用坐标伸缩变换解决椭圆问题
伸缩变换下椭圆的几个性质及应用再探
其 中点 ｃ ，Ｄ｜ 圆与 Ｙ轴 的交 点且在 圆中亦 有 ＿ 是
１ ． ２仿射变换 的性质 性质 （）仿射变换将直线变换为直线 ． １ 性质 （） ２ 仿射变 换将 共线 三 点变换 为共 线三 点 ， 并保 持 点分线 段 的 比不 变 ． 性质 （）仿射变换保持变换前后两个三角形的 ３
１ ４
福建中学数学
２ １ 年第 ９ ０１ 期
伸缩 变换下椭 圆的几个性质 及应用再探
李 芋宏 李 晓菁 西南大学数学与统计学院 （０ ７５ ４０ ） １ 文 ［］ 绍 了伸 缩 变 换 下 椭 圆 的几 个 性 质 及 应 １介
用．受其启发 ，笔者发现伸缩变换是仿射变换 的特
２２ 求 中点弦 所在直 线 的方程 ．
２
， ，
２
２ ．仿射变换的应用 ２ ． １求参数的取值范围
２
，
例 ２ 已知 点 Ｐ１１为椭 圆 ＋ ＝１ （，） 内一 个定 点 ，过 点 Ｐ的弦 Ａ Ｂ被 点 Ｐ平分 ，求 弦 Ａ Ｂ所在直 线
的方程 ．
２
例 １已知椭 圆 ＋ ＝１ ，点 Ａ，Ｂ是椭 圆上
由 （ ） （ ）得 １ ２
２ Ｂ Ｉ Ｉ Ｂ＝ —Ｉ ｌ Ｉ Ｍ ｌ ｌ
：
！ ： 竺 ： ！： ！ ］ ：！
．
面积 和 之比 不变， （ ｉ 一 ｌ：Ｓ． 即Ｓ ＝ ａａ ａａ ） ｌ ２
性 质 （）仿射 变换 保持直 线 与二 次 曲线 的位 置 ４
１ 换为 ＋ ＝ 变 ９，点 Ａ，Ｂ， Ｍ（， ２ 分 别 Ｏ一）
变 换 为点 ，Ｂ ， Ｍ ０， ）． （ 一
、５ ／
根 据性 质 （ ） 由 Ｍ ＝ ，有 ２， ＾
椭圆中的仿射变换(伸缩变换)
y2 b2
1交于 M , N
两点，试求| MN
|
解：过右焦点作 MN 的平行线
易知： FM
b2
，
a c cos
yM M x
AF
FN b2 a c cos
N N
M N 2ab2 a2 c2 cos2
作仿射变换
x y
X bY
a
，
椭圆变为圆： X 2 Y 2 a2
直线 lMN 变为： akX bY akm 0
a2 m2 k 2 b2 2ab2 1 k 2
b2k2 b2
a2k2 b2
利用仿射变化解决椭圆问题
x2
椭圆
a2
y2 b2
1,
(a
b
0)
经变换
x y
X b a
Y
后变成圆 X 2
Y2
a2 ，在此变换下有
以下一些性质：
a
○1 点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
b
a
○2 直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的 倍
b
○3 平行线经变换后仍平行
○4 区域
D 变换后成为 D ，则面积 SD
a b
SD
○5 两平行线段的比是不变量
○6 线段 PQ 经变换后变为 PQ ，则：| PQ || PQ | cos2 a2 b2 sin 2 来自1.求证：直线 l :
Ax
By C
0 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0) 相切的充要条件是：
(aA)2 (bB)2 C 2
x X
证明：作仿射变换：
直线 lM N 变为： akX bY akc 0
MS24坐标拉伸秒杀椭圆问题(六)(1)
坐标拉伸秒杀椭圆问题（六）例1：已知椭圆经过点，其离心率为，设A ，B ，M 是椭圆C 上的三点，且满足，其中O 为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：cos sin OM OA OB αα'''=+222224cos sin 2cos sin 4sin 20OMOA OB OA OB OA OB OA OB ααααα'''''''''==++=+⇒= ，22sin 902212OB AOB AOB S S '∆∆=⋅⋅︒==⇒= 1.已知F 1（﹣，0），F 2（，0）为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，且△PF 1F 2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．△OAB 的面积为1，=s+t （s ，t ∈R ），当点G 在椭圆C 上运动时，试问s 2+t 2是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求出s 2+t 2的取值范围．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，点A （，）在椭圆E上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点P （﹣4t ，t ）在椭圆E 内部，射线AP 、BP 与椭圆E 的另一交点分别为C ，D ．（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：直线CD 的斜率为定值．3.如图，已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）经过点P （1，），且离心率等于．点A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，M ，N 是椭圆C 上非顶点的两点，且△OMN 的面积等于．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点A 作AP ∥OM 交椭圆C 于点P ，求证：BP ∥ON ．4.如图，椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率是，点E （，）在椭圆上，设点A 1，B 1分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点A 1，B 1引椭圆C 的两条弦A 1E 、B 1F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （II ）若直线A 1E 与B 1F 的斜率是互为相反数．（i ）直线EF 的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由；（ii ）设△A 1EF 、△B 1EF 的面积分别为S 1和S 2，求S 1+S 2的取值范围．