纸质作业 NO.1 电场强度 高斯定理(参考答案)

No.1 电场强度 高斯定理

◆ 本章学习目标

1. 理解描述真空中点电荷间相互作用的库仑定律及其物理意义和适用条件。

2. 理解力的叠加原理并能熟练应用。

3. 理解电场强度的定义及其物理意义，能熟练应用场的叠加原理计算各种电荷分布产生的电场分布。

4. 理解描述静电场的有源性的高斯定理，掌握应用高斯定理计算电场强度的方法

◆ 填空题

1.描述真空中电荷间相互作用力的库仑定律的数学表达式是 r

ˆ412

2

10r q q F πε=

ρ ；该定律的适用条件为 点电荷 。

2.电场强度的定义为 0

00lim q F

E q ρ

ρ→= ；该定义式的分子表示 场源电荷给试验电荷q 0的作

用力 ；分母表示 试验电荷q 0的电荷量 。 3.点电荷q 在空间的电场强度的数学表达式为 r ˆ41

2

0r

q

E πε=

ρ

, 该电场在空间的分布具有 球 对称性; 连续电荷分布体中，任意一个微元电荷d q 在空间的电场强度的数学表达式为 r ˆd 41d 2

0r

q

E πε=

ρ

。 4.在计算电荷连续分布带电体产生的电场时，首先应将微元电荷d q 产生的电场E ρ

d 分解为

k ˆd j ˆd i ˆd d z y x E E E E ++=ρ

；再进行下列运算： x

x E E ⎰=d ； y y E E ⎰=d ； z z E E ⎰=d 。 5.电场强度的通量的定义或计算式是 A E ΦΦA

e A

e ρ

ρd d ⋅==

⎰

⎰

。

6. 高斯定理的数学表达式是 0

d ε∑⎰=

⋅=内

i A

e q

A E Φρ

ρ ；该定理表明静电场是 有源场 。

◆ 综合练习题

1. 如图所示，真空中有一半径为R 的均匀带电球面，总带电量为Q (Q>0)。今在球面上挖去非常小的一块的面积△A (连同电荷) ，且假设挖去后不影响原来的电荷分布。若球心处有一正点电荷q 0，则挖去△S 后球心处点电荷q 0所受电场力的大小和方向。

A

解：由场强叠加原理，挖去A ∆后的电场可以看作由均匀带电球面和带负电的A ∆（面密度与球面相同）叠加而成，在球心处，均匀带电球面产生的场强为零，A ∆（视为点电荷）产生的场强大小为：

4

02

2016Δ4ΔR A Q R A E εππεσ==， 则q 0所受电场力的大小：4

02

016ΔR A Q q F επ=，方向由球心处q 0指向ΔA 。

2. 一个均匀带电的塑料细杆被弯成半径为 R 的120°圆环，如图所示。若塑料细杆电荷线密度为λ，求环心O 处的电场强度。

解：将圆环分解为许多电荷线元d q ，θλd d R q = 在O 点处产生的场强：2

04d d R q

E πε=

，方向如图

由电荷分布的对称性可知，0d ==⎰

y y E E 所以：

R

R R

R R q E E E E x x 065606

6

5202043|)(cos 4sin 4d sin 4d sin d d πελθπελθπεθλθπεθ

πππ

π=

===⋅===⎰⎰⎰⎰总

方向沿x 轴负向。

3. 如图所示为一无限长中空带正电的圆柱体的横截面，内、外半径分别为a 、b ，电荷体密度为ρ。求空间各区域的电场强度分布：（1）a r <<0中空区域；（2）b r a <<带电区域；（3）b r >外部区域。

解：首先分析该带电体的电场分布对称性：由电荷分布对称性可知，该带电体

产生的电场方向一定垂直于圆柱轴线方向，沿径向向外。

（1）在a r <<0的中空区域取半径为r ，高度为l 的同轴圆柱面为高斯面，由

于高斯面内包围电荷为0，对该圆柱面应用高斯定理0/d ε∑⎰=⋅内q A E A ρ

ρ，可得

02=rl E π，所以，0=E 。

（2）在b r a <<带电区域，取半径为r ，高度l 的同轴圆柱面为高斯面，根据

高斯定理：0/d ε∑⎰=⋅内q A E A

ρ

ρ

b r a <<时，高斯面内包围的电荷()l a r q 2

2-=ρπ内，所以

()02

20/1

2ερπεπl a r q rl E -==内，()r

a r E 0222ερ-=⇒，E ρ沿径向。 a b

O

ρ x

y

O R

60o 60o

（3）同理，在b r >区域，取半径为r ，高度l 的同轴圆柱面为高斯面，该高斯面内包围的电荷为

()

l a b q 2

2-=ρπ内

所以有 ()02

20/1

2ερπεπl a b q rl E -==内，()

r

a b E 02

232ερ-=⇒，E ρ沿径向。

4. （1）求半径为R 、均匀带电q -的细圆环轴线上任意一点的电场强度。（2）将一电量为q 0的点电荷，置于圆环轴线上距离环心为z 处，求q 0所受电场力；（3）若q 0非常靠近环心处，求其所受电场力，并分析q 0将会如何运动，为什么？ 解：（1）参考教材例12-6的结果，对于带负电的圆环, 轴线上距离环心为z 处，电场强度为

2

3220)(4ˆR z k

qz E +-

=περ

（2）q 0所受电场力为

2

322000)

(4ˆR z k

qz q E q F +-

==περ

ρ （3）若q 0非常靠近环心处，则有z <

3

004ˆR

k

qz q F πε-≈ρ 显然，圆环对q 0的作用力与q 0相对于环心的距离z 成正比，方向始终指向环心，因此，q 0将在环心附近沿轴向作简谐振动。