电路分析中动态电路的电路方程

( R1
R2 )C
duC dt
(
R1
R1
R2
)
uC
R1C
duC dt
uS
经过整理得到以下微分方程
LC
d 2 uC dt 2
(
L R1
R2C )
duC dt
(R1 R2 ) R1
uC
uS
这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。
L7-11s Circuit Data
元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件
R1 LC
duC2 (t ) dt 2
(L
R1R2C )
duC (t ) dt
( R1
R2 )uC (t )
R1uS (t )
R1SCUs+Us
I2 (S)= -------------------------
R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1
R1 LC
diL2 (t ) dt 2
(L
R1R2C )
diL dt
iL
uS R1
此方程与式7－19相同，这是常系数非齐次一阶微分方 程，图(a)是一阶电路。
例7-10 电路如图7-22(a)所示，以uC(t)为变量列出电路的微 分方程。
解一：列出网孔方程
图7-22
(RR1 2i1R2
)i1 R2iC ( R2 R3 )iC
uS uC
0
(RR1 2i1R2()Ri12RR2i3C)iC
这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。
图7-20
对于图(b)所示RL并联电路，可以写出以下方程
iS (t) iR (t) iL (t) GuL (t) iL (t)
在上式中代入 ：
uL
(t)
L
diL (t) dt
得到
GL
diL (t dt
)
iL
(t
)＝iS
(t
)
(7 18)
这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。
2:41
3 回转器变电容为电感 2:42
郁 金 香
谢谢观看！ 2020
uS uC
0
补充方程
iC
C
duC dt
得到以i1(t)和uC(t)为变量的方程
( R1
R2 )i1
R2C
duC dt
uS
(1)
R2i1
( R2
R3 )C
duC dt
uC
0
(2)
图7-22
从式(2)中写出i1(t)的表达式
i1
( R2
R3 )C R2
duC dt
1 R2
uC
将 i1(t)代入式(1)，得到以下方程
例7－8 列出图7－20所示电路的一阶微分方程。
图7-20
图7-20
解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程
uS (t) uR (t) uC(t) Ri(t) uC(t)
在上式中代入: 得到
i(t) C duC(t) dt
RC
duC (t dt
)
uC (t
)＝uS
(t)
(7－17)
代入电容的VCR方程
iC
C
duC dt
得到以iL(t)和uC(t)为变量的方程
L
diL dt
( R1
R2 )iL
R1C
duC dt
uS
(1)
R1iL
R1C
duC dt
uC
0
( 2)
从式(2)得到
iL
C
duC dt
1 R1
uC
将iL(t)代入式(1)中
图7-23
LC
d2uC dt 2
L R1
duC dt
例7-9 电路如图7－21(a)所示，以iL为变量列出电路的微分 方程。
图7-21
解一：列出网孔方程
(
R1
R2 )i1
R2iL
uS
(1)
R2 i1
L diL dt
R2 iL
0
(2)
由式(2)求得
i1
L R2
diL dt
iL
代入式(1)得到
( R1
R2 )L R2
diL dt
(R1
R2 )iL
diL (t ) dt
( R1
R2 )iL (t )
R1C
duS (t ) dt
uS (t )
***** 符 号 网 络 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成电 七系--胡翔骏 *****
根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。
名称
时间
名称
时间
1 电容的电压电流波形 4:16 2 电感的电压电流波形
例7-11 电路如图7-23所示，以uC(t)为变量列出电路的微分 方程。
图7-23
解：以iL(t)和iC(t)为网孔电流，列出网孔方程
L
diL
dt
( R1
R2 )iL
R1iC
uS
R1iL R1iC uC 0
L
diL
dt
( R1
R2 )iL
R1iC
uS
R1iL R1iC uC 0
R2iL
uS
整理
( R1
R2 )L R2
diL dt
R1iL
uS
(7 19)
图7-21
解二：将含源电阻单口用诺顿等效电路代替，得到图(b)电 路，其中
Ro
R1 R2 R1 R2
iSC
uS R1
图7-21
图7－21(b)电路与图7－20(b)电路完全相同，直接引用
式7－18可以得到
( R1＋R2 )L R1 R2
( R3
R1R2 )C R1 R2
duC dt
uC
R2 R1 R2
uS
(7 20)
这是以电容电压为变量的一阶微分方程。
图7-22
解二：将连接电容的含源电阻单口网络用戴维宁等效电路 代替，得到图(b)所示电路，其中
Ro
R3
R1 R2 R1 R2
uoc
Baidu Nhomakorabea
R2 R1 R2
uS
图7－22(b)电路与图7－20(a)相同，直接引用式7－17可以 所得到与式7－20相同的的微分方程。
类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号
V110
Us
L212
L
R323
R1
C423
C
R530
R2
独立结点数目 = 3 支路数目 = 5
----- 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 -----
R1Us
U4 (S)= -------------------------
R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1
§7－3 动态电路的电路方程
含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然 受到KCL、KVL的拓扑约束和元件特性VCR的约 束。一般来说，根据KCL、KVL和VCR写出的电 路方程是一组微分方程。
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 由n阶微分方程描述的电路称为n阶电路。