5已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的长轴长为4，离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点A （a ，0），B （0，b ），直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点（点A ，B 位于直线l 的两侧）（i ）若直线l 过坐标原点O ，设直线AP ，AQ ，BP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2，k3，k 4，求证：k 1k 2+k 3k 4为定值； （ii ）若直线l 的斜率为，求四边形APBQ 的面积的最大值．秒杀秘籍：利用伸缩法解决向量问题若椭圆方程22221x y a b +=上三点A ，B ，M ，满足①22OA OB b k k a=-②2OAB ab S ∆=③OM mOA nOB =+，且221m n +=；三者等价综合训练（下）1.已知椭圆+=1，若此椭圆上存在不同的两点A ，B 关于直线y=4x +m 对称，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣，）B ．（﹣，） C ．（﹣，） D ．（﹣，）2.设直线l ：2x +y +2=0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x 2+=1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为的点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.过点（m ，0）作圆x 2+y 2=1的切线交椭圆x 2+4y 2=4于A ，B 两点，则|AB |的最大值是（ ） A ．2 B ．4 C ．3 D ．2 4.已知椭圆方程是椭圆的左焦点，直线l 为对应的准线，直线l 与x 轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，过P 点任作一条割线AB （如图），则∠AFM 与∠BFN 的大小关系为（ ） A ．∠AFM ＞∠BFN B ．∠AFM ＜∠BFN C ．∠AFM=∠BFN D ．无法判断第4题 第6题 5.设直线l ：2x +y +2=0关于原点对称的直线为L′，若L′与椭圆的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6.已知椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）和圆C 2：x 2+y 2=r 2都过点P （﹣1，0），且椭圆C 1的离心率为，过点P 作斜率为k 1，k 2的直线分别交椭圆C 1，圆C 2于点A ，B ，C ，D （如图），k 1=λk 2，若直线BC 恒过定点Q （1，0），则λ= ． 7.已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A ，B （1）求椭圆C 的方程；（2）设 P 为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当 时，求实数t 的值．8. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），A ，B ，C ，D 是椭圆上的四个动点，且AB ∥CD ，，线段AC 与BD 交于椭圆E 内一点P （m ，n ）．当点P 的坐标为（0，0），且A ，B 分别为椭圆E 的上顶点和右顶点重合时，四边形ABCD 的面积为4．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）证明：当点A ，B ，C ，D 在椭圆上运动时，（n ≠0）是定值．9. 已知椭圆C n ：+=n （a ＞b ＞0，n ∈N *），F 1、F 2是椭圆C 4的焦点，A （2，）是椭圆C 4上一点，且•=0；（1）求C n 的离心率并求出C 1的方程；（2）P 为椭圆C 2上任意一点，过P 且与椭圆C 2相切的直线l 与椭圆C 4交于M ，N 两点，点P 关于原点的对称点为Q ；求证：△QMN 的面积为定值，并求出这个定值．10.已知P （0，﹣1）是椭圆C 的下顶点，F 是椭圆C 的右焦点，直线PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，满足=7． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过左顶点A 作斜率为k （k ＞0）的直线l 1，l 2，直线l 1交椭圆C 于点D ，交y 轴于点B ．l 2与椭圆C 的一个交点为E ，求的最小值．1.（Ⅰ）+y2=1；（Ⅱ）s2+t2=1为定值．2.（1）x2+2y2=1（2）∴CD∥AB．又．∴直线CD的斜率为定值．3.（Ⅰ）+=1；（Ⅱ），所以可得BP∥ON．4.（Ⅰ）．（Ⅱ）（i）直线EF的斜率为定值．（ii）∴S1+S2==．5.（1）=1．（2）（i）k1k2+k3k4=﹣为定值．（ii）2．综合训练（下）1. B2.B3.A4.C5.C6.27.（1）；（2）．则t=．8（Ⅰ）由．（Ⅱ），9.（1）C n的方程为：+y2=n，椭圆C1的方程为：+y2=1；（2）4（定值）10.（1）；（2）当k=时，的最小值为．。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
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利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
利用伸缩变换巧解椭圆问题
杜盛伙
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容．椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆．笔者在文[1]中利用伸缩变换探究了椭圆有以下三个性质：
【总页数】1页(P35-35)
【作者】杜盛伙
【作者单位】福建宁化第一中学,365400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.活用伸缩变换巧解椭圆问题
2.利用坐标变换巧解解析几何椭圆问题
3.利用伸缩变换巧解椭圆最值问题
4.活用伸缩变换巧解椭圆问题
5.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例
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利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题
２
４
３
变为圆ꎬ借助圆幂定理从几何角度便利解决ꎬ避免了代数
解法的繁杂计算. 同时ꎬ借助伸缩变换ꎬ还可以将前 ３ 个
例题向一般情形作推广.
