高中数学必修一各章节同步练习(附答案解析)

第一章 1.1 1.1.1集合的含义与表示
基础巩固
一、选择题
1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2
－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是( )
A ．②
B ．③
C ．②③
D ．①②③
[答案] C
[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2
－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.
2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A
[答案] A
[解析] 由于2＋3＜10，所以a ∈A .
3．(2015·山东临沂检测)集合{x ∈N *
|x －2＜3}的另一种表示形式是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}
[答案] B
[解析] 由x －2＜3，得x ＜5，又x ∈N *，所以x ＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．
4．方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
3x ＋y ＝22x －3y ＝27
的解集是( )
A.⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝3y ＝－7
B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}
C ．{3，－7}
D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7} [答案] D
[解析] 解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋y ＝2
2x －3y ＝27得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
y ＝－7，
用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D. 5．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
[答案] D
[解析] 由集合中元素的互异性知a ，b ，c 互不相等，故选D.
6．已知集合A 是由0，m ，m 2
－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )
A ．2
B ．3
C ．0或3
D ．0或2或3
[答案] B
[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2
－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B.
二、填空题
7．用符号∈与∉填空：
(1)0________N *
；3________Z ； 0________N ；(－1)0
________N *
； 3＋2________Q ；4
3
________Q .
(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}； (2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}． (3)若a 2
＝3，则a ________R ，若a 2
＝－1，则a ________R . [答案] (1)∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ ∉ (3)∈ ∉
[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．
8．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
0，b
a
，b ，则b －a ＝________.
[答案] 2
[解析] 显然a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b a
＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2. 三、解答题
9．已知集合A 含有a －2,2a 2
＋5a,12三个元素，且－3∈A ，求a 的值． [解析] ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2
＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－3
2
.
当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2
＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，经检验，符合题意．故a ＝－32
.
[注意] (1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a －2,2a 2
＋5a,12的关系分类 ，即可做到不重不漏．
(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a 的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．
10．已知集合A ＝{x |ax 2
－3x ＋2＝0}． (1)若A 是单元素集合，求集合A ；
(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．
[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A 为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax 2
－3x ＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．
[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2
－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题
意；
当a ≠0时，方程ax 2
－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{4
3}，符合题意．
综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{4
3}．
(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{2
3}符合题意；
当a ≠0时，要使方程ax 2
－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤9
8
且a ≠0.
综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤9
8
.
[点评] “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2
＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．
能力提升
一、选择题
1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A ．{x |x ＝1}
B ．{x |x 2
＝1} C ．{1} D ．{y |(y －1)2
＝0}
[答案] B
[解析] {x |x 2
＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.
2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；
⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．
能表示方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y ＝0，
x －y ＋3＝0
的解集的是( )
A ．①②③④⑤⑥
B ．②③④⑤
C ．②⑤
D ．②⑤⑥
[答案] C [解析] 方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0
的解是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，y ＝2.
故选C.
3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |
xyz
的值所组成的集合是M ，
则下列判断正确的是( )
A ．0∉M
B ．2∈M
C ．－4∉M
D ．4∈M
[答案] D
[解析] 当x ＞0，y ＞0，z ＞0时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选D.
4．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，
B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
[答案] B
[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．
二、填空题
5．已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________．
[答案] {k |5＜k ≤6}
[解析] x 只能取3,4,5，故5＜k ≤6.
6．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{3
3－x ∈Z |x ∈Z }＝________.
[答案] {－3，－1,1,3} [解析] ∵
3
3－x
∈Z ，x ∈Z ， ∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴
33－x ＝±3，或33－x
＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意． 三、解答题
7．数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素．
[分析] 已知a ∈A ，1＋a 1－a ∈A ，将a ＝13代入1＋a
1－a 即可求得集合中的另一个元素，依次，
可得集合中的其他元素．
[解析] ∵13∈A ，∴1＋131－13＝2∈A ，∴1＋2
1－2
＝－3∈A ，
∴1－31＋3＝－1
2∈A ，∴1－121＋12
＝13
∈A . 故当13∈A 时，集合中的其他元素为2，－3，－12
.
8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”． (1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集．
[解析] (1)由于2的倒数为1
2
不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．
(2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1
a
，即
a ＝±1，故可以取集合A ＝{1,2，12}或{－1,2，12}或{1,3，13
}等．
第一章 1.1 1.1.2集合间的基本关系
基础巩固
一、选择题
1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是( )
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
[答案] C
[解析] “A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.
