第11章第3讲 二项式定理

第3讲 二项式定理

基础知识整合

1．二项式定理的内容

(1)(a ＋b )n ＝□01C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． (2)第r ＋1项，T r ＋1＝□02C r n a

n －r b r . (3)第r ＋1项的二项式系数为□03C r n (r ＝0,1，…，n )． 2．二项式系数的性质

(1)0≤r ≤n 时，C r n 与C n －r n 的关系是□0

4相等． (2)二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第□05n

2＋1项的二项式系数最大，最大为□06C n

2n ，当n 为奇数时第□07n －12＋1或

n ＋12＋1项的二项式系数最大，最大为□08C n －12n 或C n ＋1

2n .

(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝□092n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝□102n －1，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝□

112n －1.

1．注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．

2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．

1．(2020·东莞调研测试)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 26的展开式的常数项为( )

A ．±15

B ．15

C ．±20

D ．－20

答案 B

解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 26的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1x 2r ＝C r

6·(－1)r ·x 6－3r .令6－3r ＝0，求得r ＝2，∴展开式的常数项是C 2

6＝15，故选B.

2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24

答案 A

解析 解法一：(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为1×C 34＋2C 1

4＝12.故选

A.

解法二：∵(1＋2x 2)(1＋x )4＝(1＋2x 2)(1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4)，∴x 3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.

3．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6

答案 B

解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝8.

4．(x －y )(x ＋y )5的展开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－10 B ．－5 C ．5 D ．10

答案 B

解析 (x ＋y )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·

x 5－r ·y r ，令5－r ＝1，得r ＝4，令5－r ＝2，得r ＝3，∴(x －y )(x ＋y )5的展开式中x 2y 4的系数为C 45×1＋(－1)×C 35

＝－5.故选B.

5．设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中x 3的系数为( )

A ．500

B ．－500

C ．150

D ．－150

答案 C

解析 由题意可得N ＝2n ，令x ＝1，则M ＝(5－1)n ＝4n ＝(2n )2.∴(2n )2－2n ＝240,2n ＝16，n ＝4.展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 4·(5x )4－r ·(－x )r ＝(－1)r ·C r 4·54－r ·x 4－r 2.令4－r

2＝3，即r ＝2，此时C 24·

52·(－1)2＝150. 6．(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．

答案 162 5

解析 由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9，当为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·

(2)9·x 0＝(2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，

可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.

核心考向突破

考向一 求展开式中的特定项或特定项系数

例1 (1)⎝ ⎛

⎭⎪⎫x －

13x 18的展开式中含x 15的项的系数为( ) A ．153 B ．－153 C ．17 D ．－17

答案 C 解析

T r ＋1＝C r 18x

18－r ⎝

⎛⎭⎪⎫－13x r ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13r C r 18·x 18－32r ，令18－3

2r ＝15，解得r ＝2，所以含x 15

的项的系数为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－132C 2

18＝17.

(2)(2019·山东枣庄模拟)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等

于( )

A.13

B.1

2 C ．1

D ．2