相关练习
１. 直线 ｌ:ｘ － ２ｙ ＋ ４ ２ ＝ ０ 与椭圆 Ｃ:
在过点 Ｐ(２ꎬ１) 的直线 ｌꎬｌ 与椭圆 Ｃ 交于不同两点 ＡꎬＢꎬ
满足 ｜ ＰＡ ｜ ｜ ＰＢ ｜ ＝ ｜ ＰＭ ｜ ２ ? 若存在ꎬ求出直线 ｌ 的方程ꎻ
例 １ 已知椭圆 Ｅ:
２
ｘ
＋ ｙ２ ＝ １ꎬ设不过原点 Ｏ 且斜率
４
１
为 的直线 ｌ 与椭圆 Ｅ 交于不同的两点 ＡꎬＢꎬ线段 ＡＢ 的
２
中 点 为 Ｍꎬ 直 线 ＯＭ 与 椭 圆 Ｅ 交 于 Ｃꎬ Ｄꎬ 证 明:
｜ ＭＡ ｜ ｜ ＭＢ ｜ ＝ ｜ ＭＣ ｜ ｜ ＭＤ ｜ .
Ｘ ＝ ｘꎬ
证明 作伸缩变换
设圆 Ｃ′与 Ｘ 轴 的 另 一 交 点 为 Ｂ′ꎬ 由 于 ∠Ｂ′ Ｏ′ － ４ｋ ｜
４ｋ２ ＋ ３
１
ꎬ方程为
２
∠Ｂ′Ｑ′Ｒ′ ＝ ９０°ꎬ从而 Ｂ′ꎬＯ′ꎬＱ′ꎬＲ′四点共圆. 由圆幂定
ｙ＝
２ ｜ Ｏ′Ｐ′ ｜ ２ ꎬ其中 Ｒ 为圆 Ｃ′半径.
线与椭圆相切时的 ｜ ＰＴ ｜ ２ 问题ꎬ可借助伸缩变换ꎬ将椭圆
参考文献:
[１] 贺航飞ꎬ李宁. 借助伸缩变换解决椭圆中的一些
问题[ Ｊ] . 数学通讯( 上半月刊) ꎬ２０１８(１１) :１２ － １３ꎬ５６.
[ 责任编辑:李 璟]
１
１
１
１
１
ｋ ｋ ＝ － . 又 ｋ ＡＢ ＝ ꎬ则 ｋ ＯＭ ＝ ｋ ＣＤ ＝ － .
MS21坐标拉伸秒杀椭圆问题(三)
坐标拉伸秒杀椭圆问题（三）例1:椭圆上的两点A 、B 关于直线2x ﹣2y ﹣3=0对称，则弦AB 的中点坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．122交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |=3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过定点P （0，2）且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于不同两点M ，N ，试判断：在x 轴上是否存在点A （m ，0），使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．''1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为（1，0），一个顶点为，若在此椭圆上存在不同两点关于直线y=2x +m对称，则m 的取值范围是（ ） A ．（）B ．（） C ．（） D ．（）2.设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且F 1恰是QF 2的中点．若过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线l ：x ﹣y ﹣3=0相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 1：y=x +2与椭圆C 交于G 、H 两点．在x 轴上是否存在点P （m ，0），使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由．3.已知椭圆C ：+=1，（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点P （0，﹣1）．（1）求椭圆的方程；（2）如果过点Q （0，）的直线与椭圆交于A ，B 两点（A ，B 点与P 点不重合）． ①求•的值；②当△PAB 为等腰直角三角形时，求直线AB 的方程．4.已知椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的左右顶点A 1，A 2，椭圆上不同于A 1，A 2的点P ，A 1P ，A 2P 两直线的斜率之积为﹣，△PA 1A 2面积最大值为6．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 的所有弦都不能被直线l ：y=k （x ﹣1）垂直平分，求k 的取值范围．秒杀秘籍：利用伸缩法解决椭圆拉伸后中垂线中的结论定理：如图已知椭圆的方程为)0(12222>>=+b a bya x ，直线y=kx+m 与椭圆交于点M,N 求过点A （n,0）的直线，使点M ，N 关于该直线对称。
MS21坐标拉伸秒杀椭圆问题
坐标拉伸秒杀椭圆问题（三）例1:椭圆上的两点A 、B 关于直线2x ﹣2y ﹣3=0对称，则弦AB 的中点坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．解：设AB 的中点为),(00y x M ，根据以上模型⎪⎩⎪⎨⎧=--==03224110000y x x y k OM ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒21200y x例2:已知椭圆C 的焦点坐标是F 1（﹣1，0）、F 2（1，0），过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |=3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）过定点P （0，2）且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于不同两点M ，N ，试判断：在x 轴上是否存在点A （m ，0），使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．解：（1） 13422=+y x （2） 拉伸后如图13422=+y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧'='=⇒⎪⎩⎪⎨⎧='='⇒y y x x y y xx 23324''22=+y x 拉伸后比值斜率不变，设H’)','(00y x ,故m x y mx x y a b k k H A OH 4'''''430000022'''=⇒-⋅===如图：过H 点做y 轴的垂线。
