信号与系统_06能量谱和功率谱分解
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Ve V2 V1 c12V2 Ve 误差矢量 c12V2 V1 cos(V1V2 ) V1 cos(V1 V2 ) V1V2 cos(V1 V2 ) V1 V2 c12 V2 V2V2 V2 V2
2 2
x
x
2 2
y
1 2
2 1
y
1
2
y2
来自百度文库
利用范数符号，将矢量长度分别写作
2 2 2 x1 x2 2 1
1 2
y
于是
y
2
y
y
2
2 2
1
x1
y1
2
1
2
x 1 y1 x 2 y 2 x
y 2 cos 1 2
x1 y1 x 2 y 2 对应于二维矢量空间的 内积（点积）运算
xt dt x n
L空间
l空间
可见，一阶范数表示信号作用的强度。
第 8 页
二阶范数
2 2 2 L空间 x 2 x t d t 即 x 2 x t d t 1 2 2 2 2 l空间 x 2 x n 即 x 2 x n n n 物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。 2
§6.2 信号矢量空间的基本概念
•线性空间 •范数
•内积
•柯西－施瓦茨不等式
一．线性空间
定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。
例:
N维实数空间 R N N维复数空间 C
N
第 4 页
连续时间信号空间 L
2.连续时间信号空间 L和离散时间信号空间 l中的范数 1连续时间信号空间 L中，元素x的p阶范数 x p 定义如下 1 p p x t dt 1 p x p p sup x t
2离散时间信号空间 l中, 元素x n 的p阶范数 x
x
p 1 p p x n n sup x n
第
的定义 p
7 页
1 p p
这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (3)常用的范数 一阶范数
x
1
x1
n
x 1 y1 x 2 y 2 x
2
y 2 cos 1 2
第
10 页
上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。即
cos 1 2 0,两矢量之夹角为 90 , 标量乘积为零
cos 1 2 1,两矢量夹角为 0 , 标量乘积取最大值
推广 三维 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 多维
x, y x i y i x, y x i y i
i 1 i 1 N N
N维实线性空间 N维复线性空间
第
11 页
信号空间 L 内的两连续信号的内积
x, y
x t y t dt
1
L空间
x
sup x t
l空间
x
物理意义：对于定义在 闭区间上的x t , x 表示信号 可测得的峰值，也即信 号的幅度。
sup x n
三．内积
直角坐标平面内两矢量相对位置关系
cos 1 2
第 9 页
x
x
x 1 y1 x 2 y 2
2 1
x2
连续时间信号
离散时间信号
x, y x n y n
nZ
对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为
x, x
x, x
x t dt x
2
2
2 2
连续
离散
nZ
x n
x
2 2
四．柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式
x, y
2
离散时间信号空间 l
二．范数
线性空间中元素 x的范数以符号 x 表示，满足以下公理 1 正定性 x 0,当且仅当x 0时 x 0；
第 5 页
2 正齐性 对所有数 量α , 有 αx α x； 3 三角形不等式 xy x y。
令p为实数， 1 p , 在R N 与C N 空间元素x x1 , x 2 , , x N 的p阶范数定义为 1 N p p xi x p def i 1 max x i 1 i N
1.R 与C 空间的范数；
N
N
对于1 p 对于p
第
常用范数
x 1 11 2 x x max 1,1 1 在二维或三维实数矢量 空间中，二阶范数的物 理意义是
矢量的长度。 x 2 也称为欧氏(Euclidean )范数或欧氏距。
2
6 页
11 2
H
ri t
n n r t H e t H e i t ri t i 0 i 0
一．矢量的正交分解
方式不是惟一的： V1用V2 表示， V1 V1 c1V2 Ve 1 Ve1 Ve 2 Ve c 2V2 Ve 2 c12V2 Ve c2V2 c12V2 c1V2 怎样分解，能得到最小的误差分量？
第
12 页
x, x y , y
§6.3 信号的正交函数分解
•矢量的正交分解
•正交函数
•正交函数集 •复变函数的正交特性
第
信号分解的目的
将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号
14 页
的特性。
简化系统分析与运算， 总响应=单元响应之和。
e t
n
ei t
i 0
e i t
§6.1 引言
第 2 页
信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似， 信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处 理进行更深入的研究。 本章主要内容 •利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念； •信号的正交函数分解； •相关函数； •能量谱和功率谱； •相关、正交概念的应用：匹配滤波器，码分复用 技术。
2 2
x
x
2 2
y
1 2
2 1
y
1
2
y2
来自百度文库
利用范数符号，将矢量长度分别写作
2 2 2 x1 x2 2 1
1 2
y
于是
y
2
y
y
2
2 2
1
x1
y1
2
1
2
x 1 y1 x 2 y 2 x
