第11章第3讲 二项式定理
高考数学总复习第十一章计数原理11.3二项式定理课件理新人教A版
1
2n-5k=0,得 n=2k,∴n 的最
5
小值是 5.
关闭
C
解析 答案
-8知识梳理 考点自测
1 2 3 4 5
4.(2017山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54, 则n= .
关闭
������ ������ r 2 二项展开式的通项 Tr+1=C������ (3x)r=3r· C������ · x ,令 r=2,得 32· C������ =54,解得 n=4.
关闭
4
解析 答案
-9知识梳理 考点自测
1 2 3 4 5
1 2 ������ 5.1+3C������ +9C������ +…+3nC������ =
.Hale Waihona Puke 关闭0 1 2 2 ������ n 1 2 ������ ∵(1+3)n=C������ + C������ · 3+C������ · 3 +…+C������ · 3 ,∴1+3C������ +9C������ +…+3nC������ =4n.
关闭
4n
解析 答案
-10考点1 考点2 考点3
考点 1
通项公式及其应用(多考向)
考向1 已知二项式求其特定项(或系数) 5 例1(1)(2017吉林长春模拟) ������ 2 - 2 的展开式中的常数项为 ������3 ( ) A.80 B.-80 C.40 D.-40
8 2 1 2 ������ ,x7 的系数为 (2) ������ - ������ 的展开式中 ������ 10-5r -r 2 5 (1)∵Tr+1=������ C5 (x ) - ������ 3 =(-2)rC5 x ,
高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
数学：《二项式定理》课件可编辑全文
5.注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 Crn(r 0,1, 2, , n)
项的系数为：二项式系数与数字系数的积.
二项式定理
例题讲解
例 1．求 (2 x 1 )6 的展开式. x
64 x 3
192x2
240 x
160
60 x
12 x2
1 x3
.
二项式定理
【1】求 (3x 1 )4 的展开式. x
(3x
1 x
)4
81x4
5
108x 2
54 x
12
x
1 2
x 2
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数； （2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
解：（1） (1 2x)7 的展开式的第 4 项是
T31 C73 173 (2 x)3 C73 23 x3 35 8x3 280x3 .
所以展开式的第4项的系数是280.
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数；
（2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
（2）解： (x 1 )9 的展开式通项是 x
C9r
x9r
(
1 x
)
r
(1)r C9r x92r ,
根据题意，得 9 2r 3,
r 3.
因此， x3 的系数是 (1)3C93 84 ．
二项式定理
1. 求 (2a 3b)6 的展开式的第 3 项. 答案：T3 2160a4b2 .
二项式定理 课件
[点评] 二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr＋1中 的变元的指数为零的方法求得常数项．
[例 4]
若
x＋ 1 4
2
n x
展开式中前三项系数成等差数
列．求：
(1)展开式中含 x 的一次幂的项；
(2)展开式中所有 x 的有理项．
[分析] 首先由“前三项系数成等差数列”，得到关于n的方程，解得n的值，然后根据题目的 要求解答每一问．每问都与二项展开式的通项公式有关．
[点评] 要注意区分二项式系数与项的系数：二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者 仅与二项式的指数及项数有关，与二项式的构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数 及项数均有关．
[例6] 试判断7777－1能否被19整除？ [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①76是19的倍数； ②7777＝(76＋1)77可用二项式定理展开．解答本题可用二项式定理求得(76＋1)77－1能被19整
3．①Cknan－kbk 是二项展开式中的第 k＋1 项，不是第 k 项，a 与 b 不可随便更换；
②(a－b)n 的展开式通项为：Tk＋1＝Cknan－k(－b)k＝(－ 1)kCknan－kbk；
③取 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cn1x＋C2nx2＋…＋ Crnxr＋…＋xn 在解题中是很有用的，要认真体会，熟练掌 握．
[例 2] 设 n 为自然数，化简 Cn0·2n－C1n·2n－1＋…＋(－ 1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①展开式中“＋”与“－”相间隔； ②2的指数最高为n，依次递减至0且每一项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差． 解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求解．
二项式定理ppt课件
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
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课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
二项式定理 课件
(2)x－1x9 的展开式的通项是 Cr9x9－r－1xr＝(－1)rCr9x9－2r. 根据题意，得 9－2r＝3，r＝3. 因此，x3 的系数是(－1)3C93＝－84.