垂足为C ，CH’=0x ，CD=0y 则由射影定理得：)'34(''0020y y x -⋅= 结合上一式子得016'34'2020=+-m y y ，该式肯定有解。
63630643422≤≤-⇒≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λm m 易知m=0时，无意义，故m 的取值范围为630063≤<<≤-m m 或。
1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为（1，0），一个顶点为，若在此椭圆上存在不同两点关于直线y=2x +m对称，则m 的取值范围是（ ） A ．（）B ．（） C ．（） D ．（）2.设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且F 1恰是QF 2的中点．若过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线l ：x ﹣y ﹣3=0相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 1：y=x +2与椭圆C 交于G 、H 两点．在x 轴上是否存在点P （m ，0），使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由．3.已知椭圆C ：+=1，（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点P （0，﹣1）．（1）求椭圆的方程；（2）如果过点Q （0，）的直线与椭圆交于A ，B 两点（A ，B 点与P 点不重合）． ①求•的值；②当△PAB 为等腰直角三角形时，求直线AB 的方程．4.已知椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的左右顶点A 1，A 2，椭圆上不同于A 1，A 2的点P ，A 1P ，A 2P 两直线的斜率之积为﹣，△PA 1A 2面积最大值为6．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅰ）若椭圆E 的所有弦都不能被直线l ：y=k （x ﹣1）垂直平分，求k 的取值范围．秒杀秘籍：利用伸缩法解决椭圆拉伸后中垂线中的结论定理：如图已知椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x，直线y=kx+m 与椭圆交于点M,N 求过点A （n,0）的直线，使点M ，N 关于该直线对称。
高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题作者：赵呈海天津市第一〇二中学指导教师：马萍天津市第一〇二中学严虹天津市第一〇二中学纪洪伟天津市第一〇二中学张倩天津市第一〇二中学利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题赵呈海天津市第一〇二中学摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。
这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。
在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。
这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。
在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。
坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。
计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。
平面直角坐标系中的伸缩变换
平面直角坐标系中的伸缩变换
【例1】 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆
x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.
【解】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)， 由题知λ2x 29＋μ2y 24＝1，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫μ22y 2＝1. 与x 2＋y 2＝1比较系数，
得⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝3，μ＝2， 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，
再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.
