2017年北京市东城区初三数学一模试题及答案

2016-2017学年北京市东城区初三年级一模试卷
2017.5
数 学 试 卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1.数据显示，2016年我国就业增长超出预期，全年城镇新增就业1314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高，将数据1314用科学计数法表示应为 A.1.314×103
B.1.314×104
C.13.14×102
D.0.1314×104
2.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 A.a b
＜
B.a b -＞
C.b a ＞
D.2a -＞
3.在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是 A.
12
B.
13
C.
14
D.16
4.某健步走运动的爱好者用手机软件记录了某几个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图.在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 A.1.2，1.3 B.1.3，1.3 C.1.4，1.35
D.1.4，1.3
5.如图，AB ∥CD,直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将一个含有45°角的直角三角形按如图所示的方式摆放，若∠EMB =75°，则∠PNM 等于 A.15° B.25° C.30° D.45°
6.下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同
A.
B.
C.
D.
7.我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化.如图2，窗框的一部分所展现的图形是一个轴对称图形，其对称轴有
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
8.如图，点A ，B 的坐标分别为（2,0），（0,1），若将线段AB 平移至A 1B 1，则a +b 的值为 A.2 B.3 C.4 D.5
9.某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了．．．5.5万元，这批电话手表至少有 A.103块
B.104块
C.105块
D.106块
10.图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边△ADE 和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交于点O ，在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机，游戏参与者行进的时间为x ，与主摄像机的距离为y ，若游戏参与者匀速前进，且表示y 与x 的函数关系大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是
图1
图2
A.A →O →D
B.E →A →C
C.A →E →D
D.E →A →B
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11.分解因式：= .
12.请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向上；②与轴的交点坐标为（0，1），此二次函数的解析式可以是 .
13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 .
14.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 .
15.北京市2012—2016年常住人口增量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为 万人，你的预估理由是 .
ab 2-2ab +a y x x 2+2k -1()x +k 2
-1=0k
16.下面是“以已知线段直径作圆”的尺规作图过程
请回答：该作图的依据是
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17.计算：(
)
1
1122sin 6022-⎛⎫
-︒+-π- ⎪⎝⎭
18.解不等式,并写出他的所有正整数解.
19.先化简，再求值：224
12+2x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪+⎝⎭,其中22410x x +-=.
x +12>2x +2
3
-1已知：线段AB
求作：以AB 为直径的O e 作法：如图，
（1） 分别以A ，B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 C ，
D ； （2）作直线CD 交AB 于点O
（3）以O 为圆心，OA 长为半径作圆，则O e 即为所求作的.
1
2
20.如图，在△ABC 中,55B ∠=︒,30C ∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，大于
1
2
AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，求BAD ∠的度数.
21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b =+（0k ≠）与双曲线6
y x
=相交于点A （m ，3），B （-6，n ），与x 轴交于点C .
（1）求直线y kx b =+（0k ≠）的解析式； （2）若点P 在x 轴上，且S △ACP =
3
2
S △BOC ，求点P 的坐标.（直接写出结果）
22.列方程或方程组解应用题：
在某常CBA 比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：
注：（1（2）总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分.
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个.
23.如图，四边形ABCD 为平行四边形，BAD ∠的角平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F . （1）求证：BF =CD ；
（2）连接BE ，若BE AF ⊥,60BFA ∠=︒,BE =求平行四边形ABCD 的周长.
24，阅读下列材料:
“共享单车”是指企业与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区，公共服务区等
B
提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态．共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择，自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行．
Quest Mobile 检测的M 型与O 型单车从2016年10月—2017年1月的月度用户使用户情况如下表所示：
（1）仔细阅读上表，将O 型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据 （2）根据图表所提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论．
25.如图，四边形ABCD 内接于O e ，对角线AC 为O e 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ,点F 为CE 的中点，连接DB ,DF ． (1)求证：DF 是O e 的切线;
(2)若DB 平分∠ADC ，AB =a ,AD :DE =4:1,写出求DE 长的思路．
26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质.
