简单的三角恒等变换 PPT
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第六节 简单的三角恒等变换
基础梳理
1、用于三角恒等变换的公式主要有： (1)__同__角__三__角__函__数__的__基__本__关__系__式____，运用它们可实 现弦函数之间、弦函数与切函数之间的互化，其主 要功能是变名； (2)__诱__导__公__式，运用它们可实现与一个锐角有关的不 同角之间的转化，其主要功能是变角； (3)_和__差__角__公__式__和__倍__角__公__式__，它们是三角恒等变换 的主力军，主要功能也是变角．
= 1
13 14
2
33 14
由b=a-(a-b)得：
cos b=cos[a-(a-b)]
=cos acos(a-b)+sin asin(a-b)
=´17
+ ´ = 1 3 4 3 3 3
14
7 14
1 2
∵0＜b＜
2
，∴b=
. 3
题型三 三角函数式的证明
【例3】 是(1+tan
已知A、B为锐角，求证：A+B= A)×(1+tan B)=2.
知识准备：1. 运用cos 2x=1-2sin2x，即2sin2x=1-cos 2x；
Байду номын сангаас
2. 掌握asin x+bcos x=sin(x+F)(其中tan F=
)；
3. 正弦型函数y=Asin(wx+F)+h(2010·湖南改编a)2 b2
已知f(x)=sin 2x-2sin2x，求f(x)的最小正周期．
2
2
sin a=± 1 ，∴sin a= 1 是cos 2a=1 的充分不必要条件．
2
2
2
4. 对任意的实数a、b，下列等式恒成立的是( A )
A. 2sin a×cos b=sin(a+b)+sin(a-b)
B. 2cos a×sin b=sin(a+b)+cos(a-b)
C. cos a+cos b=2sin 2× sin
2
D. cos a-cos b=2cos 2×cos
2
解析：sin(a+b)+sin(a-b)=sin acos b+cos asin b+sin acos b-cos asin b=2sin acos b，所以答案A正
确，其他逐个验证都是错误的．
3
5. 已知tan(a+b)=
，2 tan
13
5
∴sin 2=sin[(+)+(-)]
=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)
=
3 5
1 1
2 3
4 5
5 13
56 65
变式2-1
已知cos a=1
7
，cos(a-b)=
，且0＜b＜a＜
2
.2
(1)求tan2a的值；(2)求b.
解析：(1)由cosa= 得sin a= = 1cos2
tanA tanB
4 ，∴tan(A+B)=tan
4，
即 1 tanAtanB=1，整理得(1+tan A)×(1+tan B)=2.
综上，若A、B为锐角，则A+B= (1+tan A)×(1+tan B)=2
4
的充要条件是
链接高考
(2010·湖南改编)已知f(x)=sin 2x-2sin2x，求f(x)的最小正周期．
知识准备：1. 运用cos 2x=1-2sin2x，
即2sin2x=1-cos 2x；
2. 掌握asin x+bcos x=sin(x+F)(其中tan F= b )；
3. 正弦型函数y=Asin(wx+F)+h的最小正周期Ta=.T= 2 .
|w |
解：f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x-(1-cos 2x)
5
=
4
，14 则tan
4= ______2 _2 _.
解析：tan
4
= tan
4
=
tan
tan
4
1
tan
tan
4
=
21 54
=
1 2 1
3 22
54
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
经典例题
题型一 利用三角恒等变换公式进行化简求值 【例1】 (1) 1 3
2. 半角公式
(1)sin 2
=__ _1__c2_o s______.
(2)cos =2 _____ _1__c2o_s___.
(3)tan
=2 _____11__cc_ooss_ ___=
sin 1 cos
1 cos sin
基础达标
1. (教材改编题)
2 sin 2 1 cos2
·
s in1 0 co s1 0
(2)2 sin8 1 2cos82
解 (1)原式= cos10 3sin10=
sin10cos10
2sin30 10
1 sin 20 =4.
2
(2)原式=2 12sin4cos4 + 4cos24
=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.