2．下列命题中，正确的有( )
①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.
A．①②B．②③
C．②④D．③④
[答案] C
[解析] ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；
③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.
3．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )
A．A⊆B B．C⊆B
C．D⊆C D．A⊆D
[答案] B
[解析] ∵正方形必为矩形，∴C⊆B.
4．下列四个集合中，是空集的是( )
A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}
[答案] B
[解析] 选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.
5．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有( )
A．3个B．4个
C．5个D．6个
[答案] D
[解析] 集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．
6．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2
[答案] A
[解析] 在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A B ，所以a ≥2. 二、填空题
7．用适当的符号填空：
(1){x |x 是菱形}________{x |x 是平行四边形}； {x |x 是三角形}________{x |x 是斜三角形}． (2)Z ________{x ∈R |x 2
＋2＝0}； 0________{0}；
Ø________{0}；
N ________{0}． [答案] (1)
(2) ∈
[解析] (1)判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．(2)集合{x ∈R |x 2
＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x ∈R |x 2
＋2＝0}＝Ø；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；Ø是不含任何元素的集合，故Ø{0}；自然数集N 中含有元素0，但不止0这一个元素．
8．(2012·大纲全国改编)已知集合A ＝{1,2，m 3
}，B ＝{1，m }，B ⊆A ，则m ＝________. [答案] 0或2或－1
[解析] 由B ⊆A 得m ∈A ，所以m ＝m 3
或m ＝2，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1.所以m ＝0或2或－1.
三、解答题
9．判断下列集合间的关系：
(1)A ＝{x |x －3＞2}，B ＝{x |2x －5≥0}； (2)A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }． [解析] (1)∵A ＝{x |x －3＞2}＝{x |x ＞5}，
B ＝{x |2x －5≥0}＝{x |x ≥52
}，
∴利用数轴判断A 、B 的关系． 如图所示，A
B .
(2)∵A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A ，∴B ＝{0,1,2}，∴B A .
10．已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋1
6，p ∈
Z }，试确定M ，N ，P 之间的关系．
[解析] 解法一：集合M ＝{x |x ＝m ＋1
6，m ∈Z }，
对于集合N ，当n 是偶数时，设n ＝2t (t ∈Z )， 则N ＝{x |x ＝t －1
3，t ∈Z }；
当n 是奇数时，设n ＝2t ＋1(t ∈Z )，
则N ＝{x |x ＝2t ＋12－13，t ∈Z }＝{x |x ＝t ＋1
6，t ∈Z }．
观察集合M ，N 可知M N .
对于集合P ，当p 是偶数时，设p ＝2s (s ∈Z )，则
P ＝{x |x ＝s ＋16
，s ∈Z }，
当p 是奇数时，设p ＝2s －1(s ∈Z )，则
P ＝{x |x ＝
2s －12＋1
6
，s ∈Z } ＝{x |x ＝s －1
3，s ∈Z }．
观察集合N ，P 知N ＝P . 综上可得：M
N ＝P .
解法二：∵M ＝{x |x ＝m ＋1
6
，m ∈Z }
＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝3×2m ＋1
6
，m ∈Z }，
N ＝{x |x ＝n 2－13
，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －2
6
，n ∈Z }
＝{x |x ＝
3n －1＋1
6，n －1∈Z }，
P ＝{x |x ＝p 2＋16
，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋1
6
，p ∈Z }，
比较3×2m ＋1,3(n －1)＋1与3p ＋1可知，3(n －1)＋1与3p ＋1表示的数完全相同， ∴N ＝P,3×2m ＋1只相当于3p ＋1中当p 为偶数时的情形， ∴M
P ＝N .
综上可知M P ＝N .
能力提升
一、选择题
1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋1
2
，k
∈Z }，则( )
A ．M ＝N
B ．M N
C ．M N
D ．M 与N 的关系不确定
[答案] B
[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得
M ＝{…－34，－14，14，34，54
…}， N ＝{…0，14，1
2
，34
，1…}，
∴M
N ，故选B.
解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝
k ＋2
4
(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B.
