【精选】运筹学线性规划的图解法

x1≥0
x1
x1 2x2 6
解、求出最优解。

x1 x2 x1 2x2
5 6
最优解：xx12

4 1
将最优解代入目标函数，得最优值：
minF 2x1 3x2 2 4 31 11
例3
将例2中目标函数改为
maxF=2x1+3x2， 约束条件不变。
3、画目标函数图
x2
5
4x1 2x2 12
A 3
B
1
2x1 3x2 10
O
2C 4
6
x1
6x1 4x2 0
6x1 4x2 20
4、判断解的形式，得出结论。
本题有唯一的最优解。 解法：
最优解是由两根直线所确定的最后的交点； 解由此两根直线相应方程所组成的方程组，得到
对应的可行解域。 3、画目标函数图。 4、判断解的形式，得出结论。
1、建立数学模型
max F 6x1 4x2 s.t. 2x1 3x2 10 4x1 2x2 12 x1 , x2 0
2、绘制可行解域
x2
5 4x1 2x2 12
可行解域为 阴影部分
OABC
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
x2 3
x1 2x2 8
D
6
x1
解
最优解为BC线段上所有点 （无穷多个最优解）
最优值为16。
例5
max F 2x1 x2 s.t. x1 x2 1 0 x1 0, x2 0
解
x2
x1
x1 x2 1 0
解、绘制可行解域
x2
可行解域为阴 影部分OABCD 5
B
x1 4
A
x2 3
C
1
x1 2x2 8
O
2
D
6
x1
解、移动目标函数等值线
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
x2 3
x1 2x2 8
D
6
x1
解、目标函数等值线最终与可 行解域边线重合
x2
5
解、可行解域不变
x2
x2≥0
A
6
4
B
2
2x1 3x2 0
C
2
4
D
4x1 x2 8 x1 x2 5
x1≥0
x1
x1 2x2 6
解
该问题有可行解但最优解无界， 即无界解。
例4
max F 2 x1 4 x2 s.t. x1 4 x2 3 x1 2 x2 8 x1 0, x2 0
A 3
B
1
2x1 3x2 10
O
C
2
4
6
x1
3、 画目标函数图
令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直 线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为 负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到 与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出 问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域 最先相交的点，这点即为问题的最优解。
第二节 线性规划的图解法
对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以 用图解法来求解。
图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解 的基本原理。
例1
max F 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 3x2 10 4 x1 2 x2 12 x1 , x2 0
一、解的概念
解、绘制可行解域
x2
x2≥0
A
可行解域为开放 区域x2ABCDx1
6
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4
B
2
x1≥0
C
2
4
D
x1
4x1 x2 8
x1 x2 5 x1 2x2 6
解、画目标函数等值线
x2
x2≥0
A C点为最优解
6
4
B
2
2x1 3x2 0
C
2
4
D
4x1 x2 8 x1 x2 5
解得： 无可行解，无最优解。
思考题与练习题
问题的精确最优解； 将最优解代入目标函数，得最优值。
4、求出最优解。
42xx11
3x2 2x2
10 12
最优解：xx12

2 2
将最优解代入目标函数，得最优值：
maxF 6x1 4x2 6 2 4 2 20
例2
min F 2x1 3x2 s.t. x1 x2 5 4x1 x2 8 x1 2x2 6 x1 0, x2 0
可行解
把满足约束条件的一组决策变量值x1，x2，…，xn称为该线性规划 问题的可行解。
可行解集/可行解域
满足约束条件的可行解的全体称为可行解集。 在平面上，所有可行解的点的集合称为可行解域。
最优解
在可行解集中，使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。
图解法的一般步骤
1、建立数学模型。 2、绘制约束条件不等式图，做出可行解集