人教高中数学A版必修二《复数的乘、除运算》PPT课件

所以aa＋ －22 22＝ ＝31， ，
解得 a＝4，故选 D.
答案：D
返回导航 上页 下页
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
4．在复数范围内方程 3x2＋4＝0 的根为________．
解析：因为
x2＝－43，所以
x＝±2
3
3 i.
答案：±2 3 3i
必修第一册·人教数学B版
5．计算： (1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)； (2)(1＋i)(12－ 23i)(12＋ 23i)．
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
2．(1)设 z＝11－ ＋ii＋2i，则|z|＝(
)
A．0
C．1
(2)复数(31－ ＋ii)2 等于(
)
A．－3－4i
C．3－4i
B.12 D. 2
B．－3＋4i D．3＋4i
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
解析：(1)∵z＝11－ ＋ii＋2i＝1＋1i－1i－2 i＋2i＝－22i＋2i＝i， ∴|z|＝1. 故选 C. (2)(31－ ＋ii)2＝[3－i21－i]2＝(2－2 4i)2＝(1－2i)2＝－3－4i.
答案：(1)C (2)A
必修第一册·人教数学B版
探究三 复数范围内解方程
[例 3] 在复数范围内解下列方程：
(1)2x2＋3＝0；(2)x2＋3x＋4＝0；
(3)2x2＋3x＋c＝0(c∈R)．
[解析] (1)因为 x2＝－32，所以 x＝± 26i.
(2)配方，得(x＋32)2＝－74，
即 x＋32＝± 27i，
解析：(1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)(14＋34)＝1＋i.
返回导航 上页 下页
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
探究一 复数代数表示式的乘法运算
[例 1] (1)i(2＋3i)＝( )
A．3－2i
B．3＋2i
C．－3－2i
D．－3＋2i
(2)已知 i 是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数 a 等于( )
在复数范围内解一元二次方程的一般方法：
(1)利用配方法，将方程配方成(x＋h)2＝k 的形式，若 k≥0，则方程有实数解 x＝ －
h± k；若 k<0，则方程有实数解 x＝－h± －ki.
(2)利用求根公式，当 Δ≥0 时，x＝－b± 2ba2－4ac；当 Δ<0 时，x＝－b±
－b2－4aci
2a
[提示] z ＝a－bi，z z ＝a2＋b2 是一个实数．
(2)将式子ac＋＋dbii(a，b，c，d∈R，且 c＋di≠0)的分子与分母都乘以 c－di，根据复数 的乘法化简后的结果是什么？ [提示] ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i.
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
7．2 复数的四则运算 7．2.2 复数的乘、除运算
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
内容标准
学科素养
1.掌握复数代数表示式的乘除运算．
逻辑推理
2.了解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
数学运算
必修第一册·人教数学B版
课前 • 自主探究
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
1．(1)复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )
A．6－4i
B．－6－4i
C．6＋4i
D．－6＋4i
(2)在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i 是虚数单位，b 是实数)表示的点在第四象限，则 b
的取值范围是( )
A．b<－12
B．b>－12
C．－12<b<2
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
知识梳理 复数除法的法则： (a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋＋dbii＝ acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i
(a，b，c，d∈R，且 c＋di≠0)．
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
知识点三 实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 预习教材，思考问题 (1)一元二次方程 x2＋1＝0 在实数范围内有解吗？引入虚数单位 i 后，方程的解是什 么？ [提示] 没有，x＝±i.
(2)复数乘法满足的运算律：对于任意 z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝ z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝ z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ z1·z2＋z1·z3
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
知识点二 复数的除法法则 预习教材，思考问题 (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z 的共轭复数 z 等于什么？z z 是一个怎样的数？
返回导航 上页 下页
课堂 • 互动探究
课后 • 素养培优
课时 • 跟踪训练
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
[教材提炼] 知识点一 复数的乘法法则及其运算律 预习教材，思考问题 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复 数相乘？
[提示] 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2 换成－1， 并且把实部与虚部分别合并即可．即 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac －bd)＋(bc＋ad)i.
必修第一册·人教数学B版
(2)复数的乘法满足交换律和结合律吗？ [提示] 满足．
返回导航 上页 下页
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
知识梳理 (1)复数的乘法法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个 复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i .
.