[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整数，则k ＋m (m 是一个整数)也是任意整数，而2k ＋1,2k －1均为任意奇数，2k 为任意偶数．
2．(2015·湖北孝感期中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }和B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ，y |⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －y ＝1
x ＋4y ＝5，则下列结论中正确的是( )
A ．1∈A
B ．B ⊆A
C ．(1,1)⊆B
D ．Ø∈A
[答案] B
[解析] B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ，y |⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －y ＝1
x ＋4y ＝5＝{(1,1)}，故选B. 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
[答案] D
[解析] 由题意知，a ＝0时，B ＝Ø，满足题意；a ≠0时，由2
a
∈A ⇒a ＝1,2，所以a 的
值不可能是3.
4．集合P ＝{3,4,5}，Q ＝{6,7}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P *Q 的子集个数
为( )
A ．7
B ．12
C ．32
D ．64
[答案] D
[解析] 集合P *Q 的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故
P *Q 的子集个数为26＝64.
二、填空题
5．已知集合M ＝{x |2m ＜x ＜m ＋1}，且M ＝Ø，则实数m 的取值范围是________． [答案] m ≥1
[解析] ∵M ＝Ø，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.
6．集合⎩
⎨
⎧
x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫y ＝－x ＋2，y ＝1
2x ＋2⊆{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.
[答案] 2
[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝－x ＋2y ＝1
2
x ＋2得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0
y ＝2，
代入y ＝3x ＋b 得b ＝2. 三、解答题
7．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2
－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．
[解析] ∵B 中元素是关于x 的方程x 2
－2ax ＋b ＝0的根，且B ⊆{－1,1}，
∴关于x 的方程x 2
－2ax ＋b ＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.
∵B ＝{x |x 2
－2ax ＋b ＝0}⊆A ＝{－1,1}，且B ≠Ø， ∴B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}． 当B ＝{－1}时，
Δ＝4a 2－4b ＝0且1＋2a ＋b ＝0，
解得a ＝－1，b ＝1. 当B ＝{1}时，
Δ＝4a 2－4b ＝0且1－2a ＋b ＝0，
解得a ＝b ＝1. 当B ＝{－1,1}时，
有(－1)＋1＝2a ，(－1)×1＝b ，
解得a ＝0，b ＝－1.
8．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．
(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；
(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；
(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．
[解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø，满足B ⊆A .
当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，
只需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3.
综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}．
(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴集合A 的非空真子集个数为28
－2＝254.
(3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，
又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，
∴当B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意；
当B ≠Q ，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，
⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1>5，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，2m －1<－2，解得m >4.
综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．
第一章 1.1 1.1.3 第一课时并集和交集
基础巩固
一、选择题
1．下面四个结论：①若a ∈(A ∪B )，则a ∈A ；②若a ∈(A ∩B )，则a ∈(A ∪B )；③若a ∈A ，且a ∈B ，则a ∈(A ∩B )；④若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B .其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] C
[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.
2．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x >3}，则M ∪N ＝( )
A ．{x |x >－3}
B ．{x |－3<x ≤5}
C ．{x |3<x ≤5}
D ．{x |x ≤5}
[答案] A
[解析] 在数轴上表示集合M，N，如图所示，
则M∪N＝{x|x>－3}．
3．(2015·全国高考卷Ⅰ文科，1题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案] D
[解析] A∩B＝{8,14}，故选D.
4．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
[答案] D
[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.
5．若A∪B＝Ø，则( )
A．A＝Ø，B≠ØB．A≠Ø，B＝Ø
C．A＝Ø，B＝ØD．A≠Ø，B≠Ø
[答案] C
6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝Ø，则实数a的取值集合为( )
A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}
C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}
[答案] C
[解析] 如图．
要使A∩B＝Ø，应有a<－1.
二、填空题
7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.
[答案] 0,1或－2
[解析] 由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，
∴x ＝0,1或－2.
8．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.
[答案] 6
[解析] 用数轴表示集合A 、B 如图所示．由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.
三、解答题
9．设集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，A ∩B ＝{－3}，求实数a 的值．
[解析] ∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈B .
∵a 2＋1≠－3，∴①若a －3＝－3，则a ＝0，
此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－1,1}，
但由于A ∩B ＝{1，－3}与已知A ∩B ＝{－3}矛盾，
∴a ≠0.
②若2a －1＝－3，则a ＝－1，
此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，A ∩B ＝{－3}．
综上可知a ＝－1.
10．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．
(1)求A ∩B ；
(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}，
∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．
(2)∵C ＝{x |x ＞－a 2
}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a 2
<2，∴a ＞－4. 能力提升
一、选择题
1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M 且a ≠b }，则M ∪N ＝( )
A ．{0,1}
B ．{－1,0}
C ．{－1,0,1}
D ．{－1,1} [答案] C
[解析] 由题意可知，集合N ＝{－1,0}，所以M ∪N ＝M .
