《工程试验技术》第四章-振动与波动理论基础(下-波动理论)

此即为原方程的通解。
其中 x0 为任意一点，而k 为积分常数，
F ( x) + G( x) = ϕ ( x) 1 x C − F ( x) + G( x) = ∫ ψ (α )dα − a x0 a
1 1 x C F ( x) = ϕ ( x) − ∫ ψ (α )dα + 2 2a x0 2a 1 x C 1 G( x) = ϕ ( x) + ∫ ψ (α )dα − 2 2a x0 2a
∂ 2u = 0 ∂ξ∂η
⎞ ⎟ ⎟ （C） ⎠
∂ u = 0 ∂ξ∂η
2
函数 F，G具体形式，由初值 条件确定：
∂u = F * (ξ ) ∂ξ
u (ξ , η ) =
* F ∫ (ξ )d ξ + G (η )
u( x,0) = ϕ ( x)
（初始位移）
F ( x) + G( x) = ϕ ( x)
速度幅值谱
时域测试曲线
加速度功率谱
速度功率谱
速度幅值谱
2、嵌岩桩的检测
嵌岩桩的桩尖反射应为反向，同向应作为异常，需要进行验证
台州某工程检测结果
台州某工程检测结果
台州某工程检测结果—对同类型桩已进行静载验证
临安某工程检测结果
临安某工程检测结果-已进行取芯验证
3、浅层缺陷检测与分析
宜进行开挖验证
上行的力波和速度波的关系为：
− EA p ↑= ⋅ v ↑= − ρAC ⋅ v ↑= − Z ⋅ v ↑ c
结论：杆件（桩）中的一维波动（振动）可以分解为两个传播方向相反， 但传播速度相同的两列独立的“行波”，波形由初始条件决定。
4、波在杆件端部的反射情况
（1）、固定端的反射
1）、速度波：由于杆件固定端不能有位移，因此总 速度也必须为零，所以
Z1 Z2
⎧V反射 + V入射 = V透射 ⎨ ⎩− Z1V反射 + Z1V入射 = Z 2V透射
联解得：
⎧ ⎪V反射 = ⎪ ⎨ ⎪V = 透射 ⎪ ⎩
Z1 − Z 2 V入射 Z1 + Z 2 2Z 2 V入射 Z1 + Z 2
Z 2 − Z1 ⎧ ⎪ F反射 = Z + Z F入射 ⎪ 1 2 ⎨ ⎪ F = 2 Z1 F 透射 入射 ⎪ Z Z + 1 2 ⎩
2、一维杆件波动定解问题的行波解法
2 ⎧ ∂ 2u 2 ∂ u , t > 0, x ∈ R ⎪ 2 =c 2 ∂t ∂x ⎪ ⎪u ( x , t ) = ϕ ( x ) t =0 ⎨ ⎪ ∂u ⎪ ( x, t ) = ψ ( x ) ⎪ t =0 ⎩ ∂t
当杆件上分布有初始变形： φ（x） 和初始速度： ψ（x）
自由杆件（无桩侧土影响） 一维波动 自由振动 桩顶自由 0
桩底弹性支承 L
用分离变量法求解定解问题： 设
u ( x, t ) = X ( x )T (t )
代入基本方程
k x
X ( x) ⋅ T ′′(t ) − c X ′′( x) ⋅ T (t ) = 0
2
T ′′(t ) X ′′( x) = 2 c T (t ) X ( x)
先求得特征方程为
根据特征线作变量变换
dx 2 ( ) − c2 = 0 dt
x − ct = k 1 x + ct = k 1
ξ = x − ct , η = x + ct
方程改写为
特征线为
∂ 2u = 0 ∂ξ∂η
推导具体过程如下：
2 ∂ 2u 2 ∂ u −c =0 2 2 ∂t ∂x
ξ = x − ct
下行的力波和速度波的关系为：
EA p ↓= ⋅ v ↓= ρAC ⋅ v ↓= Z ⋅ v ↓ c
0
y = G(x+ c⋅ t)
上行的速度波： 上行的力波：
用 u ↑ 表示
∂u ↑ ∂G（x + ct） v ↑= = = c ⋅ G′ ∂t ∂t
∂u ↑ ∂G（x + ct） p ↑= − EA = − EA = − EA ⋅ G′ ∂x ∂x
（1）、均质杆件（完整桩）顶部的速度响应曲线 1）均质杆件（完整桩）下端为自由端
+2v
+2v
时间t
结论：下端为自由端时，桩顶测得的桩尖反射均为与初始激发脉冲同向的反 射信号，数值为初始脉冲的两倍
2）均质杆件（完整桩）下端为固定端
+2v -2v
+2v +2v
时间t
结论：下端为固定端时，奇数次桩尖反射均为与初始激发脉冲反向，偶数次 桩尖反射均为与初始激发脉冲同向的反射信号，数值也为初始脉冲的两倍
