2019届高三年级第三次四校联考

2019届高三年级第三次四校联考
数学(文)试题
本试卷分必考题和选考题两部分，第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分，考试时间为120分钟．
参考公式：
锥体体积公式V ＝1
3
sh 其中s 为底面面积，h 为高
柱体体积公式V ＝sh 其中s 为底面面积，h 为高
球的表面积，体积公式s ＝4πR 2
V ＝43
πR 3 其中R 为球的
半径
随机变量2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知i 为虚数单位，复数121i z i
+=-，则复数z 的虚部是( )
A ．i 2
3
B ．2
3
C ．i 2
1-
D ．2
1-
2．已知集合{}{}=>=∈-==B A x x B x x y y A 则,0log ,,122R ( ) A ．{}1>x x B ．{}0>x x C ．{}1-<x x D ．{}11>-<x x x 或 3．下列命题 ① ②
③若q p ∨为真
④“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件．
其中真 A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
4．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1且a ·b ＋b ·b ＝3
2
，则向量
a ，
b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
5．函数
2()sin cos f x x x x =图象的一个对称中心是( )
A ．2(π,3
B ．5π(,6
C ．2(π3-
D ．)0,3π( 6．两个正数1，9的等差中项是a ，等比中项是b ，则曲线
12
2=+b
y a x 的离心率为( ) A ．105 B ．2105 C ．45 D ．105与2105
7．读下面的程序：
INPUT N I ＝1 S ＝1
WHILE I ＜＝N S ＝S*I I ＝I ＋1 WEND
PRINT S END
上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为( ) A ．6 B ．720 C ．120 D ．1
8．若实数y x ,满足不等式⎪⎩
⎪⎨⎧
≥--≤-≥0
2240y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是( )
A ．[－1，3
1] B ．[－2
1，3
1]
C ．[－
2
1，2)
D ．[－2
1
， ＋∞)
9．设}{n a 为等差数列，它的前n 项和为n S 若0,0109<>S S ，则
9
93322122,2,2a a a a 中最大的是( )
A ．1
2
a B ．
5
5
2a C ．
6
6
2a
D ．
9
9
2a
10．已知a 是函数x x f x 2
1log 2)(-=的零点，若)(,000x f a x 则<<的值满足( ) A ．0()0f x = B ．0()0f x > C ．0()0f x < D ．0()f x 的符号不能确定 11．一个几何体的三视图如右图所
示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面．．积．为( ) A ．π12 B ．π34 C ．π3 D ．π312
12．已知双曲线2
2
13
y
x -=的左顶点为1
A ，右焦点为2
F ，P 为双
曲线右支上一点，则1
2
PA PF ⋅最小值为( ) A ．2- B ．8116
- C ．1 D ．0
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在边长为1的正方形ABCD 内随机选一点M ，则点M 到
点D 的距离小于正方形的边长的概率是________.
14．,02)2()2()(时，当为偶函数，且已知≤≤--=+x x f x f x f ,2)(x
x f =*N n ∈若，
==2011),(a n f a n 则_________. 15．已知函数
⎩⎨
⎧<+≥=)
2)(2()
2(2)(x x f x x f x ，则)5(log 4f 等于__________.
16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两
两垂直，且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥
M PCA -的体积.若1()(,,)2f M x y =，且18a
x y
+≥恒成立，则
正实数a 的最小值为______.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或步骤) 17．(本小题满分12分)
如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C ，测得75CAB ∠=，45CBA ∠=，且
100AB =米. (1)求sin 75；
(2)求该河段的宽度.
18．(本小题满分12分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否
与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
生的概率为35
．
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？
说明你的理由；
(3)已知喜爱打篮球的10位女生中，321,,A A A 还喜欢打羽
毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．
19．(本小题满分12分)
如图，AB 为圆O 的直径，点E 、
F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD .
(1)求证：⊥AF 平面CBF ；
(2)设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；
(3)设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积
分别为ABCD F V -，CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．
20．(本小题满分12分)
已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为
2
2，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距
．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于
P 、Q 两点，在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分12分)设函数)0(ln )(2>-=x bx x a x f
(1)若函数)(x f 在1=x 处与直线2
1-=y 相切，
①求实数a ，b 的值；
②求函数],1[)(e e
x f 在上的最大值；
(2)当
0=b 时，若不等式x m x f +≥)(对所有的
(]
2,1],2
3
,0[e x a ∈∈都成立，求实数m 的取值范围.
