第四章 刚体力学的定轴转动
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2
二、刚体的定轴转动 (Fixed-axis rotation) 在刚体转动中, 如果转轴固定不动, 称为定轴
转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称
为转动平面。 刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角 速度和角加速度, 在相同的时间内有相等的角位 移。但是位移、速度和加速度却不相等。
一般情况下, 角速度和角加速度是矢量, 但在定
解：先求细棒对转轴的 转动惯量J, 然后求转动动 能Ek。
l 2
y
dx
x 将棒的中点取为坐标原 点, 建立坐标系Oxy,取y 轴 为转轴, 如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其 质量为 m
o
l 2
x
dm
l
dx
13
根据式(5-4), 应有
J
l / 2 2 x l / 2
x
Dw dw lim t 0 Dt dt
单位：
rad s
2
4
ω1
Dw >0
ω1
<0
Dw <0
>0
四、匀变速转动公式（ = 衡量）
w、 本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位
不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代 替。在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：
1 2 q q 0 w 0t t 2 2 2 w w 0 t w w 0 2q
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
8
式中
i 1
Dmi ri
n
2
称为刚体对转轴的转动惯量 。
用J 表示：
J Dmi ri
i 1
n
2
代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式
Ek
1 2 Jw 2
刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是 相似性的。
9
二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia )
从转动动能公式看到 , 刚体的转动惯量J与质点 的质量 m 相对应 。在质点运动中, 质点的质量是 质点惯性的量度 。在刚体转动中, 刚体的转动惯 量是刚体转动惯性的量度。 若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号 用积分号代替
轴转动中它们的方向沿着转轴 , 可以用带正负号 的标量来表示。
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度Hale Waihona Puke Baidu增量Dw 与Dt 之比的极 限
第四章
刚体力学的定轴转动
§4-1 刚体的运动 §4-2 刚体定轴转动的动力学
§4-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律
1
§5-1 刚体的运动
一、平动和转动 (Translation and rotation)
刚体
在任何情况下,其大小和形状都不变化的
物体。平动和转动是刚体运动的最基本的形式。 平动 在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一 条直线始终保持平行, 这种运动就称为平动。可用 质心运动讨论。 转动 在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点 都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为 转动。这条直线称为转轴。 既平动又转动 质心的平动加绕质心的转动。
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
q
§4-2 刚体定轴转动的动力 学 一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy )
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
J r dm r dV
2 2
与转动惯量有关的因素：
刚体的质量、
转轴的位置、
刚体的形状。
10
几 种 常 见 形 状 的 刚 体 的 转 动 惯 量
11
12
例 1：一根质量为m = 1.0 kg 、长为l = 1.0 m 的 均匀细棒, 绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以 角速度w = 63 rads-1 旋转, 求转动动能。
5
五、刚体运动学中角量和线量的关系
dq w＝ dt v rw
dw d q 2 dt dt a t r a n rw 2
2
例1：设圆柱型电机转子由静止经300 s后达到 18000 r/min，已知转子的角加速度 与时间成正 比，求转子在这段时间内转过的圈数。
解：因角加速度 随时间而增大，设： =ct
m 1m 3 dx x l 3 l
l / 2 l / 2
1 2 2 2 ml 8.3 10 kg m 12
棒的转动动能为
1 1 2 2 2 E k Jw 0.083 63 J 1.7 10 J 2 2
14
两个定理
1. 平行轴定理
J J C md
设刚体绕固定轴Oz以角速度w 转动,各体元的质量 分别为Dm1 , Dm2 , … , Dmn ,各体元到转轴Oz的距 离依次是r1 , r2 , … , rn。 x w n 个体元绕Oz轴作圆周运
动的动能的总和为：
Ek
i 1
n
1 2
Δmi vi2
vi r i o Dmi
1 n 2 2 Δmi ri w 2 i 1
二、刚体的定轴转动 (Fixed-axis rotation) 在刚体转动中, 如果转轴固定不动, 称为定轴
转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称
为转动平面。 刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角 速度和角加速度, 在相同的时间内有相等的角位 移。但是位移、速度和加速度却不相等。
一般情况下, 角速度和角加速度是矢量, 但在定
解：先求细棒对转轴的 转动惯量J, 然后求转动动 能Ek。
l 2
y
dx
x 将棒的中点取为坐标原 点, 建立坐标系Oxy,取y 轴 为转轴, 如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其 质量为 m
o
l 2
x
dm
l
dx
13
根据式(5-4), 应有
J
l / 2 2 x l / 2
x
Dw dw lim t 0 Dt dt
单位：
rad s
2
4
ω1
Dw >0
ω1
<0
Dw <0
>0
四、匀变速转动公式（ = 衡量）
w、 本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位
不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代 替。在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：
1 2 q q 0 w 0t t 2 2 2 w w 0 t w w 0 2q
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
8
式中
i 1
Dmi ri
n
2
称为刚体对转轴的转动惯量 。
用J 表示：
J Dmi ri
i 1
n
2
代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式
Ek
1 2 Jw 2
刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是 相似性的。
9
二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia )
从转动动能公式看到 , 刚体的转动惯量J与质点 的质量 m 相对应 。在质点运动中, 质点的质量是 质点惯性的量度 。在刚体转动中, 刚体的转动惯 量是刚体转动惯性的量度。 若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号 用积分号代替
轴转动中它们的方向沿着转轴 , 可以用带正负号 的标量来表示。
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三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度Hale Waihona Puke Baidu增量Dw 与Dt 之比的极 限
第四章
刚体力学的定轴转动
§4-1 刚体的运动 §4-2 刚体定轴转动的动力学
§4-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律
1
§5-1 刚体的运动
一、平动和转动 (Translation and rotation)
刚体
在任何情况下,其大小和形状都不变化的
物体。平动和转动是刚体运动的最基本的形式。 平动 在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一 条直线始终保持平行, 这种运动就称为平动。可用 质心运动讨论。 转动 在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点 都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为 转动。这条直线称为转轴。 既平动又转动 质心的平动加绕质心的转动。
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
q
§4-2 刚体定轴转动的动力 学 一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy )
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
J r dm r dV
2 2
与转动惯量有关的因素：
刚体的质量、
转轴的位置、
刚体的形状。
10
几 种 常 见 形 状 的 刚 体 的 转 动 惯 量
11
12
例 1：一根质量为m = 1.0 kg 、长为l = 1.0 m 的 均匀细棒, 绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以 角速度w = 63 rads-1 旋转, 求转动动能。
5
五、刚体运动学中角量和线量的关系
dq w＝ dt v rw
dw d q 2 dt dt a t r a n rw 2
2
例1：设圆柱型电机转子由静止经300 s后达到 18000 r/min，已知转子的角加速度 与时间成正 比，求转子在这段时间内转过的圈数。
解：因角加速度 随时间而增大，设： =ct
m 1m 3 dx x l 3 l
l / 2 l / 2
1 2 2 2 ml 8.3 10 kg m 12
棒的转动动能为
1 1 2 2 2 E k Jw 0.083 63 J 1.7 10 J 2 2
14
两个定理
1. 平行轴定理
J J C md
设刚体绕固定轴Oz以角速度w 转动,各体元的质量 分别为Dm1 , Dm2 , … , Dmn ,各体元到转轴Oz的距 离依次是r1 , r2 , … , rn。 x w n 个体元绕Oz轴作圆周运
动的动能的总和为：
Ek
i 1
n
1 2
Δmi vi2
vi r i o Dmi
1 n 2 2 Δmi ri w 2 i 1