2．若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则M ∩P 等于( )
A ．(1，－1)
B ．{x ＝1或y ＝－1}
C ．{1，－1}
D ．{(1，－1)} [答案] D
[解析] M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0x －y ＝2的解
∴M ∩P ＝{(1，－1)}．
3．(2015·衡水高一检测)若集合A ，B ，C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系为( )
A ．C A
B ．A
C C ．C ⊆A
D ．A ⊆C [答案] D
[解析] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，又B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选D.
4．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( )
A ．{0,1,3,4}
B ．{1,4}
C ．{1,3}
D ．{0,3} [答案] D
[解析] 由条件及孤星集的定义知，M ′＝{3}，N ′＝{0}，则M ′∪N ′＝{0,3}．
二、填空题
5．以下四个推理：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆A ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的为________．
[答案] ②③④
[解析] ①是错误的，a ∈(A ∪B )时可推出a ∈A 或a ∈B ，不一定推出a ∈A .
6．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2－px －2q ＝0}，且A ∩B ＝{－1}，则A ∪B ＝________.
[答案] {－2，－1,4}
[解析] 因为A ∩B ＝{－1}，所以－1∈A ，－1∈B ，即－1是方程x 2＋px ＋q ＝0和x 2－px －2q ＝0的解，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12－p ＋q ＝0，－12＋p －2q ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝3，q ＝2， 所以A ＝{－1，－2}，B ＝{－1,4}，
所以A ∪B ＝{－2，－1,4}．
三、解答题
7．已知A ＝{x |2a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．
[解析] ∵B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＜－1，a ＋8≥5，解得－3≤a ＜－12. 8．设A ＝{x |x 2＋8x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0}，其中a ∈R .如果A ∩B ＝B ，
求实数a 的取值范围．
[解析] ∵A ＝{x }x 2
＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .
当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解，
即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2.
当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式 Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.
将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足．
当B ＝{0，－8}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，－2a ＋2＝－8，
a 2－4＝0，
可得a ＝2.
综上可得a ＝2或a ≤－2. [点评] (1)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时，要考虑B ＝Ø的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．
第一章 1.1 1.1.3 第二课时补集
基础巩固
一、选择题
1．(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,3,5}，集合B ＝{1,2}，则(∁I B )∩A 为( )
A ．{2}
B ．{3,5}
C ．{1,3,4,5}
D ．{3,4,5}
[答案] B
[解析] 因为全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{1,2}，则∁I B ＝{3,4,5}．所以(∁I B )∩A 为{3,5}．故选B.
[易错警示] 本小题的关键是先求出集合B的补集，再求交集．集合的运算是集合关系的基础知识，要理解清楚，可能渗透在一个大题中，不熟练会导致整体看不懂或理解错误．2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A的所有非空子集的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] B
[解析] ∵∁U A＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.
3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．(∁R P)⊆Q D．Q⊆∁R P
[答案] C
[解析] ∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(∁R P)⊆Q，故选C.
4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．(∁U M)∪(∁U M) D．(∁U M)∩(∁U N)
[答案] D
[解析] ∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}，故选D.
5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∪(∁
U B)等于( )
A．{x|－2≤x≤4}
B．{x|x≤3，或x≥4}
C．{x|－2≤x＜－1}
D．{x|－1≤x≤3}
[答案] A
[解析] 由题意可得∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∪(∁U B)＝{x|－
2≤x≤4}，故选A.
6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足( )
A．a≥2B．a＞2
C．a＜2 D．a≤2
[答案] A
[解析] ∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2，故选A.
二、填空题
7．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.
[答案] 5
8．U ＝R ，A ＝{x |－2<x ≤1或x >3}，B ＝{x |x ≥4}，则∁U A ＝________，∁A B ＝________.
[答案] {x |x ≤－2或1<x ≤3} {x |－2<x ≤1或3<x <4}
三、解答题
9．已知全集U ＝{2,3，a 2－2a －3}，A ＝{2，|a －7|}，∁U A ＝{5}，求a 的值．
[解析] 解法1：由|a －7|＝3，得a ＝4或a ＝10.
当a ＝4时，a 2－2a －3＝5，当a ＝10时，a 2－2a －3＝77∉U ，∴a ＝4.
