立体几何中的折叠问题

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立体几何中的折叠问题

考纲目标：

1.掌握展开问题与折叠问题中有关线面的位置关系的证明方法，会用平面展开图解决立体几何中有关最值问题。

2.通过折叠问题训练使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。

考点一几何体展开问题

【例1】如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,底面ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1

=.P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为.

反思归纳： 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当

的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.

考点二.平面图形的折叠问题

答题模板:第一步:确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变

化量和不变量.

第二步:在折叠后的图形中确定线和面的位置关系,

明确需要用到的线【例2】(2013高考广东卷)如图(1),在边长为1的等边三角形

ABC 中,D,E 分别是AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G,将△ABF 沿AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥

A BCF,其中

. (1)证明:DE ∥平面BCF;

(2)证明:CF ⊥平面ABF;

(3)当AD=23时,求三棱锥F DEG 的

体积F DEG V

.

面.

第三步:利用判定定理或性质定理进行证明.

第四步:利用所给数据求边长和面积等,进而求表面积、体积.

(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系,并证明你的结论;

(3)证明:直线DF ⊥平面BEG.

2.(2015洛阳三模)等边三角形ABC 的边长为2,CD 是AB 边上的高,

E,F 分别是AC 和BC 的中点(如图(1)).现将△ABC 沿CD 翻成直二面

角A-ＣＤ－Ｂ．

(1)求证:AB ∥平面DEF;

(2)求多面体D －ＡＢＦＥ的体积。

3.如图所示,在边长为4的菱形ABCD 中,∠DAB=60°.点E,F 分别在

边CD,CB 上,点E 与点C,D 不重合,EF ⊥AC 于点O.沿EF 将△CEF

翻折到△PEF 的位置,使平面PEF ⊥平面

ABFED.

【即时训练】

1、

(2015高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示

.

(1)

请将字母F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);

(1)求证:BD ⊥平面POA;

(2)当PB 取得最小值时,求四棱锥P-BFED 的体积.

【要点总结】折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方

式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题

型的关键是抓住两图的特征关系。解答折叠问题的关键在于画好折叠

前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些

没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题

的依据。而展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及

到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。

作业：

1、（2005浙江理科）12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的

中点，DE ⊥AB 于E (如下图)．现将△ADE 沿DE 折起，使

二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影

恰为点B ，则M 、N 的连线与

AE 所成角的大小等于_____．

2、（2009浙江）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E

为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD

∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作

DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围

是 ．

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