1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋
方法二 1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4[x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1] ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14.
探究点二 二项展开式的通项 例 2 (1)求(1＋2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数、项的
问题 3 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ 答 (1)它有 n＋1 项，各项的系数 Ckn(k＝0,1，…，n)叫二项 式系数； (2)各项的次数都等于二项式的次数 n.
问题 4 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有 代表性？ 答 (1)字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0，字母 b 按升 幂排列，次数由 0 递增到 n； (2)Cknan－kbk 叫二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即通项 Tk＋1＝Cknan－kbk.
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变 形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x)5(1＋x＋x2)5 的展开式，可将原式变形为(1－x3)5，再展开较为方便．
跟踪训练 1 求1＋1x4 的展开式．
解 方法一 x62＋x43＋x14.
第03讲二项式定理(精讲)(原卷版)_1
第03讲 二项式定理目录第一部分：知识点必背 .............................................. 1 第二部分：高考真题回归 ............................................. 2 第三部分：高频考点一遍过 ........................................... 3 高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数） ...................... 3 高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题 ................ 3 高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题 .................... 4 高频考点四：二项式系数和与系数和 ................................ 5 高频考点五：二项展开式的逆应用 .................................. 6 高频考点六：二项式系数最大问题 .................................. 6 高频考点七：系数最大问题 ........................................ 7 第四部分：数学文化题 . (9)第一部分：知识点必背知识点一：二项式定理 （1）二项式定理一般地，对于每个k （0,1,2,k n =），()n a b +的展开式中n k k a b -共有k n C 个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：nn n r r n r n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 022211100)(++++++=+--- （n N *∈）.0,1,2,n ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分0,1,2,n )叫做二项展开式的通项通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：()02131*2n n n n n C C C C n N -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=∈第二部分：高考真题回归第三部分：高频考点一遍过高频考点一：求二项展开式的特定项（或系数）高频考点二：两个二项式之积中特定项（或系数）问题典型例题例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知实数x不为零，则26+-的展开式中x x(1)(1)2x项的系数为.高频考点三：三项展开式中特定项（或系数）问题高频考点四：二项式系数和与系数和1010a x ++，则22101359)()a a a a a -++++++的值为 2023春·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）设()220230122023a a x a x a x x +++⋅⋅⋅+∈R .32023a a ++的值.22023a a +++.云南昆明·高二校考阶段练习）高频考点五：二项展开式的逆应用典型例题例题1．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）()12312C 4C 8C 2C nnn n n n -+-++-=（ ）.A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n例题2．（2023春·安徽合肥·高二统考期末）已知012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-=，则n 的值为 ．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知12n n a -=，解关于n 的不等式：012312341C C C C C 2024n n n n n n n a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.练透核心考点1．（2023秋·高二课时练习）化简：设n +∈N ，则()()011C 2C 21C 21C knn n k n kn n n n n ---++-++-= ．2．（2023春·上海浦东新·高二校考期中）0122C 2C 2C 2C n n n n n n ++++= .3．（2023春·辽宁·高三辽师大附中校考阶段练习）0122332022202220232023202320232023202320232023C 2C 2C 2C 2C 2C -+-++-的值是 .高频考点六：二项式系数最大问题高频考点七：系数最大问题典型例题例题1．（2023·全国·高二随堂练习）已知()1nx +的展开式中第5，6，7项系数成等差数列，求展开式中系数最大的项．(2)求展开式中项的系数最大的项.第四部分：数学文化题1．（2023春·吉林延边·高二延边二中校考期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 3C 3C 3a =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，()mod5a b ≡=，则b 的值可以是（ ）A ．2004B ．2005C ．2025D ．20262．（多选）（2023·全国·高二专题练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）A ．在第10行中第5个数最大B ．22222348C C C C 84++++=C ．第8行中第4个数与第5个数之比为4:5D ．在杨辉三角中，第n 行的所有数字之和为12n -3．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于 .（用一个组合数作答）4．（2023春·高二单元测试）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则813年以后是年.。
2025版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及分布列第3讲二项式定理教案理含解析新人教A版