解法2：由A ∪∁U A ＝U 知⎩⎪⎨⎪⎧ |a －7|＝3a 2－2a －3＝5，∴a ＝4.
10．(2015·唐山一中月考试题)已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．
[分析] 利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，先求出∁U A 及∁U B ，然后求解．
[解析] 如图所示，
∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，
∴∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，
∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}．
∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，
(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}，
A ∩(∁U
B )＝{x |2<x <3}．
[点评] (1)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
能力提升
一、选择题
1．如图，阴影部分用集合A 、B 、U 表示为( )
A ．(∁U A )∩B
B ．(∁U A )∪(∁U B )
C ．A ∩(∁U B )
D ．A ∪(∁U B )
[答案] C
[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在∁U B中，因此是A与∁U B的公共部分．
2．设S为全集，则下列说法中，错误的个数是( )
①若A∩B＝Ø，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；
②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝Ø；
③若A∪B＝Ø，则A＝B.
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 借助文氏图可知，①②正确，对于③于由A∪B＝Ø，∴A＝Ø，B＝Ø，∴A＝B，故选A.
3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有( )
A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁U T
C．3∈∁U S,3∈T D．3∈∁U S,3∈∁U T
[答案] B
[解析] 若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；
若3∈∁U S，3∈T，则3∈(∁U S)∩T，排除C；
若3∈∁U S,3∈∁U T，则3∈(∁U S)∩(∁U T)，排除D，
∴选B，也可画图表示．
4．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(∁U B)等于( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}
[答案] D
[解析] ∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A∩∁U B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.
二、填空题
5．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M⊆∁R P，则a的取值范围是________．
[答案] a≥2
[解析] M＝{x|－2＜x＜2}，∁R P＝{x|x＜a}．
∵M⊆∁R P，∴由数轴知a≥2.
6．已知U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x ＜3或x ＞4}，则ab ＝________.
[答案] 12
[解析] ∵A ∪(∁U A )＝R ，∴a ＝3，b ＝4，∴ab ＝12.
三、解答题
7．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2
－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．
[提示] 由2∈B,4∈A ，列方程组求解．
[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B ，∴4－2a ＋b ＝0.①
又∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，∴16＋4a ＋12b ＝0.②
联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，16＋4a ＋12b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝87，b ＝－127.
经检验，符合题意：∴a ＝87，b ＝－127
. [点评] 由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．
8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．
[分析] 本题从条件B ⊆∁R A 分析可先求出∁R A ，再结合B ⊆∁R A 列出关于a 的不等式组求a 的取值范围．
[解析] 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．
(1)若B ＝Ø，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A .
(2)若B ≠Ø，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3，
即－12
≤a <3. 综上可得a ≥－12
.
第一章 1.1 1.1.3 第三课时习题课
基础巩固
一、选择题
1．(2015·全国高考卷Ⅱ文科，1题)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∩B ＝( )
A ．{x |－1<x <3}
B ．{x |－1<x <0}
C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}
[答案] A
[解析] A∪B＝{x|－1<x<3}，故选A.
2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)等于( )
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
[答案] B
[解析] 画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}，故选B.
3．图中阴影部分所表示的集合是( )
A．B∩(∁U(A∪C))
B．(A∪B)∪(B∪C)
C．(A∪C)∩(∁U B)
D．[∁U(A∩C)]∪B
[答案] A
[解析] 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))，故选A.
4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁U A)∩(∁
U B)等于( )
A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}
[答案] A
[解析] 方法1：∁U A＝{x|x＜－2或x＞3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}
∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}，故选C.
方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A.
5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)⊆(A∩B)，则实数a＝
( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] ∵(A ∪B )⊆(A ∩B )，∴(A ∪B )＝(A ∩B )， ∴A ＝B ，∴a ＝1.
6．设U 为全集，对集合X ，Y 定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )，对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )
A ．(X ∪Y )∩∁U Z
B ．(X ∩Y )∪∁U Z
C ．(∁U X ∪∁U Y )∩Z
D ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z [答案] B
[解析] X *Y ＝∁U (X ∩Y )
(X *Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝∁U (∁U (X ∩Y ))∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z ，故选B. 二、填空题
7．(河北孟村回民中学2014～2015学年高一九月份月考试题)U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2
＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝________.
[答案] 0
[解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程
x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4，
∴p ＋q ＝0.
