2020年全国高考数学·第50讲 二项式定理

2020年全国高考数学 第50讲 二项式定理

考纲解读

1.能用计数原理证明二项式定理.

2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.

命题趋势探究

1.高考对本节内容的考查常以选择题或填空题的形式出现，并且高于中等偏易试题.

2.主要考查内容是：①利用通项求解展开式中的某指定项；②利用二项式特别是()n

x +1的展开式求解系数或求某些类似于二项展开式的式子的值；③二项式系数的有关问题.

知识点精讲

一、二项式定理

()n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100+?++?++=+--()*N n ∈.

展开式具有以下特点：

（1）项数：共1+n 项.

（2）二项式系数：依次为组合数n

n n n n C C C C ，?,,,210.

（3）每一项的次数是一样的，都为n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地，

()n n n n n n x C x C x C x +?+++=+22111.

二、二项式展开式的通项（第1+r 项）

二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ?=.其中r n C 的二项式系数.令变量（常用x ）取1，可得1

+r T 的系数.

注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点：

①分清r r n r n b a C -是第1+r 项，而不是第r 项；

②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中，含n r b a C T r n r ,,,,,1+这6个参数，只有n r b a ,,,是独立的，在未知n r ,的情况下

利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r .

三、二项式展开式中的系数

（1）二项式系数与项的系数

二项式系数仅指n n n n n C C C C ，?,,,210而言，不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如：()n

x +2的展开式中，含有r x 的项应该是n r n r n r x C T -+=21，其中r n C 叫做该项的二项式系数，而r x 的系数应该是r n r n C -2（即含r x 项

的系数）.

（2）二项式系数的性质

①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ，…，

r n n r n C C -=.

②二项展开式中间项的二项式系数最大.

如果二项式的幂指数n 是偶数，中间项是第12

+n 项，其二项式系数n n C 2最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，中间项有两项，即为第21+n 项和第12

1++n 项，它们的二项式系数21-n n C 和21

+n n C 相等并且最大. （3）二项式系数和与系数和

①二项式系数和 011+12n n n n n n C C C ++?+==（） .

奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，02413512n n n n n n n C C C C C C -+++?=+++?=即 .

②系数和求所有项系数和，令1x =；求变号系数和，令1x =-；求常数项，令0x =。

题型归纳及思路提示

题型172 二项式定理展开式的应用

思路提示 对二项展开式的认识不仅要关注展开式中对各项的特点，更重要的是要理解等式两边的关系，右边是左边n 个因式a b +积的结果，而左边是右边各项和的结果，这就为此类问题的解决提供了思考的方向和解决的思路。

例12.30 用计数原理证明：

()

011222n n n n n r n n r n n r n n n a b c a c a b c b c b c a b a ---+=++++++L L ()

,0,1,2,,n N r n *∈=?.

变式1 在()()()()()12345x x x x x -----的展开式中，x 的系数为（ ）

A. 15-

B. 85

C. 120-

D. 274

变式2 在()5

242x x ++的展开式中，x 的系数为________（用数字作答）.

变式3 5

12x x ?+ ? 的展开式中整理后的常数项为_________（用数字作答）.

题型173 二项展开式通项的应用

思路提示

二项展开式的通项从微观角度反映了二项展开式的全貌，是展开式的缩影，它可以用于求二项展开式的任意指定项及其系数等。

例12.31

（1）()5

22121x x ??+- ???的展开式的常数项是（ ） A. 3- B. 2- C. 2 D. 3

(2)((35

11+展开式中x 的系数为（ ） A. 4- B. 2- C. 2 D. 4

变式1 ()()10211x

x -+展开式中5x 的系数为_________。

变式2 (10

6

11?++ ?展开式中的常数项为_____________。 变式3 已知()2311n

x x x x ??+++ ???的展开式中没有常数项，n N *∈，且28n ≤≤，n =_____.

例12.32

（1）求证：()222,3n

n n N n ≥+∈≥ . （2）求证：()

12132,n n n N n *??<+<≥∈ ???.

变式1 ,a b R ∈，0,a b n N *+≥∈.求证：22n

n n a b a b ++??≥ ???.

变式2 求证：()()()

()21221n n n n n n n N *

+≥+-∈ .

变式3 对于n N *∈，求证：111111n n n n +????+<+ ? ?+????.

例12.33

(1)9

a x ? ?展开式中3x 的系数为94，a =________.

(2)8的展开式中常数项为（ ） A.

3516 B.358 C.354

D.105 变式1

18x ? ?

的展开式中含15x 的项的系数为____________(用数字作答)。

变式 2

设二项式6x ? ?

(0a >)的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值为___________。

变式 3 ()10

x y -展开式中37x y 与73x y 的系数和为____________(用数字作答)。

例12.34

()20x 展开式中系数为有理数的项共有________项。

变式1

n ?+的第三项和第二项系数之比为11：2，求展开式中有理项有多少个？

变式

2 (

51a =+,a b 为有理数)，则a b +=（ ）

A. 45

B. 55

C. 70

D. 80

变式

3 1n

x ?? ??

? 展开式中存在常数项，正整数n 的最小值为__________.

题型174 二项展开式的系数和问题

思路提示

有关系数和的问题不仅要注意二项式系数和的结果，重要的是研究二项式系数所用的方法即赋值法，这里就需要读者根据题目结合已知条件进行赋值。

例12.35 已知()7

12x -=270127a a x a x a x +++L .求 （1）127a a a ++?+；

（2）1357a a a a +++；

（3）0246a a a a +++；

（4）017a a a ++?+.

变式1 已知二项展开式(440142x a a x a x +++?+=，则()()22

02413a a a a a ++-+=______________.

变式2 512a x x x x ????+- ????

???的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） A. -40 B. -20 C. 20 D. 40

例12.36 若()201512x -=2015012015a a x a x ++?+（x R ∈），则20151222015222

a a a ++?+的值为（ ） A. 2 B. 0 C. -1 D. -2

变式1 已知()()()2111n

x x f x +++?++=01n n a a x a x ++?+.若12129n a a a n -++?+=-，那么自然数n 的值为（ ）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

变式2 若()7

701712x a a x a x -=++?+，则12727a a a ++?+=____________.