个探险者准备穿过长80 千米的沙漠，他一天能走20 千米，最多可
以携带够3 天用的食物和水。

所以，他必须在途中建立一个中转站，
补充后几天需要的食物和水，这个探险者需要走（）天才能闯过这个
沙漠。

2．有一座四层楼房，每层有三个窗户，每个窗户有黑白两种颜色的4 块玻璃，
每个窗户代表一个数字，从左到右表示一个三位数，四个楼层所表示
的三位数分别是791 、275 、
362 、612 。

那么从下到上第三层楼代表的三位数是多少？
3．一只小蜗牛在14米深的井底网上爬，每小时爬上3米后要滑下2米，
这只蜗牛要（）小时才能爬出井口。

4．三个罪犯盗窃恐龙蛋化石共20枚，现在已知三个罪犯盗窃恐龙蛋化石的数量各不相同。

在提审一个罪犯时，他说“我老实交待，我承认三个人中我盗得最多，且我们都是单独作案，我盗了7枚。

根据坦白从宽的原则，请量刑时对我从轻量刑。

”那么该罪犯能从轻量刑吗？请你从数学的角度说明理由。