定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）.
图1
E
B
(1)根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是
；（填写序号）
○1
○2
○
3 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）
特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.
小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整；
(2)通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；
(3)如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB =AD =6,BC =DC =4,∠BCD =120°，求燕尾四边形ABCD 的面积.(直接写出结果)
图2
27.二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>. （1）求该二次函数的对称轴方程； （2）过动点C （0，n ）作直线l y ⊥轴.
①当直线l 与抛物线只有一个公共点时，求n 与m 的函数关系式；
②若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像. 当n =7时，直线l 与新的图像恰好有三个公共点，求此时m 的值； （3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围.
B
D B
D C
B
D
B
D
C
28.在等腰△ABC 中，
（1）如图1，若△ABC 为等边三角形，D 为线段BC 的中点，线段AD 关于直线AB 的对称线段为线段AE ，连接DE ，则∠BDE 的度数为_______；
（2）若△ABC 为等边三角形，点D 为线段BC 上一动点（不与B 、C 重合），连接AD 并将线段AD 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE ，连接BE . ①根据题意在图2中补全图形；
②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D 的运动过程中，恒有CD =BE .经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：
思路1：要证明CD BE =，只需要连接AE ，证明△ADC ≌△AEB ； 思路2：要证明CD BE =，只需要过点D 作DF AB ∥，交AC 于点F 证明△ADF ≌△DEB ；
思路3：要证明CD BE =，只需要延长CB 至点G ，使得BG CD =， 证明△ADC ≌△DEG ； ……
请参考以上思路，帮助小玉证明CD =BE .（只需要用一种方法证明即可） （3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB AC kBC ==，AD kDE =，且
∠ADE =∠C ，此时小明发现BE ，BD ，AC 三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是______.（直接给出结论无需证明）
29．设平面内一点到等边三角形中心的距离为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r ≤d ≤R 的点叫做等边三角形的中心关联点。

在平面直角坐标系xOy 中， 等边△ABC
.
(1)已知点，在D ，E ，F 中，是等边△ABC 的中心关联点的是
；
（2）如图1
①过点A 作直线交x 轴正半轴于点M ，使∠AMO =30°。

若线段AM 上存在等边△ABC 的中心关联点P （m ，n ）,求m 的取值范围；
图1
图2
图3
②将直线AM 向下平移得到直线y =kx +b ，当b 满足什么条件时,直线y =kx +b 上总存在．．．等边△ABC 的中心关联点；（直接写出答案，无须过程）
（3）如图2，点Q 为直线y =-1上一动点，圆Q 的半径为
.当点Q 从点（-4，-1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒,是否存在某一时刻，使得圆Q 上所有点都是等边△ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t 的值；如果不存在，请说明理由.
