2007年高考新课标全国卷-文科数学(含答案)

2007年高考新课标全国卷-文科数学(含答案)
２
2007年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A
B =
（ ）
Ａ．{}|2x x >- Ｂ．{}1x x >-| Ｃ．{}|21x x -<<- Ｄ．{}|12x x -<< 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x > Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >
3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤
⎢⎥⎣，的简图是（ ）
y x 1 1- 2π- 3π-
O 6π π y
x 1 1- 2π 3π- O 6π π y x 1 1- 2π- 3π O 6π- π y x π 2
π 6
π- 1 O 1- 3π ＡＢＣＤ
开
1k =0
S = 50?
k ≤
是 2S S k
=+
1
k k =+
否 输结
３
4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量13
22
-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)，
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 6．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线2
23
y x
x =-+的顶点是
()
b c ，，则ad 等于（ ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 7．已知抛物线2
2(0)
y
px p =>的焦点为F ，点1
1
1
2
2
2
()()P x y P x y ，，，，
333()
P x y ，在抛物线上，且2
13
2x
x x =+，则有（ ）
Ａ．1
2
3
FP FP FP += Ｂ．222
1
23
FP
FP FP += Ｃ．2
13
2FP
FP FP =+ Ｄ．22
13
FP
FP FP =·
8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）
Ａ．3
4000cm 3 Ｂ．3
8000
cm 3
Ｃ．3
2000cm Ｄ．3
4000cm 9．若
cos 22
π2sin 4αα=-⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，则cos sin αα+的
值为（ ） Ａ．7 Ｂ．12
- Ｃ．1
222
正视
2侧视
1
12
俯视
４
５
近线的距离为6，则该双曲线的离心率为
． 14．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ． 15．i 是虚数单位，2
38i 2i 3i 8i ++++=
．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 16．已知{}n
a 是等差数列，4
66
a
a +=，其前5项和5
10
S
=，则
其公差d = ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．
18．（本小题满分12分）
如图，A B C D ，，，为空间四点．在ABC △中，22AB AC BC ===，等
边三角形ADB 以AB 为轴运动． （Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；
D B
A
C
６
（Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．
19．（本小题满分12分） 设函数2
()ln(23)f x x x =++
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）求()f x 在区间3144
⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
，的最大值和最小值．
20．（本小题满分12分）
设有关于x的一元二次方程22
x ax b
++=．
20
（Ⅰ）若a是从0123
，，，四个数中任取的一个数，b是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a是从区间[03]，任取的一个数，b是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆2212320
+-+=的圆心为Q，
x y x
过点(02)
P，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A B，．（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量OA OB
+与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
７
８
22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
1
O 和
2
O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．
（Ⅰ）把
1
O 和
2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过
1
O ，2
O 交点的直线的直角坐标方程．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）
1．Ａ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ
９
P
D B
A A
O
S
C
B
7．Ｃ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｄ 12．Ｂ 13．3 14．1 15．44i - 16．12
1．【解析】由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，,可得A B ={}|2x x >-.答案：A 2．【解析】p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x >答案：C
3．【解析】π3()sin 23
f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝
⎭
排除Ｂ、Ｄ，π()sin 20,663
f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝
⎭
排除Ｃ。