第3讲 二项式定理基础学问整合1．二项式定理的内容(1)(a ＋b )n ＝□01C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n nb n (n ∈N *)． (2)第r ＋1项，T r ＋1＝□02C r na n －rb r . (3)第r ＋1项的二项式系数为□03C r n (r ＝0,1，…，n )． 2．二项式系数的性质(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是□04相等． (2)二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第□05n 2＋1项的二项式系数最大，最大为，当n 为奇数时第□07n －12＋1或n ＋12＋1项的二项式系数最大，最大为.(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝□092n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝□102n －1，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝□112n －1.1．留意(a ＋b )n与(b ＋a )n虽然相同，但详细到它们绽开式的某一项时是不同的，肯定要留意依次问题．2．解题时，要留意区分二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．1．(2024·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的绽开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 答案 C解析 由题可得T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r .令10－3r ＝4，则r ＝2，所以C r 5·2r ＝C 25×22＝40.故选C.2．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.3．(x －y )(x ＋y )5的绽开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－10 B ．－5 C ．5 D ．10 答案 B解析 (x ＋y )5的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·x5－r·y r，令5－r ＝1，得r ＝4，令5－r ＝2，得r ＝3，∴(x －y )(x ＋y )5的绽开式中x 2y 4的系数为C 45×1＋(－1)×C 35＝－5.故选B.4．设(5x －x )n的绽开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则绽开式中x 3的系数为( )A ．500B ．－500C ．150D ．－150 答案 C解析 N ＝2n，令x ＝1，则M ＝(5－1)n＝4n＝(2n )2.∴(2n )2－2n＝240,2n＝16，n ＝4.绽开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 4·(5x )4－r·(－x )r ＝(－1)r ·C r 4·54－r·x4－r2.令4－r2＝3，即r ＝2，此时C 24·52·(－1)2＝150.5．(2024·绍兴模拟)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的绽开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝ ________.答案 －2 解析6．(2024·南昌模拟)(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的绽开式中的常数项为________．答案 －5解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－2r (－1)r ，所以(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的常数项为C r 6x6－2r(－1)r (当r ＝3时)与C r 6x6－2r(－1)r (当r ＝4时)之和，所以常数项为C 36(－1)3＋C 46(－1)4＝－20＋15＝－5.核心考向突破考向一 求绽开式中的特定项或特定系数例1 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18的绽开式中含x 15的项的系数为( )A ．153B ．－153C ．17D ．－17 答案 C 解析(2)(2024·山东枣庄模拟)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的绽开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1 D ．2 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310；令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210，所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的绽开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.故选D.(3)(2024·浙江高考)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的绽开式的常数项是________．答案 7解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r8·12r ·x8－4r3，令8－4r 3＝0得r ＝2，故所求的常数项为C 28·122＝7.触类旁通即时训练 1.(2024·广州调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x9的绽开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92 C.92 D.212答案 A解析 二项绽开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，绽开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212.故选A.2．(2024·河南信阳模拟)(x 2＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的绽开式的常数项是( )A ．5B ．－10C ．－32D ．－42 答案 D解析 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－r ·(－2)r ＝C r 5(－2)r·xr －52，故(x 2＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的绽开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5＝－42.故选D.3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫a x－x 29的绽开式中x 3的系数为94，则a ＝________. 答案 4 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x－x 29的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r9⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 9－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－x 2r＝(－1)r ·a 9－r·2－r2·C r9·x 32r －9.令32r －9 ＝3，得r ＝8，则(－1)8·a ·2－4·C 89＝94，解得a ＝4.考向二 二项式系数与各项的系数问题角度1 二项式绽开式中系数的和例2 (1)(2024·金华模拟)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的绽开式的各项系数和为243，则绽开式中x7的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10 答案 B解析 由⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的绽开式的各项系数和为243，得3n＝243，即n ＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5，则T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r ·C r 5·x 15－4r ，令15－4r ＝7，得r ＝2，∴绽开式中x 7的系数为22×C 25＝40.