y 2 cos 1 2
x1 y1 x 2 y 2 对应于二维矢量空间的 内积（点积）运算
xt dt x n
L空间
l空间
可见，一阶范数表示信号作用的强度。
第 8 页
二阶范数
2 2 2 L空间 x 2 x t d t 即 x 2 x t d t 1 2 2 2 2 l空间 x 2 x n 即 x 2 x n n n 物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。 2
§6.2 信号矢量空间的基本概念
•线性空间 •范数
•内积
•柯西－施瓦茨不等式
一．线性空间
定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。
例:
N维实数空间 R N N维复数空间 C
N
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连续时间信号空间 L
2.连续时间信号空间 L和离散时间信号空间 l中的范数 1连续时间信号空间 L中，元素x的p阶范数 x p 定义如下 1 p p x t dt 1 p x p p sup x t
2离散时间信号空间 l中, 元素x n 的p阶范数 x
x
p 1 p p x n n sup x n
第
的定义 p
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1 p p
这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (3)常用的范数 一阶范数
x
1
x1
n
x 1 y1 x 2 y 2 x
2
y 2 cos 1 2
第
10 页
上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。即
cos 1 2 0,两矢量之夹角为 90 , 标量乘积为零
cos 1 2 1,两矢量夹角为 0 , 标量乘积取最大值
推广 三维 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 多维
x, y x i y i x, y x i y i
i 1 i 1 N N
N维实线性空间 N维复线性空间
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信号空间 L 内的两连续信号的内积
x, y
x t y t dt
1
L空间
x
sup x t
l空间
x
物理意义：对于定义在 闭区间上的x t , x 表示信号 可测得的峰值，也即信 号的幅度。
sup x n
三．内积
直角坐标平面内两矢量相对位置关系
cos 1 2
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x
x
x 1 y1 x 2 y 2
2 1
x2
连续时间信号
离散时间信号
x, y x n y n
nZ
对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为
x, x
x, x
x t dt x
2
2
2 2
连续
离散
nZ
x n
x
2 2
四．柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式
x, y
2
离散时间信号空间 l
二．范数
线性空间中元素 x的范数以符号 x 表示，满足以下公理 1 正定性 x 0,当且仅当x 0时 x 0；
第 5 页
2 正齐性 对所有数 量α , 有 αx α x； 3 三角形不等式 xy x y。
令p为实数， 1 p , 在R N 与C N 空间元素x x1 , x 2 , , x N 的p阶范数定义为 1 N p p xi x p def i 1 max x i 1 i N
1.R 与C 空间的范数；
N
N
对于1 p 对于p
第
常用范数
x 1 11 2 x x max 1,1 1 在二维或三维实数矢量 空间中，二阶范数的物 理意义是
矢量的长度。 x 2 也称为欧氏(Euclidean )范数或欧氏距。
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H
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一．矢量的正交分解
方式不是惟一的： V1用V2 表示， V1 V1 c1V2 Ve 1 Ve1 Ve 2 Ve c 2V2 Ve 2 c12V2 Ve c2V2 c12V2 c1V2 怎样分解，能得到最小的误差分量？
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x, x y , y
§6.3 信号的正交函数分解
•矢量的正交分解
•正交函数
•正交函数集 •复变函数的正交特性
第
信号分解的目的
将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号
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的特性。
简化系统分析与运算， 总响应=单元响应之和。
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n
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§6.1 引言
第 2 页
信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似， 信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处 理进行更深入的研究。 本章主要内容 •利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念； •信号的正交函数分解； •相关函数； •能量谱和功率谱； •相关、正交概念的应用：匹配滤波器，码分复用 技术。