基本不等式： ≤(a+b)38 PPT

思路方法技巧 比较大小
在公差不为 0 的等差数列{an}与等比数列{bn}
中，an>0，bn>0，a1＝b1，a7＝b7，则 a4 与 b4 的大小关系为( )
A．a4＝b4
B．a4<b4
C．a4>b4
D．a4 与 b4 的大小关系不确定
[答案] C
[分析] 观察已知条件与待比较大小的数列项的下标，可 以发现 1、4、7 成等差，从而问题即转化为比较两个正数的等 差中项与等比中项的大小．
(2)记忆口决：“和定积最大，积定和最小．”
已知 x>0，y>0. (1)若 2x＋5y＝20，求 u＝lgx＋lgy 的最大值； (2)若 lgx＋lgy＝2，求 5x＋2y 的最小值．
[解析] (1)∵x>0，y>0， 由基本不等式，得 2x＋5y≥2 2x·5y＝2 10· xy. 又∵2x＋5y＝20， ∴20≥2 10· xy，∴ xy≤ 10，∴xy≤10， 当且仅当 2x＝5y 时，等号成立． 由22xx＋＝55yy＝20 ，解得yx＝＝25 .
(2)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 若 a>0，b>0，且 ab＝P，P 为常数，则 a＋b ≥ 2 P，当且 仅当 a＝b 时，等号成立． 简述为，当 ab＝P，P 为常数时，(a＋b)min＝2 P.
破疑点：(1)在利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件： ①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含 变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、 三相等，这三个条件极易遗漏而导致解题失识，应引起足够的重 视．
[点评] 关于不等式恒成立的选择题常用特值检验法求 解．本题中令 a＝－1，b＝3，则 ab＝－3，a2＋2 b2＝5，∴
a2＋b2 ab<1< 2 .
利用基本不等式求最值
已知 0＜x＜13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值． [分析] 求函数的最大值，由极值定理可知条件式为积 式，需构造某个和为定值，可考虑把括号内外 x 的系数变成 互为相反数即可．
由①知，ab≤1，∴2ab≤2，∴－2ab≥－2，即 4－2ab≥2， 故③成立．
3．极值定理 (1)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 若 a>0，b>0，且 a＋b＝M，M 为常数，则 ab≤M42，当且仅 当 a＝b 时，等号成立． 简述为，当 a＋b＝M，M 为常数时，(ab)max＝M42.
基本不等式 ab≤a＋2 b 基本不等式
温故知新
若 a、b∈R，则代数式 a2＋b2 与 2ab 的大小关系是________． [答案] a2＋b2≥2ab
新课引入
若 a、b∈R＋，则代数式 a＋b 与 2 ab有何大小关系？
自主预习
1.算术平均数与几何平均数 a＋b 设 a、b 是任意两个正数，把 2 叫做正数 a、b 的算术平 均数；把 ab 叫做正数 a、b 的几何平均数． 2．基本不等式 如果 a、b 是正数，那么 ab ≤ a＋2 b，当且仅当 a＝b 时， 等号成立．
∴当 x＝5，y＝2 时，xy 有最大值 10. 这样 u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1. ∴当 x＝5，y＝2 时，umax＝1. (2)由已知，得 x·y＝100， 5x＋2y≥2 10xy＝2 103＝20 10. ∴当且仅当 5x＝2y＝ 103，即当 x＝2 10， y＝5 10时，等号成立．所以 5x＋2y 的最小值为 20 10.
实际应用问题
如下图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼 四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为 多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设 计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[解析] a4＝a1＋2 a7＝b1＋2 b7> b1b7＝b4，故选 C.
设 a、b∈R，且 a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤a2＋2 b2 B．ab<1<a2＋2 b2
C．ab<a2＋2 b2<1
a2＋b2 D. 2 <ab<1
[答案] B
[解析] ∵a≠b，∴a2＋b2>2ab， ∴2(a2＋b2)>(a＋b)2＝4， ∴a2＋2 b2>1， 又由 a2＋b2>2ab，得(a＋b)2>4ab， ∴ab<1，∴ab<1<a2＋2 b2.
∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x ≤3·x＋132－x2＝112，当且仅当 x＝13－x，即 x＝16时，等号 成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
设 a、b∈R＋，若 a＋b＝2，则1a＋1b的最小值等于(
)
来自百度文库
A．1
B．3
C．2
D．4
[答案] C
[解析] 1a＋1b＝121a＋1b(a＋b) ＝1＋12ba＋ab≥2，等号在 a＝b＝1 时成立.
[解析] ∵0＜x＜13，∴1－3x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤133x＋21－3x2＝112，当且仅 当 3x＝1－3x，即 x＝16时，等号成立． ∴当 x＝16时，函数取最大值112.
[点评] (1)本小题也可以将解析式展开，使用二次函数配 方法求解．(2)若使用基本不等式求积的最大值，关键是构造某 个和为定值，为使用基本不等式创造条件，同时要注意等号成 立的条件是否具备．只要将 x 的系数调整为互为相反数即可使 其和为定值．如
若 a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的 a、 b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．
①ab≤1；② a＋ b≤ 2；③a2＋b2≥2.
[答案] ①③
[解析] 对于①，ab≤(a＋2 b)2＝1，故①成立；对于②，( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab＝2＋2 ab>2，∴ a＋ b>2，故②不成立；对 于③，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab，
[分析] 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则问题(1)是在 4x＋ 6y＝36 的前提下求 xy 的最大值；而问题(2)则是在 xy＝24 的前 提下求 4x＋6y 的最小值．因此，使用极值定理解决．