高二上学期期末考试数学(文科)试题及答案

高二数学（理科）
时间 ：120分钟 分值：150分
一、选择题（每小题5分，共60分） 1.复数
2
1(1i)+的共轭复数等于 A ．12 B ．12- C ．1i 2 D ．1
i 2
- 2.下列抽样不是．．
系统抽样的是 A.从标有1～15号的15个球中，任选三个作为样本，按从小号到大号排序，随机选起点k ，以后k+5，k+10(超过15则从1再数起)号入样。

B.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔5分钟抽一件产品进行检验。

C.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定调查人数为止。

D.报告厅对与会听众进行调查，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈。

3．直线1x y +=与圆2
2
20(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是( )
A ．1)+
B ．1)
C ．(1)
D ．1) 4．采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体被抽取的概率为（ ） A ．8 B. 8.3 C ．
8310 D. 8
1 5．已知点A （1，2）与B （3，4），则线段AB 的垂直平分线方程为（ ）． （A ）50x y --= （B ）50x y +-= （C ）10x y -+= （D ）10x y +-=
6、椭圆252x +9
2
y =1上一点p 到一个焦点的距离为5，则p 到另
一个焦点的距离为（ ）
（A ）5 （B ）6 （C ）4 （D ）10
7、双曲线： 的准线方程是19
162
2=-x y （ ） （Ａ）y=±
7
16 (B)x=±
516 (C)x=±7
16 (D)y=±516
8、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ ） （A ）（
a 41，0） （B ）（0, a 161） (C)(0, -a 161) (D) (a
161
,0)
9. 集合｛Z ︱Z ＝Z n i i n n ∈+-,｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ） A ｛0，2，－2｝ B.｛0，2｝
C.｛0，2，－2，2i ｝
D.｛0，2，－2，2i ，－2i ｝
10．设函数2
()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线
()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为
A ．4
B ．14-
C ．2
D ．1
2
- 11.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，
则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
12. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，“若2
χ的观测值为6.635，我们有99 %的把握认为吸烟与患肺病有关系”这句话的意思是指 ( )
A. 在100个吸烟的人中，必有99个人患肺病
B. 有1 %的可能性认为推理出现错误
C. 若某人吸烟，则他有99 %的可能性患有肺病
D. 若某人患肺病，则99%是因为吸烟
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若曲线3
()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_________.
14．如图，一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是 .
15．如图，该程序运行后输出的结果为
16、已知双曲线162x -9
2
y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶
点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 .
三.解答题（共6题，满分70分） 17．(本小题10分)
求函数()2x f x x e -= 的极值
18.（本小题满分12分）
如图，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域. (1)若向该正方形内随机投一点，求该点落在阴影区域的概率? (2)现用红、蓝两种颜色为正方形内4个非阴影区域．．．．．
涂色，每个区域只涂一种颜色. 求4个非阴影区域颜色不全相同的概率?
19．(本题满分12分）如图,在底面为平行四边形的四棱锥P －ABCD 中,AB ⊥AC,PA ⊥平面ABCD,
点E 是PD 的中点. （1）求证：AC ⊥PB ；（2）求证：PB ∥平面AEC ；
A B C
D
20、（本小题满分12分）
已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。

（12分）
21. （本小题满分12分）
椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥,
3
4
1=
PF ,3142=PF .
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 若直线l 过圆0242
2
=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且A 、B 关于点
M 对称，求直线l 的方程.
22．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .
（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；
（2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．
高二数学（文科）试题答案
一. 选择题:1-5 CCDCB6-10 ADBAA11-12CB
二.填空题: 13. a<0. 14. 4
π
15. 19 16、1352222=+y x
三.解答题:
17. 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4
e 2
19.解:1）证明：∵PA ⊥平面ABCD
即AB 是PB 在面ABCD 上的射影
又∵AB ⊥AC ∴AC ⊥PB 6分 2）证明：连结BD 交AC 于O ，连结EO ∵平行四边形ABCD ∴O 为BD 中点 又∵E 为PD 中点∴EO ∥PB 又∵PB 不在平面AEC 中,EO 在平面AEC 中 ∴PB ∥平面AEC 12分
20、解：设点M 的坐标为(x, y) , 点P 的坐标为(x ),00y ，则
x=x 44),(,2
,2
020220000=+=+=
y x y x y x P y y 上所以在圆因为 (1) 将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程
即14
22
=+y x ，所以点M 的轨迹是一个椭圆。

21．(本小题满分12分)
解：(1) 6221=+=PF PF a ∴3=a ………2分
又202
1222
2
1=-=PF PF F F
∴c F F 25221== ∴5=c
故42
2
2
=-=c a b
∴椭圆C 的方程为14
92
2=+y x ………6分 (2) 圆的方程可化为：5)1()2(2
2
=-++y x ，故圆心)1,2(-M 所求直线方程为1)2(++=x k y …………8分 联立椭圆方程，消去y ，得
0273636)1836()94(2222=-+++++k k x k k x k
∵A 、B 关于M 对称
∴
29491822
221-=++-=+k k
k x x ∴9
8=
k
22． 解：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .
因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线， 所以f （1）＝g （1），且f ′（1）＝g ′（1），即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ，
解得a ＝3，b ＝3.
（2）记h (x )＝f (x )＋g (x )．当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋1
4
a 2x ＋1，h ′(x )
＝3x 2＋2ax ＋1
4
a 2.
令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a
6.
a >0时，h (x )与h ′(x )的情况如下：
↗
↘
↗
所以函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭
⎫－a
6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2
，－a
6. 当－a
2
≥－1，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，
h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －1
4
a 2.
当－a 2<－1，且－a
6
≥－1，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a
2，－1上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭
⎫－a
2＝1.
当－a
6
<－1，即a >6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6内单调递减，在区间⎝⎛⎦
⎤－a
6，－1上单调递增， 又因h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝1
4
(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭
⎫－a
2＝1.。