也可由五点法作图验证。

答案：A
4．【解析】13
22
-=a b (12).-，
答案：D 5．【解析】由程序知，150
21222502502550.2
S +=⨯+⨯++⨯=⨯
⨯=答案：
C
6．【解析】曲线2
23
y x
x =-+的顶点是(12)，，则：1, 2.b c ==由a b c d
，，，成等比数列知，12 2.ad bc ==⨯=答案：B 7．【解析】由抛物线定义，213
2()()(),222
p p p
x
x x +=+++即：
213
2FP FP FP =+．答案：C
8．【解析】如图，18000
202020.33
V =⨯⨯⨯=答案： B
１０
（8题图）
（11题图） 9
．
【
解
析
】22cos 22
2(sin cos )π22sin (sin cos )42
αααααα==-+=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭1cos sin .2αα⇒+=答案C
10．【解析】：(),x
x
y e e ''⇒==曲线在点2
(2)e ，处的切线斜率为2
e ，因此切线方程为
22(2),
y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2
(1,0),(0,),
A B e -所以：22
11.22
AOB
e S
e ∆=⨯⨯=答案：D
11．【解析】如图，2,90,2,AB r ACB BC r ⇒=∠==
3
111122,3323ABC
V SO S r r r r ∆∴=⨯⨯=⋅⋅=三棱锥
3
334
41
,::4.3
33
V r V V
r r πππ=∴==球
球
三棱锥
答案：D 12．【解析】(78910)5
8.5,
20
x +++⨯=
=甲
22222
1
5[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)] 1.25,
20
s ⨯-+-+-+-==
C B
F
A
O
y
x
(710)6(89)4
8.5,
20
x +⨯++⨯=
=乙
222222
6[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)] 1.45,
20
s ⨯-+-+⨯-+-==
(710)4(89)6
8.5,
20
x +⨯++⨯=
=丙
222223
4[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)] 1.05,
20
s ⨯-+-+⨯-+-==
22213213.
s s s s s s >>>>2由得 答案：B
13．【解析】如图，过双曲线的顶点A 、焦点F
分别向其渐近线作垂线，
垂足分别为B 、C ，则：||||6
3.||||2
OF FC c OA AB a =⇒== 答案：3 14．【解析】(1)(1)2(1)0, 1.
f f a a =-⇒+=∴=-答案：-1
15．【解析】2
38i 2i
3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.
++++=
答案：44i - 16．【解析】
46563,
a a a +=⇒=151513
5510 1.22
a a a S a ++=
⨯=⨯=⇒=
511
.512
a a d -∴=
=-答案：12
17．解：在
BCD
△中，
πCBD αβ
∠=--．由正弦定理得
sin sin BC CD
BDC CBD
=
∠∠．
所以
sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD β
αβ∠=
=
∠+·．
在
ABC
Rt △中，
tan sin tan sin()
s AB BC ACB θβαβ=∠=
+·．
18．解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结
DE CE
，，因为ADB 是等边三角形，所以DE AB
⊥．当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为
平面ADB 平面ABC AB =，所以DE ⊥平面
ABC
，可知DE CE ⊥
由已知可得31
DE EC ==，，在DEC Rt △中，222
CD DE EC +=．
（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．
证明：
（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．
（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知AB DE ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥．
又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥．
综上所述，总有AB CD ⊥． 19．解：
()
f x 的定义域为
32⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，∞．（Ⅰ）
224622(21)(1)
()2232323
x x x x f x x x x x ++++'=+==
+++．
当312x -<<-时，()0f x '>；当112
x -<<-时，()0f x '<；当1
2x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
，，12
⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭
，∞单调增加，在区间112⎛
⎫-- ⎪
⎝
⎭，单调减少．
E
D
B
C
A
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，的最小值为11ln 224
f ⎛⎫-=+ ⎪⎝
⎭
． 又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226
f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
⎝
⎭
0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，的最大值为11
7ln 4162
f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
． 20．解：设事件A 为“方程2
220
a ax
b ++=有实根”．
当0a >，0b >时，方程2
220
x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥． （
Ⅰ
）
基
本事
件
共
12
个
：
(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a
的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本
事件，事件A 发生的概率为93
()124
P A ==． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为
{}()|0302a b a b ，，
≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为
2
1
32222323
⨯-⨯==
⨯．
21．解：（Ⅰ）圆的方程可写成2
2(6)
4
x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，
过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得
22(2)12320
x kx x ++-+=，整理得2
2(1)4(3)360
k
x k x ++-+=．①
直线与圆交于两个不同的点
A B
，等价于
2222[4(3)]436(1)4(86)0
k k k k ∆=--⨯+=-->，
解得3
04
k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，．
（Ⅱ）设1
1
2
2
()()A x y B x y ，，，，则1212
()OA OB x x y y +=++，，由方程①，
122
4(3)1k x x k -+=-
+ ②
又1
2
12()4
y y
k x x +=++．③ 而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，
，，，． 所以OA OB +与PQ 共线等价于1
2
1
2
()6()x x y y +=+， 将②③代入上式，解得34
k =-． 由（Ⅰ）知304
k ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，，故没有符合题意的常数k ． 22．Ｂ解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ
=．所以2
24x
y x
+=．
即2
240
x
y x +-=为
1
O 的直角坐标方程．同理2
240
x
y y ++=为2
O 的
直角坐标方程． （Ⅱ）由22
224040
x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 解得
1100x y =⎧⎨=⎩，，222
2
x y =⎧⎨=-⎩．
即
1
O ，
2
O 交于点(00)，
和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．。