用坐标伸缩变换解决椭圆问题

）为中点 的弦所在直线 方程．
．
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中学 数学 杂志
２ ０ １ ４年第 １ 期
程．
因为 直线 Ｏ Ｐ， 的斜率 ｋ ＝一 ０＝
ｍ
解 设椭 圆方程为 十 Ｙ ＝１ （ 。 ＞ｂ＞０ ）
， ，
Ｄｍ
知 ： ： ， 得ａ ２ ：２ ｂ ｚ ， 则 以Ｐ ， 为 中点 的 弦所在 直线 的斜 率 为 一 ， 弦
＝０和 圆 Ｍ１ ： （ 一１ ） ２＋（ ｙ ＋１ ） ＝１ ． 要使 已知 的直线 ｚ 与椭 圆 相交 ， 只要相应 的直 线ｆ 与 圆 相交． 因此 圆 的 圆心 （ １ ， 一１ ）到直线
要使 已知两 椭 圆相 内含 ， 只要 使所 得相 应 的两 圆 相 内含． 由两 圆内含 的 充要 条件可知
则椭 圆和定 点 （ Ｏ ， ２ ）变为相 应 的圆 ＋Ｙ ＝
詈 ＝ 一 （ 一 詈 ） ，
即 ６ ｍ ＋ ａ ２ ｎ ｙ—ｂ ２ ｍ 一０ ／ ７ ， ＝ ０ ．
相应的圆 ＋ Ｙ ＝１ 和直线 ２ ｋ ｘ 一 √ ｍｙ 一１ ： ０ ， 要
使 已知 的直线 与椭 圆有且仅 有一个 公 共 点 ， 只要相 应
的直 线与 圆相切． Ｐ（ ｍ， ） 变 为 相 应 的 圆 ， ＋ｙ ， ２：１和 定 点 Ｐ （ ，
解 令 ， ： ，ｙ 车， 则已 知椭圆 和定点
中学数学杂志
２ ０ １ ４ 年第 １ 期
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用 坐 标 伸 缩 变 换 翩 决 柚 圆 问题
甘 肃省 兰州 市第 四十五 中学
在 高 中数 学新课 标选 修 ４ ４中 ， 介 绍 了平面 直角 坐标 系 中的 坐标 伸 缩 变换 ． 在 坐 标 伸缩 变 换 下 ， 椭 圆 就可 以变 为 圆 ， 二 者有 很 多 相似 的性 质 ， 从 而 可将 椭 圆的有些 问题用 圆的知识来 处理 ， 比如研 究直 线 和椭 圆、 椭 圆和椭 圆的位 置关 系 、 与椭 圆有 关 的 问题 时 ， 用
ｎ Ｚ
椭 圆方 程变为
所 在 直线的 方 程为ｙ ， 一 旱＝ 一 （ ， 一 ） ．
所 以以 Ｐ （ ｍ， ｎ ）为 中点 的弦 所在 的直 线 方程 为
ｙ
一
＋ Ｙ ＝１ Ｄ Ｄ 即 ＋ 午 １ ＝ ２ ｂ ，
，
２
令 ， ＿ ， Ｙ √ ２ ｙ ，
＋
：
例１ 当 ｍ 为何 值 时 ， 直线 ｚ ： —Ｙ＋ｍ ：０与椭
１① 与 椭 圆 等 ＋ ＝ ｍ （ ｍ ＞ ０ ） ② 内 含 ？
解 已知两椭 圆方程可变 形为
圆 ：
＋ ｛ ＝ １ 相 交 ？
解 椭 圆 和直线 Ｚ 的方程可 变形 为
（ 詈一 １ ） ＋ 了 Ｙ ＋ １ ） ＝ １ 和
ｆ １ 的距 离小 于半 径 １ ， 即 ｌ ２×１—３×（ 一１ ）＋， ｎ ｌ ，，
、
、 ／ ／ （ １ —０ ） ＋（ 一１— ０ ） ＜ ｌ ， ｎ一１ ｌ （ ， ｎ＞０ ） ，
解得 ｍ ＞ １＋ ， 或 ｍ ＜ １一 （ 舍去） ，
恩
＜ ｍ ＜一５＋
由直线 和 圆相 切的充要 条件 可知
Ｉ一 １ Ｉ
） ， 从 而所求 问题 变为 ： 求 圆 ， ２ ＋ ｙ ， ２ ＝１ 内以 尸 ， （ ，
＝１ ， 即 ｍ ＝１—４ ｋ ，
＿ ＝
￣ ／ （ ２ ） ＋ｍ
故得 ０＜ｍ ≤ １ ， 即 ０＜ １—４ ｋ ≤ １ ，
７ ３ ０ ０ ７ ０
宋
波
解 得 一 了 １ ＜ ＜ ÷ ．
评析 以上 两例也可 以用一 元二 次方 程 的判别
式解决 ， 但 是运算量 较大 ， 不便 于 操作． 本 解法 用 坐标 伸缩变换将 直线 和 椭 圆位 置 关 系转 化 为 直线 和 圆 的
位置关系来 处理显得 特别方便 快捷． ２ 椭 圆和椭 圆的位 置关 系
解 得 一５一
所 以 当 ｍ ＞ １＋ 时， 椭 圆 ① 内含于椭 圆 ②．
评析 用两 圆的位 置关系来 代 替两椭 圆的位 置
所以当 一５一√１ ３ ＜ｍ ＜一５＋￣ ／ １ ３时已知直
线与椭 圆相交 ．
２ ２
关 系显 然 问题容 易解决 ， 而坐标 伸缩 变换恰 好 沟通 了 两者 之间 的关 系 ， 化繁为 简 ， 安全可靠．
坐标 伸缩变 换转化 为相应 的直线 和 圆 、 圆和 圆的 位置 关系、 与 圆有关 的 问题来 处 理． 这样 做 不 仅 可 以方 便 理解 ， 还 可 以避 免较 为 繁琐 的计 算 过程 ． 下 面分 类 举 例予 以说 明．
１ 直线和椭 圆的位 置关 系
例 ３ 当 ｍ为何 值时 ， 椭 圆
３ 求椭 圆的 中点弦直线 方程
例４ 已知椭圆 ＋ ＝１ ， 定点 ｐ（ ｍ， ｎ ） （ ｍ ｎ≠
例２ 设直 线 Ｙ＝ 一１ 和椭 圆 ＋ ＝１ 有 且 仅有 一个公共 点 ， 求 和 １ １ ２ 的取值范 围．
‘ √ｍ
解 令 ｑ － ， ｙ ， ＝ 圭 ， 则已知椭圆和直线变为 ０ ） 在椭 圆内 ， 求以 ｐ（ ｍ， ｎ ） 为中点的弦所在的直线方程
（ 等 ） ＋ （ ÷ ） ＝ ｍ ２ ，
令 ｒ 一 号 ， ｙ Ｙ ， 可 得 相 应 两 圆
（ 一１ ） ＋（ Ｙ ＋１ ） ：１ 和 ＋Ｙ 心＝ｍ ，
（ ÷一 １ ） ＋ （ ÷ ＋ １ ） ＝ １ 和 ２ ・ 鲁 一 ３ ห้องสมุดไป่ตู้ ÷＋ ｍ
＝ ０ ， 令 ÷， Ｙ ÷， 可 得 相 应直 线ｆ 。 ： ２ 一 ３ ｙ ＋ ｍ