若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.。
圆的性质——椭圆问题伸缩变换
—
７ ０＝０上 的点 Ｐ作椭 圆５ ． － ， ４
‘
一
２
＝
ｌ的切 线 Ｐ Ｐ 切点 分 Ｍ、 Ⅳ，
７
２
．
２
别为 肘、 连结 ＭＮ． １ Ⅳ， （ ）当点 Ｐ 在直线 ｆ 运动 时 ， 明 ： 线 上 证 直 ＭＮ恒过定点 Ｑ；２ （ ）当 ＭＮ／ ／ｌ 时， 定点 Ｑ平分线段 ＭＮ．
涉及到指定 区间上 一元 二次不 等式 的恒成 立 问题 时 ， 应
根据“ 三个二 次”的辨证统一关 系 ， 二次 函数 图象的对称 轴 对
，
四、 结语
化为 ｙ ５ 。—了 代 入直 线 删 方 程 ， ０＝ ２ 得 。 ＋（ ５ 。 ． ２ ５ ０
，
当然 ， 我们这里不对伸缩变换作 进一 步深入 研究 ， 只是 它
一
高等几何 中的仿射 变换 的一种 特殊情 况 ， 有仿 射变 换 的共 既 性特征 ， 也有其 个性特点． 而在这里 的有 关 阐述 ， 体是用 以 主
点（ 其坐标与 ｍ无关 ） ．
，
…
…
…
…
下
．
２
．
ｊ
解 通 伸 变 ｛ ， 把 圆 析 过 缩 换 一 可 椭 等 ｝ Ｌ ３ 以 一
‘ ＾， ‘
过 直线 ｌ ｘ一 ： ５
１１
一７ ０＝０上的 ｐ．２ ＝１ ． ＋ ｘ 的切线
变换成圆 ＋ｙ ２＝９ 设 ＭＮ与 Ａ ． 曰交 于点 日（ ，） 由有关 圆 ｈＯ ， 的一个性质 ： 圆内接 四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ，Ｄ与 Ｂ Ｃ交 于点 Ｐ，Ｃ与 Ａ
解析
的 问题 ：
图３
系 中，知 圆 々 ＝ 的 顶 为 、， 点 已 椭 等＋ １ 左右 点 Ｂ右焦 为
伸缩变换下的椭圆
A Q
B
的斜率为-ax1/by1,由变换保持曲线的 相切关系不变得直线AQ和BQ为原椭 圆切线且弦AB斜率为
-(x1/a^2)/(y1/b^2)
A' Q'
B'
结论7 过点Q(x1,y1)的动直线l交椭圆于A、B两点， 则弦AB的中点M的轨迹是曲线
x(x a2
x1
)
y( y y1) b2
0
证明：在笛卡尔坐标系中，不共线的三点P1(x1,y1),
P2(x2,y2),P3(x3,y3)经过伸缩变换变换为不共线的三点
P1'(x1',y1'),P2'(x2',y2'),P3'(x3',y3'),于是
S P1P2 P3
1 2
x1 x2
y1 1
y2 1 的绝对值
(1)
x3 y3 1
1 x1' y1' 1
特别的，在平面 上选取直角坐标系后用方程
组
x y
ax' by'
,
ab
0
给出的变换叫做平面
的伸缩变
换。
从直观上看，伸缩变换就是分别在x轴和y轴两个
方向进行伸缩。下面依次从线、角、面三个角度来看
伸缩变换的性质。
线
• 伸缩变换将点映射到点，直线对应直线。(同素 性)。
• 点A、B、C在直线n上，伸缩变换后其对应点A'、 B'、C'在对应直线n'上。(结合性)
则原椭圆的弦中点轨迹为一条过
椭圆中心的斜率为-b^2/ka^2的直径
椭圆问题使用伸缩变换的条件
关，则可使用伸缩变换解题；否则，就不能使用．
例谈三角函数问题中隐含条件的挖掘
时英雄 安徽省合肥市第一中学（230601）
三角函数问题中经常遇到一些求值求角问题， 很多学生在解题的过程中没有仔细挖掘题目中隐含 的条件，没有避开命题设计的“陷阱”，加上三角函数 中常用的同角的平方关系，倍角关系到最后都要面 临着角或值的取舍问题，稍不注意最后就会导致出 现错解或增解，下面例析之．
之比”有关．所以，可以使用伸缩变换解题．
解 假设存在平行四边形 OPRQ（如图 2），椭圆
40
福建中学数学
2014 年第 10 期
C
:
x2 2
+
y2
= 1 经伸缩变换 T
=
⎛1 ⎜⎜⎝ 0
0⎞ 2 ⎟⎟⎠ 的作用后，变为
圆 C′ : x′2 + y′2 = 2 ．
根据伸缩变换性质可知：直线 l : y = kx + m 将变
可以使用伸缩变换．事实上，只有一小部分的题目
适用．那么，我们如何在“审题”之时，就知道伸缩变
换是否适用该题？
为此，我们需要从几个方面来认识“伸缩变换”：
①什么是伸缩变换；
②伸缩变换如何使得椭圆与圆相互转换；
③伸缩变换具有哪些性质；
④伸缩变换的使用条件．
1 什么是伸缩变换
1.1 定义
线性变换 f 将 R2 空间上的向量沿 x 轴拉伸(或
分析 本题的条件“ | AF2 | ， | AB | ， | BF2 | 成等差 数列”，其中线段 AF2 ， AB ， BF2 不共线、不平行， 所以，无法使用伸缩变换将椭圆转换为圆来解题．
通过上述的例题和伸缩变换的性质可知：若题
目的条件与所求的问题只与“位置关系”、“共线（平
【高中数学】秒杀秘诀MS19坐标拉伸秒杀椭圆问题(一)A3(1)
学
1．A；2．C；3．B；4．A；5．A；6．4x2+9y2=1；7．（2，﹣1）；8．
；9.D 10.B
11.（1）a= 12（2）.