图1 图2
2016-2017学年北京市东城区初三年级一模试卷
数 学 参 考 答 案
11. a (b −1)2； 12. y =x 2+1（答案不唯一，只要a >0，c =1即可）； 13. k <1； 14. 6； 15. 0～2.4；北京每年人口平均增长的人数呈减小的趋势； 16. 到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上；
两点确定一条直线；
同圆半径相等，且圆心到圆周上点的距离相等 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．解：原式=2√3−2×
√3
2
+1−2
=2√3−√3−1 =√3−1
18．解：
x+12
>
2x+23
−1
1
2
3x+3>4x+4−6
x<5
∴正整数解为x=4，3，2，1
19．解：原式=x−2
x ÷x−2
x+2
−x+4
x+2
=x+2
x −x+4
x+2
=x2+4x+4−x2−4x
x(x+2)
=4
x2+2x
∵2x2+4x−1=0
∴x2+2x=1
2
∴原式=8
20．解：根据作图信息
MN为AC垂直平分线
∴DA=DC
∴∠DAC=∠C=30°
∴ ∠ADB=60°又∵∠B=55°
∴ ∠BAD=65°21.解：（1）因为双曲线y＝6x过A（m，3）B（－6，n）
所以m＝2，n＝-1
A（2，3）B（－6，-1）
又因为y＝6
x
与y＝kx＋b相交于A,B
{
2k+b＝3
−6k＋b＝－1
，解得：{
k＝
1
2
b＝2
y＝
1
2
k＋2
（2）y＝1
2
k＋2与x轴交于C 当y=0, x=-4
所以C（－4，0）
所以SΔBOC=2
所以SΔACP=3
2
SΔBOC=3
1
2
|CP|×3=3,|CP|=2
P 1(−2,0)、P 2(−6,0)
22.解： 该运动员投中两分球x 个，投中三分球y 个
所以 {
x +y ＝112x ＋3y +6=33
解得{
x ＝6y ＝5
答：该运动员投中两分球6个，三分球5个
23. （1）证明：
∵ABCD 为平行四边形 ∴AF 为∠BAD 角平分线 ∴AD ∥BC
∴∠F=∠DAF=∠BAF
∴AB=BF ∴CD=BF
（2）∵BE ⊥AF ，∠BFA=60° ∴∠BAF=∠FAD=60° ∴△ABF 为等边三角形 ∵
BE=∴AB=4 ∵∠ABC=60° ∴∠D=∠DCF=60° ∴△ECF 为等边三角形 ∴EF=2=EC=CF ∴BC=2 ∴C 四边形ABCD =12
24. 解：
（1）如图：
（2）M 型单车的独占率在逐年减小（答案不唯一）
B
25.证明（1）OD 连接
909090909090AC ADC=CDE ADC=OA OD OC OD OC OA ODC OCD
Rt CDE F EC DF EF CF FDC FCD AC CE ACE OCD DCF ODC CDF ODC ∴∠︒
∴∠=∠︒∴==∴∠=∠∆∴==∴∠=∠⊥∴∠=︒
∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=︒
Q Q Q 为直径，，均为半径在中，为中点
DF ∴为⊙O D 的切线 （2）
,904545(1)BD ADC ADC=ADB=ACB ABC AB a
BC a AC FCD CAD ADC EDC ADC CDE
∠∠︒∴∠︒∴∠=︒
∴=∴==∠=∠∠=∠∴Q V Q V :V 平分为等腰直角三角形，由知，，
222
222:4:144216410AD CD
CD DE CD AD DE AD DE AD x DE x CD x Rt ADC a x x x a DE ∴
=∴==∴==+∴=
∴=g Q V 设为，为在中，
26. 解：（1）②
（2）猜想1：∠B =∠D
猜想2：∠B +∠D +∠A =∠BCD （合理即可） 猜想1证明：
A
E
()AC
ABC ADC AC AC BC DC AB AD ABC ADC SSS B D
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴≅∴∠=∠V V V V 连接在和中
（3）
2
,90223612(2)22AC B BE AC AC E BCE=60E BE CE AC x AE x x x x ⊥∠︒∠=︒∴====+∴=++∴=-=-Q 连接，过点作交延长线于点设，则，(舍去)
∴ S △ABC = S △ABE - S △CBE
11
222=-⨯
=
2ABCD ABC S S ∴==V
27. 解：（1）()22122(2)
m b