选做题(本小题满分10分．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．)
22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，直线OB 交⊙O 于点E D ，，连接EC CD ，．
(1)试判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明；
(2)若1tan 2
E =，⊙O 的半径为3，求OA 的长．
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知过点P(1，1)的
直线l 的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+= (1)写出直线l 的极坐标方程；
(2)设l 与圆2ρ=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．
24．(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数.1)(a x x x f -+-=
(1)若1a =-，解不等式()3f x ≥；
(2)如果(),2x f x ∀∈≥R ，求a 的取值范围.
2019届高三年级第三次四校联考数学(文)答案页二、填空题．共4个小题，每空5分，共20分．13．__________________ 14．__________________ 15．__________________ 16．__________________ 三、解答题．共6个小题，共70分．
18．(12分)解：
(1)
19．(12分)解：
20．(12分)解：
21．(12分)解：
选做(10分)：题号____________ 解：
2019届四校联考数学试题(文)参考答案
一、选择题：(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
13．π4
14．2
1 15．54 16．1
三、解答题(本大题共6小题，共70
分．解答应写出文字说明、证明过程或步骤
) 17．(本小题满分12分)
解：
(1)sin 75sin(3045)=+sin 30cos 45cos30sin 45=+
1222=⨯=4分
(2)∵75CAB ∠=，45CBA ∠=
∴18060ACB CAB CBA ∠=-∠-∠=， 由正弦定理得：sin sin AB BC ACB
CAB
=∠∠
∴sin 75sin 60
AB BC = (6)
分
如图过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D ，则BD 的长就是该河段的宽度．
在Rt BDC ∆中，∵45BCD CBA ∠=∠=，sin ,BD
BCD BC
∠=…………8分
∴sin 45BD BC =
＝100sin 75
sin 45sin 60
AB ⋅=
=
米)……………11分
∴该河段的宽度12
分
18．(本小题满分12分)
解：
(1)列联表补充如下：……………………3分
(2)∵2
50(2015105)8.3337.879
30202525
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ (5)
分
∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.………………6分
(3)从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、
喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下： 111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，，132(),A B C ，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，，
231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，
332()A B C ，，，322331()()A B C A B C ，，，
，，， 基本事件的总数为18，………………9分
用M 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件M 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于M 由111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，3个基本事件组成， 所以6
1
183)(==M P ，……………………11分 由
对
立事
件的概率公
式
得
15
()1()16
6
P M P M =-=-=.…………12分
19.(本小题满分12分)解析： (1)证明：
平面⊥ABCD 平面ABEF ，AB CB ⊥， 平面 ABCD 平面ABEF ＝AB ， ⊥∴CB 平面ABEF ，
⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴，…2分 又AB 为圆O 的直径，
BF AF ⊥∴， ……………………3分 ⊥∴AF 平面
CBF ． ……………………4分
(2)设DF 的中点为N ，则MN //CD 2
1，又AO //CD 2
1，
则MN //AO ，MNAO 为平行四边形， …………………6分 //OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ， //OM ∴平面DAF ． …………………8分
(3)过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ，
⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3
2
3
1=⋅=∴-，…………
10分
⊥CB 平面ABEF ，
CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅=
=∴∆--31FG CB FG EF 6
1
2131=⋅⋅⋅=，………11分
ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ． (12)
分
20．(本小题满分12分)
解：
(Ⅰ)由已知，椭圆方程可设为()
22
2210x y a b a b +=>>
设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l 的距离
=
1c =.……………2分
又a
c e =＝
2
2，故a ＝2，b ＝1
∴所求椭圆方程为2
212
x y +=． (4)
分
(Ⅱ)假设存在点()(),001M m m <<满足条件，使得以,MP MQ
为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，
