第五讲 用代数式表示数量之间的关系

第五讲 用代数式表示数量之间的关系

（一）代数式基本知识

代数式定义：像b a +、t

s 、2+b 、m 3这样的用加、减、乘、除、乘方灯运算符号连接 的数和字母组成的式子叫做代数式。

注意：

1. 单独的一个数或一个字母也是代数式；

2. 代数式中除含有数、字母和运算符号外，还可以含有括号，用于指明运算顺序；

3. 代数式和等式、不等式的区别和联系：代数式中一定不含有“=”、“＞”、“＜”、“≥”、 “≤”、“≠”；等式和不等式的两边都是代数式；

列代数式注意事项：

1. 用字母表示实际问题中的某一个数量时，字母的取值必须使这个问题有意义且符合实 际。如t

s v =中0≠t ，2r s π=中0>r 。 2. 同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。

3. 数字和数字相乘，“×”不可以省略；

4. 数字和字母相乘，数字在前，中间乘号省略或写作“· ”（在中间）；数字是带分数 的要化为假分数；

5. 字母与字母相乘，中间乘号省略或写作“· ”（在中间）；

6. 代数式中出现除法运算时，一般用分数形式表示；

7. 用字母表示数时，若式子是和或差的形式，应把式子用括号括起来，在后面写单位； 若式子是积或商的形式，在式子后面直接写单位。

（二）列代数式

例 1 标价为x 元的某件商品，标价八折出售仍获利b 元，已知该件商品的进价为a 元， 则x 等于______________元

练习：

1. 某电脑的进价为m 元，商场标出的售价比进价提高40%，而后又打8.5折出售，一台 电脑盈利_________。

2. 某电厂有煤m 吨，计划每天用煤a 吨，实际每天节约用煤b 吨，节约后可多用 _________天。

3. 某品牌奶糖a 元/千克，水果糖b 元/千克，如果买奶糖m 千克，水果糖n 千克，那么

混合后的糖果每千克_____________元。

例 2 一个三位数，从百位上的数字到个位上的数字依次大1，设十位数字为a ，那么这 个三位数可以表示为______________________。

练习：

1. 一个两位数，各位数字为a ，十位数字为b ，那么这个数可以表示为___________。

2. 一个两位数，它的个位数字是a ，十位数字比个位数字大5，这个两位数可以表示为 ________________。

例 3 某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形草地，若圆形的半径为r 米，长方形的长为a 米，宽为b 米，空地的面积是_________________。

练习： 1. 如下左图，有宽为a 米，长是宽的2倍的长方形广场，在它的两角上铺四分之一圆形 草地，该草地的面积是__________________。

2. 如上右图，从一块直径为b a +的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩 下的纸板的面积是_________________。

（三）用代数式表示数学运算的规律

例 4 观察下列等式：

)21(11212+⨯=⨯+；)22(22222+⨯=⨯+；)23(33232+⨯=⨯+； …… 那么第n 个等式可表示为_______________________。

练习：

1. 观察下列等式：

9-1=8；16-4=12；25-9=16；36-16=20； ……

用关于)1(≥n n 的等式表示这个规律为_______________________。

2. 观察下列算式：

22131=+⨯；23142=+⨯；24153=+⨯；25164=+⨯； ……

第n 个算式可以表示为____________________________。

3. 观察下列各式： 211211-=⨯；3121321-=⨯；4

131431-=⨯； …… ① 第n 个算式可以表示为_______________________。

② 计算：)

1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n =___________________。 4. 观察下列各式： )3111(21311-⨯=⨯；)5

131(21531-⨯=⨯；)7151(21751-⨯=⨯； …… 第n 个算式可以表示为__________________；这n 个算式的和是______________。 例 5 观察下列各式，然后回答问题：

① 22431==+； ② 239531==++； ③ 24167531==+++； ④ 252597531==++++； ……

根据观察所得出的规律计算：=-+++++)12(7531n __________________。 练习：

1. 观察下列等式：

2311=；233321=+；23336321=++；23333104321=+++； ……

那么=++++3333321n _____________________。

2. 阅读下列材料： )210321(3121⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯； )321432(3

132⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯； )432543(3

143⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯； 由以上三个等式相加可得：205433

1433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯。 读完以上材料，请你计算下列各题：

① =⨯++⨯+⨯+⨯1110433221 _________________。

② =+⨯++⨯+⨯+⨯)1(433221n n ______________________。

③ )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n =__________________。

（四）用代数式表示图形的规律

例 6 如图所示，下列每个图形都是由若干枚棋子组成的正方形图案，图案的每条边（包 括两个顶点）上都有n （2≥n ）枚棋子，每个图案的棋子总数为s ，则s 与n 之 间的关系式可表示为____________________。