故选B.(2)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝________，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝________，a 2＋a 4＋a 6＝________.答案 126 2187 1092 解析 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7. ① 又∵a 7＝C 77(－2)7＝(－2)7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝－1－a 0－a 7＝126. 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37＝2187. ②①＋②2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1093，∴a 2＋a 4＋a 6＝1092. 触类旁通求二项式系数和的常用方法是赋值法(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ∈R )的式子，求其绽开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其绽开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．即时训练 4.(2024·黄冈质检)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝( )A ．284B ．356C ．364D ．378 答案 C解析 令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36①； 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1 ②.①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730，所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，又a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364.5．(2024·郑州一测)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的绽开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为________．答案 90解析 令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n＝4n，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的绽开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项绽开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r53rxr5－32，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90.角度2 二项式系数的最值问题例3 (1)(2024·广东广州模拟)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n的全部二项式系数之和等于128，那么其绽开式中含1x项的系数是( )A ．－84B ．－14C ．14D ．84 答案 A解析 由二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n 的绽开式中全部二项式系数的和是128，得2n＝128，即n ＝7，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 7，则T r ＋1＝C r 7·(2x 2)7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·27－r ·C r 7·x 14－3r.令14－3r ＝－1，得r ＝5.∴绽开式中含1x项的系数是－4×C 57＝－84.故选A.(2)(2024·安徽马鞍山模拟)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式中只有第11项的二项式系数最大，则绽开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7 答案 D解析 依据⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r · C r20·x20－4r 3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项．故选D.触类旁通求二项式系数最大项(1)假如n 是偶数，那么中间一项(第⎝ ⎛⎭⎪⎫n2＋1项)的二项式系数最大．即时训练 6.已知(1＋x )n的绽开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 因为绽开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以依据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的绽开式中只有第6项的二项式系数最大，则绽开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45 答案 A解析 只有第6项的二项式系数最大，可知n ＝10，于是绽开式通项为T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·x 5－5r 2，令5－5r 2＝0，得r ＝2，所以常数项为22C 210＝180.故选A.角度3 项的系数的最值问题例4 (1)(2024·承德模拟)若(1＋2x )6的绽开式中其次项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112<x <15B.16<x <15C.112<x <23D.16<x <25答案 A解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧C 162x >C 06，C 162x >C 262x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >112，0<x <15，即112<x <15. (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n的绽开式中第6项系数最大，则不含x 的项为( )A ．210B ．10C ．462D ．252 答案 A解析 ∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数， ∴n 的值可能是9,10,11. 设常数项为T r ＋1＝C r n x3(n －r )x －2r＝C r n x3n －5r， 则3n －5r ＝0，其中n ＝9,10,11，r ∈N ， ∴n ＝10，r ＝6，故不含x 的项为T 7＝C 610＝210. 触类旁通求绽开式系数最大项如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的绽开式系数最大的项，一般是采纳待定系数法，设绽开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得．即时训练 8.(2024·宜昌高三测试)已知(x 23＋3x 2)n的绽开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求绽开式中二项式系数最大的项； (2)求绽开式中系数最大的项． 解考向三二项式定理的应用例5 (1)(2024·潍坊模拟)设a∈Z，且0≤a<13，若512024＋a能被13整除，则a＝( ) A．0 B．1 C．11 D．12答案 D1＋1，又由于13解析由于51＝52－1，(52－1)2024＝C020********－C12024522024＋…－C2024202452整除52，所以只需13整除1＋a，0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.(2)0.9910的第一位小数为n1，其次位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为( )A．