电磁场1场论(教学版)

在二维空间中，等值面退化为等值线。若按固定的差 值 ∆c，取一系列常数 C，则可得到一系列场值等差的等值 面(线)。这样这些等值面(线)的疏密程度就反映了物理量变 化的快慢，如等高线。
C
— 1.2 场的概念
五、矢量场的矢量线
为了直观地描述矢量场的分布情况，引入矢量线的概念。矢 量线是有向曲线，其上任意点的切线方向与该点处场矢量的方向 相同，如图所示。
Ax Ay Az
— 1.2 场的概念
例：
在无界自由空间中，位于原点的、电量为q的点电荷 在空间点任意点M(x, y, z)处产生的电场强度为
qr q E4πε0r2r4πε0r3(xexyeyzez)
求该电场强度的矢量线方程。
— 1.2 场的概念
矢量线充满整个矢量场，且互 不相交。若矢量线为有起点，有终 点的曲线，则矢量场称为有源场， 发出矢量线的点和吸收矢量线的点分别称为正源和负源，统称为 通量源。若矢量线是无头无尾的闭曲线并形成旋涡，则矢量场称 为有旋场，有旋场由穿过矢量线旋涡的旋涡源激发。
静态场 时变场
标量场 u(x, y, z) u(x, y,z,t)
矢量场
A A x ( x , y , z ) e x A y ( x , y , z ) e y A z ( x , y , z ) e z
A A x ( x , y , z , t ) e x A y ( x , y , z , t ) e y A z ( x , y , z , t ) e z
c0 (uv)uv
(cu)cu
rr 1
(uv)vuuv |rr|3
| rr|
uvv12 (vuuv) [f(u)]f(u)u
— 1.4 矢量场的通量和散度
一、通量
1. 曲面的方向 为了区分曲面的两侧，规定任一侧为曲面的正侧面，
A
单位矢量：模为1的矢量，一般用 e a 表示 坐标矢量：与坐标轴正向同方向的单位
矢量，如直角坐标系下的x、y、z。这样，x
Az γ
α
β
y
Ax
Ay
矢量 A 可写成：
ΑAxexAyeyAzez
— 1.1 引言
二、点积与叉积
1. 点积(或称标量积、内积)
设矢量 A 与 B 方向的夹角为 0, ，则 A 与 B 的点
Bx By Bz
ΑΒΒΑ，(ΑΒ)CACΒC，AA0 当 A、B 均不为0时，若 AB0，则 A∥B (判断平行) 注：两个矢量的叉积，结果仍为矢量。
— 1.1 引言
三、常用矢量
1. 曲线、曲面上任意一点处的法向单位矢量一般用e n 表示切 向单位矢量一般用 e t 表示。
在矢量场 A 中的任一曲面 S 上取一有向面元ds ends ，由于 所取面元 d s 很小，可视其上各点的 A 相等。
这样，A 与 d s 的标量积 A d sA co sd s称为 A 穿过 d s 的通量,
记作：d A d sA c o sd s， 为 A 与 d s 的夹角。则 A 穿过曲面
— 1.1 引言
一、矢量
矢量(Vector)：既有大小又有方向的量，一般用 A 表示。 矢量的模：矢量的大小，表示成︱A︱或者 A 。
在三维空间也可以用有方向的线段表示，有向线段的 长度表示矢量的模，箭头表示矢量的方向。
— 1.1 引言
例如：矢量 A 分别与x、y、z 轴的正向所成的角 、 、 ，称
曲线上任一点 M(x,y,z) 的矢径为： rxexyeyzez，其微分 drdxexdyeydzez 为曲线在M点的切向矢量。这样，按照矢 量线的定义，在任意点处的d r 应与该点的 场矢量 AA xexAyeyAzez共线，故必有
drA0 矢量线满足微分方程： dx dy dz
— 1.2 场的概念
二、分类
按照所研究的物理量是标量还是矢量，可把场分为标 量场和矢量场，如温度场是标量场，力场是矢量场。
按照物理量是否随时间变化，可把场分为时变场和静 态场。
本章讨论的都是静态场，所得结论也适用于时变场的 任一时刻。
— 1.2 场的概念
三、场的数学表示式
场可以用某物理量在某个区域内的单值时空函数来表示。
积为：
ΑΒABcos
当 A 与 B 均不为0时，若 A·B=0，则 A⊥B (判断垂直)。
运算规则：
ΑΒΒΑAxBx AyBy AzBz Α(ΒC)ΑΒΑC ΑΑ A2，ea ea 1
注：两个矢量的点积，结果为标量。
— 1.1 引言
2. 叉积(或称矢量积、外积)
er
r r