x a m -+=-
=-=+ （2）①抛物线顶点坐标D （1，23m -+ ） 当直线l 与抛物线只有一个公共点时 直线l 经过点D （1，23m -+） ∴23n m =-+
②如图，抛物线翻折后顶点为1D 若直线l 与新图像恰好有三个公共点 则l 经过1D ，1D （1，23m - ） ∴72=m-3 ，解得5m =
（3）当1x = 时，函数值取得最小值，即23m -+ 则231m -+≥，解得1m ≤ ，∵20m +> ，∴21m -<≤
28. （1）30°
（2）①如图：
②思路1：
证明：连接AE ，∵DE 是由AD 绕D 逆时针旋转60°所得 ∴DE AD =，60ADE ∠=° ∴ADE ∆ 为等边三角形. ∴AD AE = ，60EAD ∠=° ∵60BAC ∠=︒ ∴EAB DAC ∠=∠ ∵ABC ∆为等边三角形 ∴AB AC = 在ADC AEB ∆∆和中
AD AE DAC EAB AC AB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ADC AEB SAS ∆≅∆ ∴CD BE = 思路2：
证明：D DF AB AC F 过点作∥，交于点 ∴四边形DFAB 为梯形 ∵ABC ∆为等边三角形 ∴60ABC BAC ∠=∠=° ∴梯形DFAB 为等腰梯形 ∴BD AF = ∵60BAC ∠=︒ ∴60BAD CAD ∠+∠=° ∵60ABC ∠=°
120BAD BDA ∠+∠=°
606060DE AD D DE AD ADE BAD BDE BDE CAD FAD
︒∴=∠=︒
∴∠+∠=︒∴∠=∠=∠Q 是由绕逆时针旋转所得，
()ADF DEB AF DB FAD BDE AD DE ADF DEB SAS =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
≅V V V V 在和中
60DF EB DF AB
FDC DFC C DFC DF CD EB CD ∴=∴∠=∠=∠=︒∴∴=∴=Q P V 为等边三角形
思路3
,CB G BG CD EG =证明：延长至使，连接 6060120606060()60ABC ABC BAC C BC AC BAD DAC BAD BDA DE AD D AD DE ADE BAD BDE BDE DAC BG CD
GD BC AC ADC DEG CA GD CAD GDE AD DE ADC DEG SAS GE CD G C ∴∠=∠=∠=︒=∴∠+∠=︒∠+∠=︒
︒∴=∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=∠=∴===⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
≅∴=∠=∠=︒Q V Q Q V V V V 为等边三角形
，是由绕逆时针旋转所得，在和中且GBE BE GE GB CD ∴∴===V 为等边三角形
（3）()k BD BE AC += 思路：ADE ACB ∆∆:
AC AD
k BC DE
==
ADE C ∠=∠
AE AD
EAD BAC
=∠=∠
∴EAB DAC ∠=∠
ABE ADC ∆≅∆ ∴BE CD = ∴BE BD BC += ∴()k BD BE AC +=
29. 解：（1）根据题意得等边△ABC 的边长为2，中心在原点处，若满足是该等边△ABC 的关联点，
则1≤d ≤2 ，而OD =2√2，OE =2,OF =√5
2
∴在点D 、E 、F 中等边△ABC 的中心关联点是E 、F
（2）①若线段AM 上存在等边△ABC 的中心关联点，则1≤PO ≤2 如图1所示，∵OA=OP=2,∠OAM=60º,∴△OAP 为等边三角形 ∴∠AOP=60º,∴∠POQ=30º,∴OQ =√3 ∴0≤m ≤√3
图1 图2
②∴根据题意，若满足为该等边△ABC 的中心关联点，则1≤d ≤2 而直线AM 向下平移过程中，都存在穿过△ABC ， 这样的点，临界情况即为O 到y =kx +b 的距离d=2, 如图2，ON =
4√3
3
,∴−
4√33
≤b ≤2
（3）如图，⊙Q 上所有点都是中心关联点
∴⊙Q 位于图中与两圆均相切的位置Q 1和Q 2 设直线y=-1与y 轴相交于点E,连接OQ 1和OQ 2 OQ 1=2−1
2=3
2,OE=1
Rt∆OEQ 1中，勾股定理得EQ 1=√(32)2
−12=√52
同理OQ 2=√5
2, ∴Q 运动 （4−√5
2）s 或 （4+√5
2）s
即t =4+√5
2 或 t =4−√5
2。