372第三十七讲一维无限深势阱

解：(1) 已知 ( x) 2 sin n x
aa

sin2 xdx

1 2
x

1 4
sin
2x
粒子出现在 0 x a/4 区间中的概率为：
P
a 4

(x)
2
dx

2
0
a
a
4 sin2
0
n xdx
a

1 4

1
2 n
sin
n
2
n 1 时， P 1 1 9% 4 2
n 时， P1 4
例1：（P269例21-13） 设质量为 m 的微观粒子处在宽 度为 a 的一维无限深势阱中，试求：(1) 粒子在 0 x a/4 区间中出现的几率，并对 n = 1 和 n = 的情况算出 概率值。(2) 在哪些量子态上，a/4 处的概率密度最大？
(2) ( x) 2 2 sin2 n x

2
2m
d 2 ( x)
dx 2


(x)

E
(x)
e 0 这样就把粒
边界条件： (0) (a) 0
子限制在 0→a 范围内。
由标准条件，波函数在阱内外不能突变。
3、解方程：
阱内： (0 x a)

2
2m
d 2 i ( x)
dx 2

E i ( x)
即为：d
2 i
En

n2
(1.054 1034 )2 3.142 2 1.67 1027 (1014 )2
=2 106 n2 (eV )
E1＝2（MeV）， E2＝8（MeV）
例5：设想一电子在一无限深方势阱中运动， 求：电子在原子尺度 a =10-10 m和普通尺度 a =10-2 m 势阱宽度范围的相邻能级的能量差。

2
2m
d 2 ( x)
dx 2

U ( x)
(x)

E
(x)
U
(
x)

0
(0 x a) (x 0 , x a)
阱内： U ( x) 0 (0 x a)
U ( x)

2
2m
d 2 i ( x)
dx 2

E i ( x)
阱外：U( x) ( x 0 , x a)
4 x
E4
粒子在势阱中的波函数的 3x 波形很象两端固定弦的驻波，
n

2a n
2 x
波的波长随能级的增高而缩短。
n 很大时，相邻波腹靠
1x E1
得很近，接近经典力学各处
概率相同。
o
E3
E2
xa
c）概率密度
| ( x) |2 2 sin2 n x
aa
| |2 x x
已知其波函数为：x Asinx
a
求：1）常数A；2）粒子在0到a/2区域内出现的概率；
3）粒子在何处出现的概率最大？
3）概率最大的位置应该满足： d (x) 2 0
dx
A 2 a
2 sin cos sin 2
d (x) 2
dx

d

2 a
sin2
x
a

故

i
(
x)

C
sin
n
a
x
由归一化条件确定常数 C：

sin2 xdx

1 2
x

1 4
sin
2x
a sin2 ( n x )dx a
0
a
2
a 0

i
(
x
)
2
dx
=
a
C
sin(
n
x
)
2
dx = C
2
0
a
a sin2 ( n x )dx 1 C 2a
0
a
2
1
∴ C 2 a
dx 2
x


2mE
2

i

x


0
U ( x)
令： k 2mE
(a)

d
2 i
dx 2
x


k 2
i

x


0

d
2 x
dx 2


k 2

x

0
U ( x)
其通解为： ( x) C sinkx
C 和 为待定常数，由边界条件确定。
4、定常数：由边界条件：因为在势阱壁上波函 数必须单值、连续。
3
2a
3 a
3
2 a
sin2 ( x )dx=
a
0.60
概率

i
(
x)
2
=
2 a
sin2
(
n
a
x
）
n=1
n 3
n 2 n 1 0 a/2 a x
x 概率最大。
a2
（2）阱中粒子的能量
由(a)和(b)
k2

2m E 2
和
k

n
a
得：
E
En

n2
2 2
2ma2
(n 1,2,3,)
解：En

n2
2 2
2ma2

n2 h2 8ma2
,
E

En1

En

(2n 1)
h2 8ma2
n2h2 a =10-2 m时， En 8ma 2
n2 3.771015eV
E (2n 1) 3.771015 eV
此时，相邻能级之间的间隔非常小，能量量子化不显著。
n4 n3
16 E1 9 E1
结果说明：粒子被束缚在 势阱中，能量只能取一系列分 立值，即它的能量是量子化的。
n2 n 1
0
4 E1
aE1x
当
n
=
1
时：E1

2 2
2ma2
为粒子的基态能量。
n 为粒子的能量量子数，En 为能量本征值。
阱中粒子的能量
En

n2
2 2
2ma2
此结论可有德布罗意假设及驻波条件得
=
2
2
sin

x
cos

x


dx
a
a
aa
=
2
a2
sin 2 x
a
0
即当：2x k , k 0,1,2, 时，粒子出现的概率最大。
a
因为 0 < x < a，故得 x = a / 2，此处粒子出现的概率最大。
例4：（P269例21-12）设原子的线度约为10－10m,原 子核的线度约为10-14m,已知电子的质量为me＝ 9.11×10-31kg，质子的质量为mP＝1.67×10-27kg。估 计原子中电子的能量和原子核中质子的能量。
21.7.1 一维无限深势阱
作业：练习41 波函数 薛定谔方程； 一维势阱 势垒 隧道效应
一维定态薛定谔方程
d
2 ( x)
dx2