8．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为________．
[答案] (4,7)
[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈(A ∩B )， 由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝2x －1y ＝x ＋3
，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4y ＝7
，∴A ∩B ＝{(4,7)}．
三、解答题
9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求： (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )
[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁R A ，∁R B ，最后可逐一写出各小题的结果．
[解析] 如图所示，可得
A ∩
B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}．
∁R A ＝{x |x <2或x ≥5}， ∁R B ＝{x |x <3或x ≥7}． 由此求得
(1)(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x <2或x ≥7}． (2)∁R (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥7}．
(3)(∁R A )∪(∁R B )＝{x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}＝{x |x <3或x ≥5}． (4)∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥5}．
[点评] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现． 10．已知U ＝R ，A ＝{x |x 2
＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2
－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁
U
B )∩A ＝{4}，求A ∪B .
[分析] 先确定p 和q 的值，再明确A 与B 中的元素，最后求得A ∪B . [解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
42
＋4p ＋12＝0，22
－5×2＋q ＝0.
解得p ＝－7，q ＝6，
∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{2,3,4}．
能力提升
一、选择题
1．设A 、B 、C 为三个集合，(A ∪B )＝(B ∩C )，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A ≠C D ．A ＝Ø
[答案] A
[解析] ∵A ∪B ＝(B ∩C )⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )＝B ∩C ，且(B ∩C )⊆B ， ∴(B ∩C )＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .
2．设P ＝{3,4}，Q ＝{5,6,7}，集合S ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则S 中元素的个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
[答案] D
[解析] S ＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D. 3．(2015·陕西模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}．4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁
U A)≠Ø，则( )
A．k＜0 B．k＜2
C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2
[答案] C
[解析] ∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，
∴∁U A＝{x|1＜x＜3}．
∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，
∴当B∩(∁U A)＝Ø时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，
∴k≤0，
∴当B∩(∁U A)≠Ø时，0＜k＜2，故选C.
二、填空题
5．(2014·福建，理)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，
b，c，d)的个数是________．
[答案] 6
[解析] 根据题意可分四种情况：
(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；
(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；
(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；
(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，
(3,1,4,2)．
所以共有6个．故答案为6.
6．设数集M＝{x|m≤x≤m＋3
4
}，N＝{x|n－
1
3
≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的
子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．
[答案]
1 12
[解析] 如图，设AB 是一长度为1的线段，a 是长度为34的线段，b 是长度为1
3
的线段，
a ，
b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N 的“长度”，显然，当a ，b
各自靠近线段AB 两端时，重叠部分最短，其值为34＋13－1＝1
12
.
三、解答题
7．已知集合A ＝{x |x 2
－ax ＋a 2
－19＝0}，B ＝{x |x 2
－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2
＋2x －8＝0}，试探求a 取何实数时，(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立．
[解析] B ＝{x |x 2
－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2
＋2x －8＝0}＝{2，－4}，由A ∩B
Ø
与A ∩C ＝Ø同时成立可知，3是方程x 2
－ax ＋a 2
－19＝0的解，将3代入方程得a 2
－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.
当a ＝5时，A ＝{x |x 2
－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}，与此题设A ∩C ＝Ø矛盾，故不适合．当a ＝－2时，A ＝{x |x 2
＋2x －15＝0}＝{3，－5}，此时(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立，则满足条件的实数a ＝－2.
8．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，求它们的差集；
(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？说明理由；
(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x |－6<x <6}，求A －(A －B )和B －(B －A )． [解析] (1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}， 则A －B ＝{1}． (2)不一定相等，
由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}， 故A －B ≠B －A .
又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，
A －
B ＝Ø，B －A ＝Ø，此时A －B ＝B －A ，
故A －B 与B －A 不一定相等． (3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，
B －A ＝{x |－6<x ≤4}， A －(A －B )＝{x |4<x <6}， B －(B －A )＝{x |4<x <6}．
第一章 1.2 1.2.1函数的概念
基础巩固
一、选择题
1．下列四种说法中，不正确的是( )
A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B ．函数的定义域和值域一定是无限集合
C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B
2．f (x )＝1＋x ＋x
1－x 的定义域是( )
A ．[－1，＋∞)
B ．(－∞，－1]
C ．R
D ．[－1,1)∪(1，＋∞)
[答案] D
[解析] ⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋x ≥0
1－x ≠0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥－1，
x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.