9,0,4 B．9,4,0 C．9,2,0 D．9,0,2答案 A解析0.9910＝(1－0.01)10＝C010·110·(－0.01)0＋C110·19·(－0.01)1＋C210·18·(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045.触类旁通二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)绽开后的每一项都含有除式的因式．2二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，1＋x n≈1＋nx.即时训练9.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.10．1.028的近似值是________(精确到小数点后三位)． 答案 1.172解析 1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.1．(2024·江苏模拟)(x 2＋x ＋y )5的绽开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 由二项绽开式通项易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t·x t ＝C t 3x6－t，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.2．在⎝⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2024202412的绽开式中x 5的系数为________． 答案 264解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2024202412＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x －x 2024202412的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r12(2＋x )12－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 20242024r ，若要出现x 5项，则需r ＝0，则T 1＝(2＋x )12，∴x 5的系数为22C 1012＝4C 212＝264.答题启示二项式定理探讨两项和的绽开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．对点训练1．(x 2－x ＋1)10绽开式中x 3的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30 答案 A解析 (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.故选A.2.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7的绽开式中不含x 的项的系数之和为( ) A ．－C 37C 3443－47B ．－C 27C 2443＋47C ．－47D ．47答案 A11 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 7－r ·(－4y )r，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 7－r 的绽开式的通项公式为M k ＋1＝C k 7－r · x 7－r －4k 3，0≤k ≤7－r,0≤r ≤7，k ，r 均为整数，令7－r ＝4k 3，解得k ＝0，r ＝7或k ＝3，r ＝3，则不含x 的项的系数之和为(－4)7＋C 37C 34(－4)3＝－C 37C 3443－47.。
二项式定理(PPT课件)
根据二项式定理的组合证明，我们可以证明组合数等于需要求和的系数。在$n$个元素中 选取$k$个的方案总数是$C_n^k$。而展开$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$中项的 系数分别是选取$k$项$a$和$n-k$项$b$的方案数$C_n^k$。
总结和要点
牛顿二项式公式
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n2}b^2+...+C_n^nb^n $
应用
1
概率统计
二项式分布常用来描述在$n$次独立重复的伯努利试验中出现$k$个成功的概率。
2
金融衍生品定价
期权定价中可能涉及到二项式树模型，具体方法是根据期权的类型和权利金预算 构建二叉树。
3
数学知识扩展
二项式定理为许多初等研究的基础知识，常被作为高中和大学的数学课程的一部 分。
杨辉三角
构造方法
每个数等于它上方两数之和。
性质
每行左右对称，从第$0$行开始， 第$n$行的数为 $C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$。
个性化拓展
最大数和最小数为1，三角形中 的数有很多特殊性质，可以用来 引入更高维数的图形。
公式
基本形式
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^{n-k}b^k$
二项式反演公式
$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^ia^k=(a-1)^n$
常见结论
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2$
二项式定理 课件
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
二项式定理ppt课件
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
二项式定理ppt课件
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
二项式定理-PPT课件
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
第十一篇计数原理第3讲二项式定理
第3讲二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定明白得决与二项展开式有关的简单问题．【温习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，温习时要熟练把握那个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)那个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的系数C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r. 2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n，C n n.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两头“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－rn. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n，当k＜n＋12时，二项式系数慢慢增大．由对称性知它的后半部份是慢慢减小的；当n是偶数时，中间一项C n2n取得最大值；当n是奇数时，中间两项C n－12n，Cn＋12n取得最大值．(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.一个防范运用二项式定理必然要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n尽管相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，必然要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部份．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可依照次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的进展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观看杨辉三角进行归纳总结．双基自测1．(2020·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80 B．40 C．20 D．