；（2）m=0 时，S 取得最大值 ．
13.（Ⅰ） + =1；（Ⅱ）△OAB 的面积为定值 2 ．
14.（1）椭圆方程为 +y2=1；（2）m 的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）．
A． B． C． D．2
13.设椭圆 C： + =1 的离心率 e= ，动点 P 在椭圆 C 上，点 P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和是 4．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若椭圆 C1 的方程为 + =1（m＞n＞0），椭圆 C2 的方程为 + =λ（λ＞0，且λ≠ 1），则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的λ倍相似椭圆．已知椭圆 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆．若过椭圆 C 上动点 P 的切线 l 交椭圆 C2 于 A，B 两点，O 为坐标原点，试证明当切线 l 变化时|PA|=|PB|并研究△OAB 面积的变化情况．
10.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点 A（x0，y0）处的切线方程为
=1，试运用该性质解决以下问题：椭圆 C1：
=1（a＞b＞0），其焦距为 2，且过点
．点
B 为 C1 在第一象限中的任意一点，过 B 作 C1 的切线 l，l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C，D 两点，则△OCD 面 积的最小值为（ ）
k AB
b2 a2
定理二：如图直线 l 为椭圆的切线，斜率为 k，切点为 P， kOP k
b2 a2
证明：
x2 a2
伸缩变换之椭圆与圆
＝
｛ Ｌ ： 一 。 ＋ ｏ ｓ （ ｔ 为 参 数 ） ，
吼删 ’
＝
将 它 代 人 一 若 ＝ １ 得
ｆ ０ ｓ ｉ ｎ 。 ０ 一ｂ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 ０ ） ｔ ＋２ ａ ｂ ２ ｃ ｏ ｓ ０ ． ｔ ：０
Ｊ ＡＰ Ｉ
ａ
Ｉ Ｏ ＡＩ ． ’
注 在性质 ２和性质 ３中， 若 Ｍ Ｎ 是过焦点的弦， 则其 中 ： ｅ为椭 圆 、 双曲线 的离心率．
２
一 …
中学 数 学研 究
证 明 作伸缩变换
２ ０ １ ６年第 １ ２期 （ 上）
ｎ。
，
因为 ｋ ｏ Ｍ， ． ｋ Ａ ， Ｂ ，： 一１ ， 所以 ｉ ａ ｏ Ｍ． ａ 后 Ａ ｔ ３： 一１ 即
箬 ．
图３ ， 由 圆的 切割 线走 理： Ｉ Ｐ Ｔ 个 ＝Ｉ Ｆ Ａ Ｌ Ｉ Ｐ Ｂ Ｉ 又 ：１ ，
；＝
１ （ 。＞
：
孚 ， 所 以
±
ｌ ＝ ：一 ３
ｚ ２： ： ２ 于点 Ｅ， 若ｋ ｌ 七 ｌ ：一 ５ ２
，
证 明 为 ＣＤ 的中点．
直线 ＯＭ 和 ＡＢ的斜率都存在， 则ｋ ｏ Ｍ． ｋ Ａ Ｂ： 一１ ．
在椭圆中， 已知椭圆 竺
０， ２
＋ ｙ２
＝
Ｄ
１ （ 。＞６＞０ ） ， ＡＢ为
我们很容 易证 明在伸缩变换 下直线还是 直线， 斜 率之间 的关 系为 七 ： ， 我们常常将椭 圆 ｘ ２＋ ｙ ２ １ （ 。＞６ ＞。 ） 在 “ ａ ‘ Ｏ‘
：
弦， Ｍ 为 ＡＢ 的 中点， 若直线 ＯＭ 和 ＡＢ 的斜率都 存在， 则
MS20坐标拉伸秒杀椭圆问题(二)(2)
坐标拉伸秒杀椭圆问题（二）例2：已知点A（0，2），椭圆E：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大1．直线=1与椭圆=1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB面积为2，这样的点P共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42.已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，1）的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．3.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点F1，F2，离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF2的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值．