又∵＜4＜
3 2
4
的充要条件
充分性：∵(1+tan A)(1+tan B)=2，
∴1+(tan A+tan B)+tan Atan B=2，
∴tan(A+B)(1-tan Atan B)=1-tan Atan B，
∴tan(A+B)=1，
∵0＜A＜ ∴A+B=
2，0＜B＜ .4
2，∴0＜A+B＜，
必要性：∵A+B=
9
C.
1 3
B. -
1 3
D. 7
9
解析：cos
2 3
2
=cos[p-2
6
]=-cos
2
6
=2sin2
6
-1=- 7
9
3. “sina= 1 ”是“cos 2a1 =”的(A )
2
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析： 由cos 2a= 1 ，得1-2sin2a=1 ，从而
cos2 cos2
=( B )
A. tan
B. tan 2
C. 1
D. 1
2
解析： 2 sin 2 1 cos2
cos2 ·
cos2
= 2sin2 1 cos2
1 cos2 · 2cos2
=tan 2
2. (教材改编题)若sin
6
=
1 3
则cos
2 3
2
=( A )
A. - 7
∴sin 4+cos 4＜0，cos 4＜0，
∴原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4
=-2sin 4-4cos 4.
题型二 三角函数式的求值
【例2】
已知
2
＜b＜a＜ 3
4
，且cos(-)=
1 1
2 3
，sin(+)=-
3 5
，求sin 2的值．
解 ∵ ＜＜＜3 ，
∴又∴0∵si＜nc(os--2(＜)-=)54=，11，23 c，o＜ss4 i(n(+++＜)=)-=32 4-，53 . .
=sin 2x+cos 2x-1=
2sin
2
x
4
- 1，
∴f(x)的最小正周期T= 2 =.
2
，1 0＜a＜
7
2
a = 1
1 7
2
4 ，3 ∴tan 7
=
=4 ，3 tan2a= 2tan = 2 4 3=- 8 3
1 tan 2 1 4 3 2
47
s i n =
co s
43
´7
7 1
(2)由0＜b＜a＜， 得0＜a-b＜
2
2
又∵cos(a-b)= 1 3 14
∴sin(a-b)= = 1cos2
基础梳理
1、用于三角恒等变换的公式主要有： (1)__同__角__三__角__函__数__的__基__本__关__系__式____，运用它们可实 现弦函数之间、弦函数与切函数之间的互化，其主 要功能是变名； (2)__诱__导__公__式，运用它们可实现与一个锐角有关的不 同角之间的转化，其主要功能是变角； (3)_和__差__角__公__式__和__倍__角__公__式__，它们是三角恒等变换 的主力军，主要功能也是变角．
= 1
13 14
2
33 14
由b=a-(a-b)得：
cos b=cos[a-(a-b)]
=cos acos(a-b)+sin asin(a-b)
=´17
+ ´ = 1 3 4 3 3 3
14
7 14
1 2
∵0＜b＜
2
，∴b=
. 3
题型三 三角函数式的证明
【例3】 是(1+tan
已知A、B为锐角，求证：A+B= A)×(1+tan B)=2.
知识准备：1. 运用cos 2x=1-2sin2x，即2sin2x=1-cos 2x；
Байду номын сангаас
2. 掌握asin x+bcos x=sin(x+F)(其中tan F=
)；
3. 正弦型函数y=Asin(wx+F)+h(2010·湖南改编a)2 b2
已知f(x)=sin 2x-2sin2x，求f(x)的最小正周期．
2
2
sin a=± 1 ，∴sin a= 1 是cos 2a=1 的充分不必要条件．
2
2
2
4. 对任意的实数a、b，下列等式恒成立的是( A )
A. 2sin a×cos b=sin(a+b)+sin(a-b)
B. 2cos a×sin b=sin(a+b)+cos(a-b)
C. cos a+cos b=2sin 2× sin
2
D. cos a-cos b=2cos 2×cos
2
解析：sin(a+b)+sin(a-b)=sin acos b+cos asin b+sin acos b-cos asin b=2sin acos b，所以答案A正
确，其他逐个验证都是错误的．
3
5. 已知tan(a+b)=
，2 tan
13
5
∴sin 2=sin[(+)+(-)]
=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)
=
3 5
1 1
2 3
4 5
5 13
56 65
变式2-1
已知cos a=1
7
，cos(a-b)=
，且0＜b＜a＜
2
.2
(1)求tan2a的值；(2)求b.