10解析T r＋1＝C r5(2x)r＝2r C r5x r，当r＝2时，T3＝40x2.答案 B2．假设(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，那么a＋b＝()．A．45 B．55 C．70 D．80解析(1＋2)5＝1＋52＋10(2)2＋10(2)3＋5(2)4＋(2)5＝41＋29 2由已知条件a＝41，b＝29，那么a＋b＝70.答案 C3．(人教A版教材习题改编)假设(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，那么a0＋a2＋a4的值为()．A．9 B．8 C．7 D．6解析令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0令x＝－1，那么a0－a1＋a2－a3＋a4＝16∴a0＋a2＋a4＝8.答案 B4．(2020·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，那么n＝()．A．6 B．7 C．8 D．9解析T r＋1＝C r n(3x)r＝3r C r n x r由已知条件35C5n＝36C6n即C5n＝3C6nn！5！(n－5)！＝3n！6！(n－6)！整理得n＝7答案 B5．(2020·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，那么a10＋a11＝________. 解析T r＋1＝C r21x21－r(－1)r＝(－1)r C r21x21－r由题意知a 10，a 11别离是含x 10和x 11项的系数，因此a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，∴a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.答案考向一 二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】►已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[审题视点] 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．解 通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3(－3)r x －r 3＝(－3)r C r n x n －2r 3.(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r 3＝0，解得n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴x 2的项的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r 3＝k (k ∈Z )，那么10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们别离为405x 2，－61 236,295 245x －2.求二项展开式中的指定项，一样是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．【训练1】 (2020·山东)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，那么常数a 的值为________．解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x 6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，依照已知C 26a ＝60，解得a ＝4.答案 4考向二 二项式定理中的赋值【例2】►二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．[审题视点] 此类问题要认真观看，对二项式中的变量正确赋值．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．二项式定理给出的是一个恒等式，对a ，b 给予一些特定的值，是解决二项式问题的一种重要思想方式．赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f (a ，b )＝(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n .对a ，b 给予必然的值，就能够取得一个等式．【训练2】 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，那么a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.考向三 二项式的和与积【例3】►(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为________．[审题视点] 求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式． 解析 (1＋2x )3(1－x )4展开式中的x 项的系数为两个因式相乘而取得，即第一个因式的常数项和一次项别离乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C 03(2x )0·C 14(－x )1＋C 13(2x )1·C 0414(－x )0，其系数为C03·C 14(－1)＋C 13·2＝－4＋6＝2. 答案 2关于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．二项式定理研究两项和的展开式，关于三项式问题，一样是通过归并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．【训练3】 (2020·广东)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________(用数字作答)． 解析 原问题等价于求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中x 3的系数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r ，令7－2r ＝3得r ＝2，∴x 3的系数为(－2)2C 27＝84，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中x 4的系数为84. 答案 84难点冲破23——排列组合在二项展开式中的应用(a＋b)n展开式能够由次数、项数和系数来确信．(1)次数的确信从n个相同的a＋b中各取一个(a或b)乘起来，能够组成展开式中的一项，展开式中项的形式是ma p b q，其中p∈N，q∈N，p＋q＝n.(2)项数的确信知足条件p＋q＝n，p∈N，q∈N的(p，q)共n＋1组．即将(a＋b)n展开共2n项，归并同类项后共n＋1项．(3)系数的确信展开式中含a p b q(p＋q＝n)项的系数为C q n(即p个a，q个b的排列数)因此(a＋b)n 展开式中的通项是T r＋1＝C r n a n－r b r(r＝0,1,2，…，n)(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C n n b n这种方式比数学归纳法推导二项式定理更具一样性和制造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．【例如】►假设多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，那么a9＝()．A．9 B．10 C．－9 D．－10。
二项式定理 课件
解法二 2 x＋ 1x4＝2x＋x 14＝x12(2x＋1)4 ＝x12[C04(2x)410＋C14(2x)311＋C24(2x)212＋C34(2x)113＋C44(2x)014] ＝x12(16x4＋32x3＋24x2＋8x＋1) ＝16x2＋32x＋24＋8x＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1＝ [(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
探究二 求展开式的特定项
[典例 2]
已知在3
x－ 3 3
n
的展开式中，第
6
项为常数项．
x
(1)求 n；
(2)求含 x2 的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[解析]
nk
通项公式为 Tk＋1＝Cknx 3
(－3)kx
k 3
＝Ckn(－
3)kx
n2 3
k
.