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
3．在复数范围内解下列方程： (1)x2－x＋2＝0；(2)x2＋bx＋1＝0(b∈R)．
解析：(1)因为 Δ＝(－1)2－8＝－7<0，
所以
x＝1±2
7i .
(2)Δ＝b2－4，当 Δ≥0，即 b≥2，或 b≤－2 时，x＝－b±2b2－4；
当 Δ<0，即－2<b<2 时，x＝－b2±
[答案] (1)D (2)A (3)3－i
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
1.两个复数代数表达式乘法的一般方法 首先按多项式的乘法展开；再将 i2 换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为 复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i.
4－b2 2 i.
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
形形色色的 in(n∈N*)值 [典例 1] 计算1－2－2i3i＝_______.
►逻辑推理、数学运算
[解析]
1－2－2i3i＝1－2＋2ii＝1－2＋2ii11＋＋
2i ＝ 2i
2＋2i＋i＋ 3
2i2＝33i＝i.
[答案] i
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
[素养提升] 1.在进行复数的乘除法运算时，灵活运用 i 的性质，并注意一些重要结 论的灵活运用． 2．注意虚数单位 i 的周期性：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
[典例 2] i 为虚数单位，i2 020 的共轭复数为( )
[答案] (1)A (2)A
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)1i ＝－i；(2)11－＋ii＝i；(3)11－ ＋ii＝－i.
(2)你能用虚数单位 i 表示方程(x＋1)2＝ －1 吗？
[提示] 能．x＝－1±i.
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
wenku.baidu.com
知识梳理 在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为：
－b± b2－4ac
①当 Δ≥0 时，x＝
2a
；
－b± －b2－4aci
②当 Δ<0 时，x＝
A．i
B．－i
C．1
D．－1
[解析] 因为 i2 020＝i4×505＝i4＝1，所以其共轭复数为 1，故选 C.
[答案] C
2a
.
必修第一册·人教数学B版
[自主检测]
1．若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
解析：∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i， ∴ z ＝2－3i.
答案：A
返回导航 上页 下页
必修第一册·人教数学B版
2．复数1－3＋3ii(i 为虚数单位)等于( A．1 C．i
D．b<2
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
解析：(1)(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. (2)因为(1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(1＋2b)i，又因为在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i 是虚数 单位，b 是实数)表示的点在第四象限，所以21－＋b2>b<0，0， 即 b<－12.
所以原方程的根为
x＝－32±
7 2 i.
返回导航 上页 下页
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
(3)Δ＝9－8c，
当 Δ≥0，即 c≤98时，x＝－3±49－8c；
当 Δ<0，即 c>98时，x＝－3± 48c－9i＝－34±
8c－9 4 i.
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
)
A．2
B．－2
C．－12
D.12
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
[解析] (1)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝112＋－7i i＝112＋－7ii22＋＋ii＝15＋5 25i ＝3＋5i. (2)12＋－aii＝12＋－aii22＋＋ii＝2－5 a＋1＋52ai，由12＋－aii是纯虚数，则2－5 a＝0，1＋52a≠0， 所以 a＝2.
A．2
1 B.2
C．－12
D．－2
(3)把复数 z 的共轭复数记作 z ，i 为虚数单位，若 z＝1＋i，则(1＋z)·z ＝________
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
[解析] (1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选 D. (2)(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有 2－a＝0,1＋2a≠0， 解得 a＝2. (3) z ＝1－i，(1＋z)·z ＝(1＋1＋i)(1－i)＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
答案：(1)D (2)A
必修第一册·人教数学B版
返回导航 上页 下页
探究二 复数代数表示式的除法运算
[例 2] (1)若复数 z 满足 z(2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则 z 为( )
A．3＋5i
B．3－5i
C．－3＋5i
D．－3－5i
(2)设 i 是虚数单位，复数12＋－aii为纯虚数，则实数 a 为(
)
B．－1 D．－i
解析：1－3＋3ii＝－i23－＋i3i＝－i3＋3＋i i＝－1i ＝i. 答案：C
返回导航 上页 下页
必修第一册·人教数学B版
3．若 a 为实数，且21＋＋aii＝3＋i，则 a＝( A．－4 C．3
)
B．－3 D．4
解析：21＋＋aii＝21＋＋aii11－－ii＝a＋2 2＋a－2 2i＝3＋i，