解析：(1)由cosa= 得sin a= = 1cos2
tanA tanB
4 ，∴tan(A+B)=tan
4，
即 1 tanAtanB=1，整理得(1+tan A)×(1+tan B)=2.
综上，若A、B为锐角，则A+B= (1+tan A)×(1+tan B)=2
4
的充要条件是
链接高考
(2010·湖南改编)已知f(x)=sin 2x-2sin2x，求f(x)的最小正周期．
知识准备：1. 运用cos 2x=1-2sin2x，
即2sin2x=1-cos 2x；
2. 掌握asin x+bcos x=sin(x+F)(其中tan F= b )；
3. 正弦型函数y=Asin(wx+F)+h的最小正周期Ta=.T= 2 .
|w |
解：f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x-(1-cos 2x)
5
=
4
，14 则tan
4= ______2 _2 _.
解析：tan
4
= tan
4
=
tan
tan
4
1
tan
tan
4
=
21 54
=
1 2 1
3 22
54
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
经典例题
题型一 利用三角恒等变换公式进行化简求值 【例1】 (1) 1 3
2. 半角公式
(1)sin 2
=__ _1__c2_o s______.
(2)cos =2 _____ _1__c2o_s___.
(3)tan
=2 _____11__cc_ooss_ ___=
sin 1 cos
1 cos sin
基础达标
1. (教材改编题)
2 sin 2 1 cos2
·
s in1 0 co s1 0
(2)2 sin8 1 2cos82
解 (1)原式= cos10 3sin10=
sin10cos10
2sin30 10
1 sin 20 =4.
2
(2)原式=2 12sin4cos4 + 4cos24
=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.
又∵＜4＜
3 2
4
的充要条件
充分性：∵(1+tan A)(1+tan B)=2，
∴1+(tan A+tan B)+tan Atan B=2，
∴tan(A+B)(1-tan Atan B)=1-tan Atan B，
∴tan(A+B)=1，
∵0＜A＜ ∴A+B=
2，0＜B＜ .4
2，∴0＜A+B＜，
必要性：∵A+B=
9
C.
1 3
B. -
1 3
D. 7
9
解析：cos
2 3
2
=cos[p-2
6
]=-cos
2
6
=2sin2
6
-1=- 7
9
3. “sina= 1 ”是“cos 2a1 =”的(A )
2
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析： 由cos 2a= 1 ，得1-2sin2a=1 ，从而
cos2 cos2
=( B )
A. tan
B. tan 2
C. 1
D. 1
2
解析： 2 sin 2 1 cos2
cos2 ·
cos2
= 2sin2 1 cos2
1 cos2 · 2cos2
=tan 2
2. (教材改编题)若sin
6
=
1 3
则cos
2 3
2
=( A )
A. - 7
∴sin 4+cos 4＜0，cos 4＜0，
∴原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4
=-2sin 4-4cos 4.
题型二 三角函数式的求值
【例2】
已知
2
＜b＜a＜ 3
4
，且cos(-)=
1 1
2 3
，sin(+)=-
3 5
，求sin 2的值．
解 ∵ ＜＜＜3 ，
∴又∴0∵si＜nc(os--2(＜)-=)54=，11，23 c，o＜ss4 i(n(+++＜)=)-=32 4-，53 . .
=sin 2x+cos 2x-1=
2sin
2
x
4
- 1，
∴f(x)的最小正周期T= 2 =.
2
，1 0＜a＜
7
2
a = 1
1 7
2
4 ，3 ∴tan 7
=
=4 ，3 tan2a= 2tan = 2 4 3=- 8 3
1 tan 2 1 4 3 2
47
s i n =
co s
43
´7
7 1
(2)由0＜b＜a＜， 得0＜a-b＜
2
2
又∵cos(a-b)= 1 3 14
∴sin(a-b)= = 1cos2