xex yey zez x2 y2 z2
— 1.2 场的概念
一Leabharlann Baidu定义
某个物理量在某一空间区域的分布情况和变化规律可 以用场来表示。如果在某一空间区域内的每一个点，在每 一个时刻，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在 此区域内确定了该物理量的一个场。
例如：教室中每一点都对应着一个确定的温度，因此在 教室范围内确定了一个温度场；地球周围空间每一点都对 应着一个重力加速度值，在地球周围就确定了一个重力场。
若 A 与 B 的夹角为 0, ，则 A 与 B 的叉积记为 AB，其
模为 |A B||A||B|sin，方向与 A 、B 均垂直，且按 A、B、AB
的顺序构成右手螺旋关系。
运算规则：
ex ey ez ΑΒAx Ay Az (AyBzAzBy)ex(AzBxAxBz)ey(AxByAyBx)ez
S 的通量为：
sA d s sA e n d s sA c o sd s
为矢量 A 的方向角，它们的余弦 cos、 cos、 cos称为方向
余弦。
z
所以有： A x = A c o s， A y A c o s， A z A c o s
其中：Α A A x 2 A y 2 A z 2 ， c o s 2 c o s 2 c o s 2 1
l x
y
z
l 方向余弦，所以 l 方向的单位矢量可表示为：
e l c o se x c o se y c o se z
这样，如果把 u , u , u 看成是某个矢量 G 的三个分量，即：
x y z
则
Guxex uyey uzez
u l Gel Gcos(G,el)
由上式可以看出，G 在给定点处为一常矢量，它只与函数u(x, y, z)
有关。而 e l 则是在给定点处引出的任一方向上的单位矢量，与函
数 u(x, y, z)无关。
— 1.3 标量场的方向导数和梯度
显然，当 e 与l G 方向一致，即cos(G,el )=1时，方向导数最大。
或者说，沿矢量 G 方向的方向导数最大，且：u
— 1.2 场的概念
例：
在无界自由空间中，位于原点的、电量为q的点电荷 在空间点(x, y, z)的电位为
( x ,y ,z ) 4 π ε 0 ( x 2 q y 2 z 2 ) 1 /2 ( ε 0 为 真 空 中 的 介 电 常 数 ）
求其等位面方程。
— 1.2 场的概念
另一侧则为负侧面。这种规定了正侧面的曲面称为有向曲 面。对于封闭曲面，习惯上取其外侧为正侧面。在研究实 际问题时，常规定有向曲面的单位法向矢量 e n 恒指向研究 问题时所取的一侧。
— 1.4 矢量场的通量和散度
2. 通量 通量的概念是从流体场来的。流体中各点流速不同，流
速 v 是一个矢量。 v d s 表示单位时间穿过面元 d s 的流量。 矢量场的通量类似于不可压缩的流体的流量。
影，即有：u
l