秒杀秘籍：利用伸缩法解决几何问题（二.面积问题）定理1：如图直线AB与x轴的夹角为α，与x轴交于点M（m，0），与椭圆12222=+byax交于点A,B求OABS∆的最大值，首先进行拉伸变换：12222=+byax→⎪⎩⎪⎨⎧==''ybayxx→222''ayx=+变换后的夹角为β则有,))sin((sin22ββ⋅-⋅=∆mRmSOAB，当222sin2Rm>β时：1sin=β时：22max'mRmS-=→22max'mRmabSabS-==当222sin2Rm≤β时:222sin2Rm=β：2max21'RS=→abS⋅=21max定理2：若22abkkOBOA-=⋅，则1-=''BOAOkk,()定值abSAOB21=∆定理3：abSRBOARSAOBBOA2121sin2122≤⇒≤''∠=∆''∆例1：（2016•重庆模拟）椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0），作直线l 交椭圆于P ，Q 两点．M 为线段PQ的中点，O 为坐标原点，设直线1的斜率为k 1，直线OM 的斜率为k 2，k 1k 2=﹣． （I ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设直线l 与x 轴交于点D （﹣5，0），且满足=2，当△O PQ 的面积最大时，求4.已知直线l ：y=kx+1（k ≠0）与椭圆3x 2+y 2=a 相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a 的值；（Ⅱ）若=2，求△AOB 面积的最大值，及此时椭圆的方程．5. 椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0），作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，设直线l的斜率为k 1，直线OM 的斜率为k 2，k 1k 2=﹣．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与x 轴交于点D （﹣，0），且满足=2，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．6.已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2﹣2x=0的圆心重合，且椭圆过点（，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P （0，1）的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若=2，求△AOB 的面积．7. 已知椭圆Σ：（a ＞b ＞0）的焦距为4，且经过点．（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）若直线l 经过M （0，1），与Σ交于A 、B 两点，，求l 的方程．秒杀秘籍：利用伸缩法解决椭圆问题（三.比值问题）定理：如图直线AB 与x 轴交于点D （m ，0）,与椭圆12222=+by a x 交于点A,B ，其中BD=λDA ，设拉伸成圆之后直线的倾斜角为α。
巧用伸缩变换妙解椭圆问题
巧用伸缩变换妙解椭圆问题
程涛;刘少平;邹鹏
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2016(000)004
【摘要】通过伸缩变换将椭圆转化为单位圆,把直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系,借助圆丰富的几何性质来避开繁琐的代数运算,简化解题过程,从而实现椭圆问题圆解决.
【总页数】5页(P1-5)
【作者】程涛;刘少平;邹鹏
【作者单位】湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中433000
【正文语种】中文
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解 得 一５一
所 以 当 ｍ ＞ １＋ 时， 椭 圆 ① 内含于椭 圆 ②．
评析 用两 圆的位 置关系来 代 替两椭 圆的位 置
所以当 一５一√１ ３ ＜ｍ ＜一５＋￣ ／ １ ３时已知直
线与椭 圆相交 ．
２ ２
关 系显 然 问题容 易解决 ， 而坐标 伸缩 变换恰 好 沟通 了 两者 之间 的关 系 ， 化繁为 简 ， 安全可靠．
相应的圆 ＋ Ｙ ＝１ 和直线 ２ ｋ ｘ 一 √ ｍｙ 一１ ： ０ ， 要
