第五讲 用代数式表示数量之间的关系

第五讲 用代数式表示数量之间的关系
（一）代数式基本知识
代数式定义：像b a +、t
s 、2+b 、m 3这样的用加、减、乘、除、乘方灯运算符号连接 的数和字母组成的式子叫做代数式。

注意：
1. 单独的一个数或一个字母也是代数式；
2. 代数式中除含有数、字母和运算符号外，还可以含有括号，用于指明运算顺序；
3. 代数式和等式、不等式的区别和联系：代数式中一定不含有“=”、“＞”、“＜”、“≥”、 “≤”、“≠”；等式和不等式的两边都是代数式；
列代数式注意事项：
1. 用字母表示实际问题中的某一个数量时，字母的取值必须使这个问题有意义且符合实 际。

如t
s v =中0≠t ，2r s π=中0>r 。

2. 同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。

3. 数字和数字相乘，“×”不可以省略；
4. 数字和字母相乘，数字在前，中间乘号省略或写作“· ”（在中间）；数字是带分数 的要化为假分数；
5. 字母与字母相乘，中间乘号省略或写作“· ”（在中间）；
6. 代数式中出现除法运算时，一般用分数形式表示；
7. 用字母表示数时，若式子是和或差的形式，应把式子用括号括起来，在后面写单位； 若式子是积或商的形式，在式子后面直接写单位。

（二）列代数式
例 1 标价为x 元的某件商品，标价八折出售仍获利b 元，已知该件商品的进价为a 元， 则x 等于______________元
练习：
1. 某电脑的进价为m 元，商场标出的售价比进价提高40%，而后又打8.5折出售，一台 电脑盈利_________。

2. 某电厂有煤m 吨，计划每天用煤a 吨，实际每天节约用煤b 吨，节约后可多用 _________天。

3. 某品牌奶糖a 元/千克，水果糖b 元/千克，如果买奶糖m 千克，水果糖n 千克，那么
混合后的糖果每千克_____________元。

例 2 一个三位数，从百位上的数字到个位上的数字依次大1，设十位数字为a ，那么这 个三位数可以表示为______________________。

练习：
1. 一个两位数，各位数字为a ，十位数字为b ，那么这个数可以表示为___________。

2. 一个两位数，它的个位数字是a ，十位数字比个位数字大5，这个两位数可以表示为 ________________。

例 3 某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形草地，若圆形的半径为r 米，长方形的长为a 米，宽为b 米，空地的面积是_________________。

练习： 1. 如下左图，有宽为a 米，长是宽的2倍的长方形广场，在它的两角上铺四分之一圆形 草地，该草地的面积是__________________。

2. 如上右图，从一块直径为b a +的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩 下的纸板的面积是_________________。

（三）用代数式表示数学运算的规律
例 4 观察下列等式：
)21(11212+⨯=⨯+；)22(22222+⨯=⨯+；)23(33232+⨯=⨯+； …… 那么第n 个等式可表示为_______________________。

练习：
1. 观察下列等式：
9-1=8；16-4=12；25-9=16；36-16=20； ……
用关于)1(≥n n 的等式表示这个规律为_______________________。

2. 观察下列算式：
22131=+⨯；23142=+⨯；24153=+⨯；25164=+⨯； ……
第n 个算式可以表示为____________________________。

3. 观察下列各式： 211211-=⨯；3121321-=⨯；4
131431-=⨯； …… ① 第n 个算式可以表示为_______________________。

② 计算：)
1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n =___________________。

4. 观察下列各式： )3111(21311-⨯=⨯；)5
131(21531-⨯=⨯；)7151(21751-⨯=⨯； …… 第n 个算式可以表示为__________________；这n 个算式的和是______________。

例 5 观察下列各式，然后回答问题：
① 22431==+； ② 239531==++； ③ 24167531==+++； ④ 252597531==++++； ……
根据观察所得出的规律计算：=-+++++)12(7531n __________________。

练习：
1. 观察下列等式：
2311=；233321=+；23336321=++；23333104321=+++； ……
那么=++++3333321n _____________________。

2. 阅读下列材料： )210321(3121⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯； )321432(3
132⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯； )432543(3
143⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯； 由以上三个等式相加可得：205433
1433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯。

读完以上材料，请你计算下列各题：
① =⨯++⨯+⨯+⨯1110433221 _________________。

② =+⨯++⨯+⨯+⨯)1(433221n n ______________________。

③ )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n =__________________。

（四）用代数式表示图形的规律
例 6 如图所示，下列每个图形都是由若干枚棋子组成的正方形图案，图案的每条边（包 括两个顶点）上都有n （2≥n ）枚棋子，每个图案的棋子总数为s ，则s 与n 之 间的关系式可表示为____________________。

练习： 1. 如图所示，每个图案都是由若干个棋子围成，按照此规律，第n 个图案中棋子的总数 可用含n 的代数式表示为_________________。

2. 数学兴趣小组的同学用棋子摆成了如图所示的“工”字型图案，依照这种摆放规律， 第n 个图案需要___________枚棋子。

3. 图中的各个图案是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个端点）有
n （1 n ）盆花，每个图案花盆的总数为s ，s 与n 之间的关系式可表示为__________。

4. 观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n 个图形中有_____________个☆。

例 7 请你根据图中三角形的个数的规律写出第n 个图形中共有三角形___________个。

练习： 1. 如图所示，这时由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则 第n 个图形的周长是______________。