gradu el。
(2) 标量场 u(M) 中每一点 M 处的梯度垂直于过该点的等值面，
且指向函数 u(M) 增大最快的方向。
(3) 标量场的梯度是一个矢量函数，其方向是函数u变化率最大
的方向，其模等于函数u在该点的最大变化率的数值。
3. 运算公式
(其中，c为常数，u、v为函数)
矢量线的形态和方向体现了场中各点矢量的方向，其疏密程 度体现了场中各点矢量的强度。
— 1.3 标量场的方向导数和梯度
一、方向导数
定义：设 M 0 是标量场 u u(M)中的一点，从 M 0 出发沿某一
方向引一条射线 l ，在 l 上 M 0 的邻近取一动点 M ，使M0M ，
如图。若当 M M0(即
l x
y
z
二、梯度
1. 概念
方向导数揭示了标量场中某点处标量沿某个方向的变化率。
但从场中任一点出发有无穷多个方向，而我们通常只关心沿哪一
方向变化率最大，此变化率为多少。为此，我们从方向导数的计
算公式出发来讨论。
— 1.3 标量场的方向导数和梯度
已知 uucosucosucos，由于 cos、 cos、 cos为
G gradu u xex u yey u zez u
其中，xex
yey
zez
称为Hamilton算子，是具有矢量性质
的微分算子，读作“del”或“nabla”。
— 1.3 标量场的方向导数和梯度
2. 性质
(1) 标量 u 沿 l 方向的方向导数等于 u 的梯度在 l 方向上的投
一般假设函数u和标量函数Ax、Ay、Az 连续且具有一阶连
续偏导数。
— 1.2 场的概念
四、标量场的等值面
在标量场中，为了直观地研究标量 u 在场中的分布情况， 引入等值面的概念。等值面是由场中使函数 u 取相同数值的 所有点组成的曲面。
标量场 u 的等值面方程为 uu(x,y,z)C，C 为常数。C 取不同的数值，就得到不同的等值面。如图所示，当 C 遍取 所有可能的值时，这组等值面就充满标量场所在的空间，且 两两互不相交。这是因为，在每点 M0(x0,y0,z0) 都有一个等值面 u(x,y,z)u(x0,y0,z0)通过， 由于函数 u 是单值的，所以一个点只能在 一个等值面上。
反之就是减小的。方向导数等于零表示u ( M ) 沿 l 方向无变化。
— 1.3 标量场的方向导数和梯度
定理：若函数uu(x,y,z)在点 M0(x0,y0,z0)处可微，cos、cos、
cos 为 l 方向的方向余弦，则函数 u 在点M 0 处沿 l 方向的方向导
数必定存在，且有：
uucosucosucos
电磁场与微波技术—场论
在许多科学与技术问题中，特别是我们这门课中，通常 要研究某个物理量的空间分布状况，时间变化规律，以及该 物理量与产生它的源之间的相互关系。为研究方便，人们将 某个物理量的时空分布定义为“场”，而研究场与源的数学 方法就称为“场论”。
1.1 引言 1.2 场的概念 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量和散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 常用正交曲线坐标系 附录 常用公式

0
)时，
u u(M)u(M0)


的极限存在，则称此极限为函数u ( M ) 在点 M 0
处沿 l 方向的方向导数，记为：
u limu(M)u(M0)
l M0 MM0

由此可见：方向导数是函数 u ( M ) 在点 M 0 处沿 l 方向对距离的变
化率。当方向导数大于零时，表示函数 u ( M ) 沿 l 方向是增加的，
l
max

G
这样就找到了一个矢量 G ，其方向是 u(x, y, z) 变化率最大的
方向，其模是最大的变化率。
定义：标量场的梯度表示为某一点处标量场的最大变化率的 矢量，即最大的方向导数就是该点的梯度大小，记作 grad u(M)。
注意：梯度与所采用的坐标系无关，它由标量场 u(M) 的分 布所决定。在直角坐标系中，梯度的计算公式为：
2. 矢径：起始于原点，终止于任意点 M(x,y,z) 的矢量定义为 M点的矢径，记为 r ，则有：
r x e x y e y z e z ， |r| rx 2 y 2 z 2
空间点的位置一般可用该点的矢径表示，(x,y,z) 点处的 矢量可记为 A(x, y, z) ，或 A ( r ) 。矢径 r 方向上的单位矢量为：