所以设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，1122(,),(,)P x y Q x y
由
()2222,1,
x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩
可得
()2
2
22124220k x
k x k +-+-=． (6)
分
由0∆>恒成立，∴22121222
422
,1212k k x x x x k k
-+==++． 设线段PQ 的中点为00(,)N x y ，
则2
02221021)1(,2122k k
x k y k k x x x +-=-=+=+= (8)
分
∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形，
∴MN⊥PQ ∴1-=⋅PQ MN K K ……………10分 即
22
2
121212k
k k k m
k -+⋅=--+，
2
22
2
11
0012
122k m k m k k ∴==
∴>∴<<++
…
…………12分
21．(本小题满分12分)
解：
(1)①'()2a f x bx x =-函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切
'(1)20,1(1)2f a b f b =-=⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩解得112
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩………3分 ②2
2111()ln ,'()2x f x x x f x x x x
-=-=-=………4分
当1x e e ≤≤时，令'()0f x >得11x e
<<；令'()0f x <，得1;x e << 1(),1f x e ⎛⎤
∴ ⎥⎝⎦
在上单调递增，
在[1，e]上单调递减，max 1()(1)2
f x f ∴==-………6分
(2)当b ＝0时，()ln f x a x =
若不等式()f x m x ≥+对所有的(2
30,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥
⎣⎦
都成立， 则ln a x m x ≥+对所有的(2
30,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥
⎣⎦
都成立，
即,ln x x a m -≤对所有的(]2,1],2
3,0[e x a ∈∈都成立，……8分
令)(,ln )(a h x x a a h 则-=为一次函数，min ()m h a ≤
(21,,ln 0,x e x ⎤∈∴>⎦3()[0,]2
h a a ∴∈在上单调递增 min ()(0)h a h x ∴==-，m x ∴≤-对所有的(21,x e ⎤∈⎦都成立……
10分
221,1,x e e x <<∴-≤-<-2min ()m x e ∴≤-=- (12)
分
(注：也可令()ln ,()h x a x x m h x =-≤则所有的(21,x e ⎤∈⎦都成立，分类讨论得2min ()2m h x a e ≤=-对所有的3[0,]2
a ∈都成
立，22min (2)m a e e ∴≤-=-，
四、选做题(本小题满分10分．请考生在第22，23，24
三题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂嘿． 22．解：
(Ⅰ)证明：
如图，连接OC ．OA OB =，CA CB =， OC AB ∴⊥．
∴AB 是⊙O 的切线． ……3分 (Ⅱ)1tan 2
E ∠=，
∴12
CD EC =．
BCD BEC △∽△，
∴1
2
BD CD BC EC ==．设BD x =，则2BC x =． (6)
分
又BC 2
＝BD ·BE ，∴2(2)(6)x x x =+．…………… 8分 解得10x =，22x =．0BD x =>，∴2BD =． 235OA OB BD OD ∴==+=+=．…………10分
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
解：
(Ⅰ)因为直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=． 所以直线l 的普通方程是)1(3
3
1-=-x y ． 化为极坐标方程为
33sin 3cos 3-=-θρθρ (4)
分
(Ⅱ)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的
参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别
),211,231(11t t A ++
)2
11,231(22t t B ++. ………6分
圆
2
ρ=化为直角坐标系的方程
422=+y x ．……………… 8分
以直线l 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到
02)13(2=-++t t ①
因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2．
所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝|－2|＝2． ………………… 10分
24．(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲 解：
(1)当1a =-时，()11f x x x =-++．由()3f x ≥得311≥++-x x ①当1x ≤-时，不等式化为113,x x ---≥即23x -≥，其解集
为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
. ②当11x -<≤时，不等式化为113x x -++≥，不可能成立.其解集为∅.
③当1x ≥时，不等式化为113,x x -++≥即23x ≥.其解集为
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,23. 综上得()3f x ≥的解集为33,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢
⎝
⎦
⎣⎭
. …………4分
(2)若()1,21,a f x x ==-不满足题设条件.
若()()()21,1,1,
121,1x a x a
a f x a a x f x x a x -++≤⎧⎪<=-<<⎨⎪-+≥⎩的最小值为1a -.
若()()()21,1
1,1,
121,x a x a f x a x a f x x a x a -++≤⎧⎪>=-<<⎨⎪-+≥⎩
的最小值为1a -
所以(),2
x f x ∀∈≥R .a 的取值范围是
(][),13,.-∞-+∞…………10分。