2. 如图所示给出的是用长度相等的火柴棒拼成的由三角形组成的图形，那么拼成第n 个 图形需要火柴棒_________________根。

3. 用黑白两种颜色的正方形纸片，按下图所示的规律排列，第n 个图案中有白色纸片 _________张。

4. 用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，第n 个图案中白 色的地砖有________________块。

5. 观察下列图形所对应的算式，根据发现的规律计算=+++++n 8241681 ______。

6. 观察如图所示图形中小正方形的个数，依此规律，第n 个图形中小正方形的个数是 __________________；第n 个图形需要___________根小木棒。

7. 在下左图中，各几何体都是由大小相同的小正方体按一定规律垒成的，那么第 )1(≥n n 个几何体中，小正方体的个数是___________。

8. 如上右图，图①是水平摆放的小正方体木块，图②和图③是由这样的小正方体木块叠 放而成的，按这样的规律连续叠放。

叠放至第n 个图形时，小正方体木块共有____块。

9. 图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形， 其中完整菱形有5个；若铺成3×3近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；如 此下去，铺成一个n n ⨯的近似正方形图案，当得到完整的菱形共181个时，=n _____。

作 业
1. 为鼓励节约用电，某地对居民用电收费标准作了如下规定：每户每月用电量如果不超 过100千瓦，那么每千瓦电价按a 元收费；如果超过100千瓦，那么超过部分每千瓦 电价按b 元收费。

某户居民在一个月内用电160千瓦，则该用户这个月应缴纳电 费_______元。

2. 张老板以每颗a 元的单价买进水蜜桃100颗，现以每颗比单价多两成的价格卖出70 颗后，再以每颗比单价低b 元的价格将剩下的卖出，那么全部卖出后的平均价格是 ____________元。

3. 某校艺术班的同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数 多10人，两种都会的有7人，设会弹古筝的有m 人，则该班共有____________人。

4. 有一段山坡路，小明上坡的速度为a 千米/时，下坡的速度为b 千米/时，则小明上下 坡的平均速度为______________。

5. 有一块长为a 米，宽为b 米的长方形铝片，四角各截去一个相同的边长为x 的正方形， 折起来做成一个无盖的盒子，则此盒子的容积是_____________________。

6. 一个两位数，十位数字和个位数字之和为9，如果十位数字为a ，那么这个两位数表 示为____________________。

7. 一个两位数，个位上的数与十位上的数之和为10，交换两个数字的位置所得到的新数 比原数大45，如果设原数的十位数字为x ，那么原数表示为__________________，新 数表示为___________________。

8. 用代数式表示图中各阴影部分的面积。

9. 如下左图所示，一块长方形地，长为a 米，宽为b 米，在中间修两条互相垂直的宽为 x 米的小路，剩余土地的面积是________________。

10.如上右图所示两个相同的矩形的一部分重叠在一起，重叠部分的是边长为2的正方形， 已知矩形的长为a ，宽为b ，则阴影部分的面积是_____________。

11.用同样大小的黑白两种颜色的棋子摆成如图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用 白棋子_______________个枚。

12.如图，是小明用火柴大的1条、2条、3条“金鱼”，则搭n 条金鱼需要火柴______根。

13.如图所示，第n 行有________个苹果，前n 行一共有___________个苹果。

14.下图是由同样大小的五角星按一定的规律组成，第n 个图形中五角星个数是_______。

15.如图所示，用火柴摆图形，要拼出有n 个三角形的图形，需要火柴____________根。

16.如图所示，在由火柴拼出的图形中，第n 个图形由n 个正方形组成，那么第n 个图形 中有火柴_______________根。

17.观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数为______________。

18.某数学活动小组的20为同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始， 每位同学依次报自己顺数数的倒数加1，这样得到的20个数的积为__________。

19.根据规律，在横线上海添上合适的代数式：x ，23x ，35x ，_______，5
9x ，… 20.观察下列一组数：32，54-，76，9
8-，…，第n 个数是___________。

21.已知整数1a ，2a ，3a ，…，满足下列条件：01=a ，112+-=a a ，123+-=a a ， 134+-=a a ，…，则=2013a __________。

22.若m a 111-=，1211a a -=，2
311a a -=，…，则=2013a __________。

23.一根绳子弯曲成如图所示的形状，当用剪刀像图1那样沿虚线a 将绳子剪一次时，绳 子被剪成5段；当像图2那样剪2次时，绳子被剪成9段，若按照上述规律把绳子剪 n 次时，绳子被剪成____________段。

24.已知),3,2,1()1(12
=+=n n a n ，记)1(211a b -=，)1)(1(2212a a b --=；…； )1()1)(1(221n n a a a b ---= ，则通过计算推测出n b 的表达式为_______________。

25.为了求2012322
2221+++++ 的值，可令20123222221+++++= s ，则 2013322
2222++++= s ，因此1222013-==-s s s ，仿照以推理计算 20123255551+++++ 的值是___________。

26.式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子较长，书
写不方便，为了方便起见，我们将其表示为n n ∑=100
1，这里∑是求和符号。

通过阅读以
上材料，计算=+∑=)
1(12012
1n n n _____________。

27.如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，第（2）个多边形由 正方形“扩展”而来，边数记为4a ，…，以此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边 形的边数记为n a )3(≥n ，那么当600
19711143=+++n a a a 时，=n __________。