传感器的可用频率范围应在上述范围的两倍以上。 所以规范条文说明中（117页）要求： 加速度幅频线性段高限不宜小于 5000 Hz 但速度传感器幅频线性范围一般为 20-1000 Hz难 以完全满足要求。 因此建议使用加速度计。
时域测试曲线
加速度功率谱
速度功率谱
速度幅值谱
时域测试曲线
加速度功率谱
速度功率谱
浅层缺陷动测曲线分析
浅层缺陷总体特征：
4、桩尖反射信号与有效检测长度
杭州半山某工地---10米长预应力管桩
杭州半山某工地---10米长预应力管桩
桩侧土较 好，桩 尖土阻 抗匹配 因素， 导致底 反射不 清楚。
杭州半山某工地---10米长预应力管桩 指数放大200倍
5、渐变缺陷
6、土层界面反射影响
ut ( x,0) = ψ ( x)
= F (ξ ) + G (η )
（初始速度）
a[−F ′( x) + G′( x)] = ψ ( x)
a[−F ( x) + G( x)] + k = ∫ ψ (α )dα
x0 x
u ( x , t ) = F ( x − ct ) + G ( x + ct )
由齐次边界条件有
⎧ X ′(0)T (t ) = 0 ⎨~ ⎩ k ⋅ X (l ) + X ′(l ) ⋅ T (t ) = 0
[
]
~ k 其中 k = EA
Q T (t ) ≠ 0
故得
否则得零解，对于齐次微分方程是无意义．求解是指 求非零解
⎧ X ′(0) = 0 ⎨~ ⎩k ⋅ X (l ) + X ′(l ) = 0
Z = ρ ⋅C ⋅ A
6、界面反射判据：
⎧ ⎪V反射 = ⎪ ⎨ ⎪V = 透射 ⎪ ⎩
Z1 − Z 2 V入射 Z1 + Z 2
2Z 2 V入射 Z1 + Z 2
Z1 Z2
当缩径时（Z1 ≤ Z 2），V反射与V入射同向 当扩径时（Z1 ≥ Z 2），V反射与V入射反向
7、杆件（桩）顶部的速度响应曲线--反射波法判据
即固定端对力波产生一个大小相等，符号相同的反射
（2）、自由端的反射
1）、力波：由于杆件自由端不受力，因此总力波为零，所以
p ↑ + p ↓= 0 ∴ p↑ （反射） = −p ↓ （入射）
即固定端对力波产生一个大小相等，符号相反的反射 2）、速度波：利用自由端总力波为零及速度波与力波关系得
p ↑= − Z ⋅ v ↑ 和 p ↓= Z ⋅ v ↓ ∴ − zv ↑ + zv ↓= 0
求解本征值（或称为固有值）问题
软弱土层反映与题
实线：三维响应 虚线：一维响应
§ 2.2.3 机械阻抗法（导纳法）
计算判断依据：
0
C Δf = 2L
?
L : 桩长； C : 波速；
Δf : 导纳曲线上相邻两个峰值间的频率差值。
L
k x
2 ⎧ ∂ 2u 2 ∂ u ⎪ ∂t 2 = c ∂x 2 ⎪ ⎪u ( x , t ) = ϕ ( x ); ∂u ( x , t ) = ψ ( x ) t =0 ⎪ ∂t t =0 ⎪ ⎨ ∂u ( x , t ) = 0; ⎪ ⎪ ∂x x = 0 ⎪ ∂u ( x , t ) ⎞ ⎪⎛ =0 ⋅ + ( , ) k u x t EA ⎜ ⎟ ⎪ ∂x ⎠ x = L ⎩⎝
+v
-v
结论：截面阻抗从小到大变化时，界面处奇数次反射均为与初始激发脉 冲反向的反射信号，界面处偶数次反射均为与初始激发脉冲同向的反射 信号，数值也为初始脉冲的 n
⎡ Z − Z2 ⎤ 2⎢ 1 ⎥ ⎣ Z1 + Z 2 ⎦
（3）、一般缩径桩顶的速度响应曲线（阻抗先减小后恢复正常）
V反射 V 透射
要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于 t, 只能是它们等于 也不依赖于x的常数，不妨设常数为 − λ2
T ′′(t ) X ′′( x) 2 = = −λ 2 c T (t ) X ( x)
该方程可分离成两个常微分方程:
（常数）
T ′′(t ) + c λ T (t ) = 0
2 2 2
X ′′( x) + λ X ( x) = 0
一次反射
二次反射
嵌岩桩的桩底反射特征
（2）、变截面杆件（变阻抗桩）顶部的速度响应曲线（阻抗减小）
时间
结论：截面阻抗从大到小变化时，界面处反射均为与初始激发脉冲同向 的反射信号，数值也为初始脉冲的