3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )
[答案] A
[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从
A 到
B 的函数是( )
A ．f x →y ＝1
2x
B ．f x →y ＝1
3x
C ．f x →y ＝2
3x
D ．f x →y ＝x
[答案] C
[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝8
3＞2不合题意．故选C.
5．下列各组函数相同的是( )
A ．f (x )＝x 2－1
x －1
与g (x )＝x ＋1
B ．f (x )＝－2x 3
与g (x )＝x ·－2x C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2
＋x
x
D ．f (x )＝|x 2
－1|与g (t )＝t 2－1
2
[答案] D
[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；
对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；
对于D.f (x )＝|x 2
－1|，g (t )＝|t 2
－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.
6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上
[答案] C
[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝1
1＋x
，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56
[解析] f (t )＝
1t ＋1＝6.∴t ＝－56
8．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.
[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题
9．求下列函数的定义域，并用区间表示：
(1)y ＝
x ＋1
2
x ＋1
－1－x ；
(2)y ＝5－x
|x |－3
.
[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1≠0
1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠
－1，
即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．
(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
5－x ≥0
|x |－3≠0，
解得x ≤5，且x ≠±3，
即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：
(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；
(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2
. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (2
3
)的值；
(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．
[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1
x ＋2
有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，
所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋
1
－3＋2
＝－1； f (23
)＝
23＋3＋12
3
＋2＝113＋38＝38＋333
. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．
f (a )＝a ＋3＋1
a ＋2
；
f (a －1)＝a －1＋3＋
1a －1＋2＝a ＋2＋1
a ＋1
.
能力提升
一、选择题
1．给出下列从A 到B 的对应：
①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2
③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1
x
其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
[答案] B
[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x [答案] C
[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )
[答案] B
[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·盘锦高一检测)函数f (x )＝
1
1－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为
N ，则M ∩N ＝( )
A ．[－1，＋∞)
B ．[－1，1
2)
C ．(－1，1
2)
D ．(－∞，1
2
)
[答案] B 二、填空题
5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围是________． [答案] (1,2)
[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨
⎪⎧
2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a
⇒1＜a ＜2.
6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．
[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知
f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；
只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题
7．求下列函数的定义域： (1)y ＝
3
1－1－x
；
(2)y ＝x ＋10
|x |－x
；
(3)y ＝2x ＋3－
12－x ＋1x
.
[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨
⎧
1－x ≥0，
1－1－x ≠0
⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≤1，x ≠0
⇔x ≤1且x ≠0，所以
函数y ＝3
1－1－x
的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
(2)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≠－1，
|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，
∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3≥0，2－x ＞0，
x ≠0.
解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－3
2，0)∪(0,2)．
[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．
8．已知函数f (x )＝1＋x 2
1－x 2，
(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．
(3)求证：f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 2
1－x 2有意义，只需1－x 2
≠0，解得x ≠±1，
所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x
2
1－x
2，且f (a )＝2，
所以f (a )＝1＋a 2
1－a 2＝2，即a 2
＝13，解得a ＝±
33
. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2
1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1x 2
＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2
＋1x 2
－1， ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝－f (x )．
第一章 1.2 1.2.2 第一课时函数的表示方法
基础巩固
一、选择题
1．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1x
B ．y ＝－1
x
C ．y ＝2x
D ．y ＝－2
x
[答案] C
[解析] 设y ＝k x ，由1＝k 2得，k ＝2，因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2
x
.
2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2x
B ．y ＝20－2x (0＜x ＜10)
C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)
D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)
[答案] D
[解析] 由题意得y ＋2x ＝20，∴y ＝20－2x .
又∵2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，即x ＞5.由y ＞0，即20－2x ＞0得x ＜10，∴5＜x ＜10.故选D.
3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋7
[答案] B
[解析] ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，∴令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.
∴g (x )＝2x －1.
4．(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：
A ．成绩y 不是考试次数x 的函数
B ．成绩y 是考试次数x 的函数
C ．考试次数x 是成绩y 的函数
D ．成绩y 不一定是考试次数x 的函数 [答案] B
5．如果二次函数的二次项系数为1，图象开口向上，且关于直线x ＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )
A ．f (x )＝x 2
－1 B ．f (x )＝－(x －1)2
＋1 C ．f (x )＝(x －1)2
＋1 D ．f (x )＝(x －1)2
－1
[答案] D
6．(2015·武安中学周测题)若f (x )满足关系式f (x )＋2f (1
x
)＝3x ，则f (2)的值为( )。