使 已知 的直线 与椭 圆有且仅 有一个 公 共 点 ， 只要相 应
的直 线与 圆相切． Ｐ（ ｍ， ） 变 为 相 应 的 圆 ， ＋ｙ ， ２：１和 定 点 Ｐ （ ，
解 令 ， ： ，ｙ 车， 则已 知椭圆 和定点
ｆ １ 的距 离小 于半 径 １ ， 即 ｌ ２×１—３×（ 一１ ）＋， ｎ ｌ ，，
、
、 ／ ／ （ １ —０ ） ＋（ 一１— ０ ） ＜ ｌ ， ｎ一１ ｌ （ ， ｎ＞０ ） ，
解得 ｍ ＞ １＋ ， 或 ｍ ＜ １一 （ 舍去） ，
恩
＜ ｍ ＜一５＋
ｎ Ｚ
椭 圆方 程变为
所 在 直线的 方 程为ｙ ， 一 旱＝ 一 （ ， 一 ） ．
所 以以 Ｐ （ ｍ， ｎ ）为 中点 的弦 所在 的直 线 方程 为
ｙ
一
＋ Ｙ ＝１ Ｄ Ｄ 即 ＋ 午 １ ＝ ２ ｂ ，
，
２
令 ， ＿ ， Ｙ √ ２ ｙ ，
７ ３ ０ ０ ７ ０
宋
波
解 得 一 了 １ ＜ ＜ ÷ ．
评析 以上 两例也可 以用一 元二 次方 程 的判别
式解决 ， 但 是运算量 较大 ， 不便 于 操作． 本 解法 用 坐标 伸缩变换将 直线 和 椭 圆位 置 关 系转 化 为 直线 和 圆 的
位置关系来 处理显得 特别方便 快捷． ２ 椭 圆和椭 圆的位 置关 系
）为中点 的弦所在直线 方程．
．
弼 镌
ｌ 蛹 葛
瑟
中学 数学 杂志
２ ０ １ ４年第 １ 期
程．
因为 直线 Ｏ Ｐ， 的斜率 ｋ ＝一 ０＝
ｍ
解 设椭 圆方程为 十 Ｙ ＝１ （ 。 ＞ｂ＞０ ）
， ，
Ｄｍ
知 ： ： ， 得ａ ２ ：２ ｂ ｚ ， 则 以Ｐ ， 为 中点 的 弦所在 直线 的斜 率 为 一 ， 弦
由直线 和 圆相 切的充要 条件 可知
Ｉ一 １ Ｉ
） ， 从 而所求 问题 变为 ： 求 圆 ， ２ ＋ ｙ ， ２ ＝１ 内以 尸 ， （ ，
＝１ ， 即 ｍ ＝１—４ ｋ ，
＿ ＝
￣ ／ （ ２ ） ＋ｍ
故得 ０＜ｍ ≤ １ ， 即 ０＜ １—４ ｋ ≤ １ ，
（ 等 ） ＋ （ ÷ ） ＝ ｍ ２ ，
令 ｒ 一 号 ， ｙ Ｙ ， 可 得 相 应 两 圆
（ 一１ ） ＋（ Ｙ ＋１ ） ：１ 和 ＋Ｙ 心＝ｍ ，
（ ÷一 １ ） ＋ （ ÷ ＋ １ ） ＝ １ 和 ２ ・ 鲁 一 ３ ・ ÷＋ ｍ
＝ ０ ， 令 ÷， Ｙ ÷， 可 得 相 应直 线ｆ 。 ： ２ 一 ３ ｙ ＋ ｍ
＋
：
例１ 当 ｍ 为何 值 时 ， 直线 ｚ ： —Ｙ＋ｍ ：０与椭
１① 与 椭 圆 等 ＋ ＝ ｍ （ ｍ ＞ ０ ） ② 内 含 ？
解 已知两椭 圆方程可变 形为
圆 ： 和直线 Ｚ 的方程可 变形 为
（ 詈一 １ ） ＋ 了 Ｙ ＋ １ ） ＝ １ 和
坐标 伸缩变 换转化 为相应 的直线 和 圆 、 圆和 圆的 位置 关系、 与 圆有关 的 问题来 处 理． 这样 做 不 仅 可 以方 便 理解 ， 还 可 以避 免较 为 繁琐 的计 算 过程 ． 下 面分 类 举 例予 以说 明．
１ 直线和椭 圆的位 置关 系
例 ３ 当 ｍ为何 值时 ， 椭 圆
中学数学杂志
２ ０ １ ４ 年第 １ 期
霓
６ 弱 ６ ６ 器 嚣ｌ 鹬 髦 髭９
用 坐 标 伸 缩 变 换 翩 决 柚 圆 问题
甘 肃省 兰州 市第 四十五 中学
在 高 中数 学新课 标选 修 ４ ４中 ， 介 绍 了平面 直角 坐标 系 中的 坐标 伸 缩 变换 ． 在 坐 标 伸缩 变 换 下 ， 椭 圆 就可 以变 为 圆 ， 二 者有 很 多 相似 的性 质 ， 从 而 可将 椭 圆的有些 问题用 圆的知识来 处理 ， 比如研 究直 线 和椭 圆、 椭 圆和椭 圆的位 置关 系 、 与椭 圆有 关 的 问题 时 ， 用
则椭 圆和定 点 （ Ｏ ， ２ ）变为相 应 的圆 ＋Ｙ ＝
詈 ＝ 一 （ 一 詈 ） ，
即 ６ ｍ ＋ ａ ２ ｎ ｙ—ｂ ２ ｍ 一０ ／ ７ ， ＝ ０ ．
３ 求椭 圆的 中点弦直线 方程
例４ 已知椭圆 ＋ ＝１ ， 定点 ｐ（ ｍ， ｎ ） （ ｍ ｎ≠
例２ 设直 线 Ｙ＝ 一１ 和椭 圆 ＋ ＝１ 有 且 仅有 一个公共 点 ， 求 和 １ １ ２ 的取值范 围．
‘ √ｍ
解 令 ｑ － ， ｙ ， ＝ 圭 ， 则已知椭圆和直线变为 ０ ） 在椭 圆内 ， 求以 ｐ（ ｍ， ｎ ） 为中点的弦所在的直线方程
＝０和 圆 Ｍ１ ： （ 一１ ） ２＋（ ｙ ＋１ ） ＝１ ． 要使 已知 的直线 ｚ 与椭 圆 相交 ， 只要相应 的直 线ｆ 与 圆 相交． 因此 圆 的 圆心 （ １ ， 一１ ）到直线
要使 已知两 椭 圆相 内含 ， 只要 使所 得相 应 的两 圆 相 内含． 由两 圆内含 的 充要 条件可知