⎡ Z − Z2 ⎤ 2⎢ 1 ⎥ ⎣ Z1 + Z 2 ⎦ n
（阻抗增大-扩径）
-v
-v
+v
v ↑ + v ↓= 0 ∴ v↑ （反射） = −v ↓ （入射）
即固定端对速度波产生一个大小相等，符号相反的反射 2）、力波：利用固定端总速度为零及速度波与力波关 系得
p ↑= − Z ⋅ v ↑ 和 p ↓= Z ⋅ v ↓
v ↑ + v ↓= 0
p↑ p↓ ∴ − + =0 Z Z
∴ p↑ （反射） = p↓ （入射）
第四章、振动与波动理论基础(下) 一、一维波动理论—反射波法检测原理
1、基本方程：
在不考虑土影响情况下，当桩长L远大于桩径时， 锤击产生的应 力波近似一维传播
∂ u 2 ∂ u − c = 0 2 2 ∂t ∂x
2 2
u xt
C= E ρ
桩身质点的振动位移。 分别为空间和时间坐标。 一维弹性纵波在桩身中的传播速度。
表示以速度C向下行进的波，称“下行波”
用 u ↓ 表示
表示以速度C向上行进的波，称“上行波”
用 u ↑ 表示
上面两种行波都是位移波 下行的速度波： 下行的力波：
∂u ↓ ∂F（x − ct） v ↓= = = −c ⋅ F ′ ∂t ∂t
∂u ↓ ∂F（x − ct） p ↓= − EA = − EA = − EA ⋅ F ′ ∂x ∂x
（2）、对于一般的桩，桩端土有一定支撑刚度，既不符合完 全自由的情况，也不符合完全固定的情况，因此实际情况下， 桩尖（端）的反射波特征不能用该方法进行分析；
二、有关问题讨论及动测曲线分析
1、桩的低应变动测信号的频率范围
1）加速度信号基本在（0-2500 Hz） 2）速度信号基本在 （0-1800 Hz）
Z1 − Z 2 = V 入射 Z1 + Z 2 2Z 2 = V 入射 Z1 + Z 2
基桩反射波法的基本判据总结
8、行波解用作反射波法判据的缺陷和不足之处
（1）、行波解没有考虑桩周土对波传播的影响，反射波的幅 度判断与实际桩差别很大；因此不可能利用上述行波解，根据 实测曲线对桩的缺陷程度进行定量评估；
达朗贝尔公式
u( x, t ) =
ϕ ( x − at) + ϕ ( x + at)
2
1 x+at + ∫ ψ (α )dα 2a x−at
3、一维杆件的行波特征
对于
y = F(x−c⋅ t)
当t = Δt时 y = F(x− c ⋅ Δt)
当 t = 0 时 y = F(x) 峰值位置: x = x0
p ↑ + p ↓= 0
∴ v↑ （反射） =v↓ （入射）
即自由端对速度波产生一个大小相等，符号相同的反射
5、波在杆件阻抗变化界面处的反射、透射情况
波从 Z1 入射到 根据界面两侧速度波连续和力波平衡条件可得 Z2
⎧V反射 + V入射 = V透射 ⎨ ⎩ P反射 + P入射 = P透射
F下行 = Z ⋅ V下行 F上行 = − Z ⋅ V上行
峰值移到: x = x0 + c ⋅ Δt
y
F（x ） 0
y = F(x + c ⋅ Δt − c ⋅ Δt) = F（x ） 0 0
F（x ） 0
t =0
t = Δt
o
c ⋅Δt
x0
x
似乎波以速度C向右行走，故称“行波”
c⋅Δt
对桩而言，取下图坐标，此时
0
y = F(x−c⋅ t) y = G(x+ c⋅ t)
（A）
η = x + ct
复合函数 求导
∂u ∂u ∂u = + ∂x ∂ξ ∂η
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = +2 + （B） 2 2 ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 2
（B）、（C）代入（A）
⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u = c⎜ − + ⎟ ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂ξ ∂η ⎠
2 2 2 ⎛ u u u ∂ 2u ∂ ∂ ∂ 2 ⎜ c 2 = − + ⎜ ∂ξ 2 ∂t 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎝