正弦定理与余弦定理的应用优秀PPT课件
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45和 60 ，CD间的距离是12m.已知测角仪器
高1.5m,求烟囱的高。
想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
B
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
解：在BC1D1中, C1BD1 60 45 15,
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
25 2 D. 2 m
解析 由正弦定理得sin∠ABACB＝sAinCB，又 B＝30°，
∴AB＝AC·ssiinn∠BACB＝50×1
2 2 ＝50
2(m)．
2
答案 A
2．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，
D．北偏西 10°
解析 如图．
答案 B
学生练习
4.如图,隔河看两目标A、B，但不能到达，
在岸边选取相距 3 千米的C、D两点，并测
得∠ACB=750,∠BCD=450,∠ADC=300，∠A
=450(A、B、C、D在同一平面)，求两目标A
之间的距离。 A
B
D C
解三角形应用题的一般步骤：
（1）准确地理解题意； （2）正确地作出图形； （3）把已知和要求的量尽量集中在有关三
BC DC sin BDC 100sin 60 116.54(m)
sin DBC
sin 48
在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得
AB 2 AC 2 BC2 2AC BC cosACB 134.052 116.542 2134.05116.54cos 25
3233.95
了解有关测量术语: a.仰角和俯角是指与目标视线在同一垂直平 面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平 视线的目标视线上方时叫仰角,目标视线在水 平视线的下方的时叫俯角. b.方向角是指从指定方向线到目标方向线的 水平角,如北偏东300,南偏西450. c.方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目 标方向线的水平角. d.坡度是坡面与水平面所成的角的度数.
答：烟囱的高为 29.9m.
例4 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α＝54°40′，在塔 底C处测得A处的俯角β＝50°1′ 已知铁塔BC部分的高为27.3m，求 出山高CD(精确到1m)
c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
（4）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
＝85°, ∠ ACD=47°, 则
∠ DＡＣ=4８°，又ＤＣ＝
100，由正弦定理，得：
AC DC sin ADC 100sin 85 134.05(m) Ｄ
Ｃ
sin DAC sin 48
在△ＢＤＣ中， ∠BDC=60°, ∠BCD=72°,
则∠DＢC=４８°．又ＤＣ＝100，
由正弦定理，得
所以ＡＢ≈５７（m）.
答：Ａ，Ｂ两点之间的距离约为５７m.
双基自测 1．(人教 A 版教材习题改编)如图，设 A，B 两点在河的两岸， 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离 为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( )．
β 的关系为( )．
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
解析 根据仰角与俯角的定义易知 α＝β.
答案 B
3．若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，且
AC＝BC，则点 A 在点 B 的( )．
A．北偏东 15°
B．北偏西 15°
C．北偏东 10°
角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺 序地解这些三角形； （４）再根据实际意义和精确度的要求给出
答案．
二、关于测量高度的问题
测量距离的方法：
测
角把
量
形距
两
的离
点
边看
间
成
距
三
离
进利 行用
求正 解余
定 理
问实 题际
形解 问三 题角
实例讲解 练习1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底 部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是
由正弦定理可得: C1D1 BC1 sin B sin D1
A1
C1
D1
C
D
A
BC1
C1D1 sin sin B
D1
12 sin120 s in 15
18
26
6
A1B
2 2
BC1
18
6Leabharlann Baidu
3 28.4
AB A1B AA1 28.4 1.5 29.9(m)
.求A,B两点间的距离.
B
A
C
例2、如图，为了测量河对岸两点Ａ、Ｂ之间
的距离，在河岸这边取点Ｃ，Ｄ，测得∠ADC
=85°, ∠BDC=60°, ∠ ACD=47°, ∠BCD=
72°,CD=100m.设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一个平
面内，试求Ａ，Ｂ之间的距离（精确到１m）．
Ｂ
解：在△ＡＤＣ中， ∠ADC Ａ
（2）正弦定理应用范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
（3）、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其
他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积
的两倍。
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
1.1.2 正、余弦定理 在实际生活中的应用
Sine law, law of cosines in practical life utilization
课前回顾
（1）三角形常用公式：A B C
SABC
1 2
absin C
1 bc sin 2
A
1 2
ac sin
B
正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C
2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角， 在水平线 下方 的角叫俯角(如图(1))．
下面是几个测量距离问题
实例一 1,如图,设A,B两点在河的两岸.需要测量A,B两点 间的距离,测量者在A的同侧河岸边选定一点C.测
出AC=55米, ∠ BAC=45，°, ACB 75
高1.5m,求烟囱的高。
想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
B
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
解：在BC1D1中, C1BD1 60 45 15,
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
25 2 D. 2 m
解析 由正弦定理得sin∠ABACB＝sAinCB，又 B＝30°，
∴AB＝AC·ssiinn∠BACB＝50×1
2 2 ＝50
2(m)．
2
答案 A
2．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，
D．北偏西 10°
解析 如图．
答案 B
学生练习
4.如图,隔河看两目标A、B，但不能到达，
在岸边选取相距 3 千米的C、D两点，并测
得∠ACB=750,∠BCD=450,∠ADC=300，∠A
=450(A、B、C、D在同一平面)，求两目标A
之间的距离。 A
B
D C
解三角形应用题的一般步骤：
（1）准确地理解题意； （2）正确地作出图形； （3）把已知和要求的量尽量集中在有关三
BC DC sin BDC 100sin 60 116.54(m)
sin DBC
sin 48
在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得
AB 2 AC 2 BC2 2AC BC cosACB 134.052 116.542 2134.05116.54cos 25
3233.95
了解有关测量术语: a.仰角和俯角是指与目标视线在同一垂直平 面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平 视线的目标视线上方时叫仰角,目标视线在水 平视线的下方的时叫俯角. b.方向角是指从指定方向线到目标方向线的 水平角,如北偏东300,南偏西450. c.方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目 标方向线的水平角. d.坡度是坡面与水平面所成的角的度数.
答：烟囱的高为 29.9m.
例4 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α＝54°40′，在塔 底C处测得A处的俯角β＝50°1′ 已知铁塔BC部分的高为27.3m，求 出山高CD(精确到1m)
c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
（4）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
＝85°, ∠ ACD=47°, 则
∠ DＡＣ=4８°，又ＤＣ＝
100，由正弦定理，得：
AC DC sin ADC 100sin 85 134.05(m) Ｄ
Ｃ
sin DAC sin 48
在△ＢＤＣ中， ∠BDC=60°, ∠BCD=72°,
则∠DＢC=４８°．又ＤＣ＝100，
由正弦定理，得
所以ＡＢ≈５７（m）.
答：Ａ，Ｂ两点之间的距离约为５７m.
双基自测 1．(人教 A 版教材习题改编)如图，设 A，B 两点在河的两岸， 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离 为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( )．
β 的关系为( )．
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
解析 根据仰角与俯角的定义易知 α＝β.
答案 B
3．若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，且
AC＝BC，则点 A 在点 B 的( )．
A．北偏东 15°
B．北偏西 15°
C．北偏东 10°
角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺 序地解这些三角形； （４）再根据实际意义和精确度的要求给出
答案．
二、关于测量高度的问题
测量距离的方法：
测
角把
量
形距
两
的离
点
边看
间
成
距
三
离
进利 行用
求正 解余
定 理
问实 题际
形解 问三 题角
实例讲解 练习1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底 部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是
由正弦定理可得: C1D1 BC1 sin B sin D1
A1
C1
D1
C
D
A
BC1
C1D1 sin sin B
D1
12 sin120 s in 15
18
26
6
A1B
2 2
BC1
18
6Leabharlann Baidu
3 28.4
AB A1B AA1 28.4 1.5 29.9(m)
.求A,B两点间的距离.
B
A
C
例2、如图，为了测量河对岸两点Ａ、Ｂ之间
的距离，在河岸这边取点Ｃ，Ｄ，测得∠ADC
=85°, ∠BDC=60°, ∠ ACD=47°, ∠BCD=
72°,CD=100m.设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一个平
面内，试求Ａ，Ｂ之间的距离（精确到１m）．
Ｂ
解：在△ＡＤＣ中， ∠ADC Ａ
（2）正弦定理应用范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
（3）、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其
他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积
的两倍。
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
1.1.2 正、余弦定理 在实际生活中的应用
Sine law, law of cosines in practical life utilization
课前回顾
（1）三角形常用公式：A B C
SABC
1 2
absin C
1 bc sin 2
A
1 2
ac sin
B
正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C
2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角， 在水平线 下方 的角叫俯角(如图(1))．
下面是几个测量距离问题
实例一 1,如图,设A,B两点在河的两岸.需要测量A,B两点 间的距离,测量者在A的同侧河岸边选定一点C.测
出AC=55米, ∠ BAC=45，°, ACB 75