(1)∵第 6 项为常数项，
∴k＝5 时有n－32k＝0，即 n＝10.
正用、逆用二项式定理： (1)展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确 理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开 会更简便． (2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项 数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
探究一 二项式定理的正用与逆用
[典例 1]
(1)写出2
x＋
1 4 x
的展开式；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解析]
(1)解法一
直接利用二项式定理展开并化简：2
高考数学一轮复习规划第十一章第3讲 二项式定理
1.(202X·新高考八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的 展开式中x2的系数是( )
A．60
B．80
C．84
D．120
解析 (1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9 的展开式中 x2 的系数是 C22＋C23＋ C24＋…＋C29，因为 Cmn －1＋Cnm＝Cnm＋1且 C22＝C33，所以 C22＋C23＝C33＋C23＝C34， 所以 C22＋C23＋C24＝C34＋C24＝C35，以此类推，C22＋C23＋C24＋…＋C29＝C39＋C29＝ C310＝130××29××18＝120.故选 D.
3xr＝Cr53rx5－32r，令
5－32r＝2，得
r＝2，所以
x2
的系
数为 C2532＝90.
解析 答案
角度 二项式系数的最值问题
例3 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x ＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
A．5
B．6
C．7 解析
∴5<n<7.又 n∈N*，∴n＝6.令 x＝1，
解析 答案
求展开式中系数最大项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，
设展开式各项系数分别为 A1，A2，…，An＋1，且第 k 项系数最大，应用
Ak≥Ak－1， Ak≥Ak＋1，
从而解出 k 来．
8.已知(x23＋3x2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系
解析
赋值法的应用 (1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用 赋值法，只需令 x＝1. (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需 令 x＝y＝1. (3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令 g(x)＝(a ＋bx)n，则(a＋bx)n 的展开式中各项的系数和为 g(1)，(a＋bx)n 的展开式中奇 数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n 的展开式中偶数项的系数和为12 [g(1)－g(－1)]．
《二项式定理》课件
二项式定理的应用场景
01
02
03
04
在数学领域，二项式定理常用 于解决组合数学问题，如排列
、组合、概率等。
在物理领域，二项式定理可以 用于计算各种物理量的展开式 ，如力学、电磁学、光学等领
域。
在计算机科学领域，二项式定 理可以用于快速算法设计、数
详细描述
切比雪夫二项式定理是由切比雪夫发现的一种数学定理，它适用于解决与切比雪 夫多项式相关的问题。该定理可以用来计算切比雪夫多项式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
贝塞尔二项式定理
总结词
贝塞尔二项式定理是二项式定理的一 种特殊形式，它适用于解决与贝塞尔 函数相关的问题。
详细描述
贝塞尔二项式定理是由贝塞尔发现的 一种数学定理，它适用于解决与贝塞 尔函数相关的问题。该定理可以用来 计算贝塞尔函数的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
总结词
牛顿二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决特定的问题，如 无穷级数求和等。
详细描述
牛顿二项式定理是由牛顿发现的一种数学定理，它适用于解决一些特定的问题 ，如无穷级数求和等。该定理可以用来计算二项式展开式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
切比雪夫二项式定理
总结词
切比雪夫二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决与切比雪夫多 项式相关的问题。
04
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
扩展到多于两项的乘积
扩展到无穷级数
二项式定理可以扩展到多项式乘积的 形式，即$(a+b+c)^n$的展开形式。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。