2m
2
(
E

U
)
(
x)

0
21.7.1 一维势阱
一维无限深势阱中运动的粒子问题
(一维定态薛定谔 方程的应用）
设有一粒子处在势能为U的力场中，并沿X轴作一 维运动，粒子的势能U（x）满足下列条件：
2、薛定谔方程：
对于在一维空间中运动的粒子，且势函数 U (x) 与时间无关的情况，波函数满足一维定态薛定谔方程：
d
2 ( x)
dx2

2m
2
(E

U
)
(
x)

0
U ( x)

2
2m
d 2 ( x)
dx 2

U ( x)
(x)

E
(x)
0 (0 x a) U ( x) ( x 0 , x a)
故粒子一维无限深势阱中的定态波函数：归一化的波函数
i(x)
2 sin( n x ),
a
a
(0 x a)
n 1, 2, 3,
e ( x) 0 , ( x 0, x a)
5、 讨论： 势阱中粒子的波函数和概率密度分布曲线
势阱中粒子的波函数分布曲线 概率密度分布曲线
i (0) C sin(k o ) C sin( ) 0 0
因此： i ( x) C sin kx
i ( x) C sin kx
由边界条件，波函数在 x = a 处连续，有：
i (a) C sin ka 0
k nπ a
(b) (n 1, 2, )
n x 0
0 a/2
当量子数很大时，阱内粒子 各处出现的概率相等（经典）
（经典）
n
n3
n2 a n1
x
例1：（P269例21-13） 设质量为 m 的微观粒子处在宽 度为 a 的一维无限深势阱中，试求：(1) 粒子在 0 x a/4 区间中出现的概率，并对 n = 1 和 n = 的情况算出 概率值。(2) 在哪些量子态上，a/4 处的概率密度最大？
aa
a 4 处：
( x) 2 2 sin2 n a
a a4
2 sin2 n
a4
最大时有： sin2 n 1
4
n （2k 1）
4
2
k 0,1,
n 4k 2 即: n 2,6,10,
解：
1
1+x 2
dx

tg 1 x
tg =
2
tg0=0

n 4
( x) a sin n π x
2a
4
|
|2
(x) 2

2 sin2 a
nπ a
x
3
n 3
n 2 n 1
0
（驻波）
a /2
2
1 a 0 a/2 a x x
对于不同的量子数，在阱内某一特 定的点，粒子出现的几率是不同的。
5、 讨论：
（1） 微观粒子在阱内自由运动时波函数描述的 德布罗意波是驻波。 沿x轴正向传播的单色平面简谐波与沿 x轴负向传播的单色平面简谐波的叠加。

E

n2
2 2
2ma2
h
2
（3）粒子最小能量不能为零
n(x)
2 sin( n x )
a
a
E1

2 2
2ma2
0
因为n不等于0,如果n 等于0，波函数为零。
表明：
（4） 相邻两能级的间隔与势阱宽度有关，且随n 的增加而增加，

(2n

1)
2 2
2ma2
（5）对应原理：
a）粒子的能量：
解：把电子看作是局限于原子大小的无限深势阱中，有
En

n2 2 2
2me a2
n2
(1.054 1034 )2 3.142 2 9.11 1031 (1010 )2
0.605 1017 n2J
E1＝37（eV）， E2＝148（eV）

37n2eV
h 2
把质子看作是局限于原子核大小的无限深势阱中，有
E
n2
2 2
2ma2
n2 E1
能级间隔：
能级相对间隔：
当量子数很大时，可认为能量是连续分布的。 所以经典物理可以看成是量子物理中量子数n→∞ 时的近似。
（5）对应原理：
（经典）
(x)
b）波函数
n
n 1,2,3,
n(x)
2 sin( nx ),
aa
(0 x a)
② ③
∴ x=0时
④
1 1+x2
dx

tg1 x
tg =1
4
例3：作一维运动的粒子被束缚在0 < x < a 的范围内，
已知其波函数为：x Asinx
a
求：1）常数A；2）粒子在0到a/2区域内出现的概率；
3）粒子在何处出现的概率最大？
解：1）由归一化条件：

sin2 xdx
（驻波）
微观粒子在阱内各点出现的概率不一

i
(x)
2
=2 a
sin2
(
n x
a
）
i(x)
2 sin( n x )
a
a

sin2
xdx

1 2
x

1 4
sin
2x
a
3 0

i
(
x
)
2
dx
=
a 3
2
sin2
(
x
)dx=
0.20
0a
a
| |2
n 4
2a
3 a
i ( x) 2dx=
a
=10-10 m时，En

n2h2 8ma 2
n2 37.7eV
E (2n 1) 37.7eV
此时，相邻能级之间的间隔非常大，能量量子化显著。
3）粒子在何处出现的概率最大？
解：2）粒子的概率密度为：
2 2 sin2 x
aa
A 2 a
粒子在 0 到 a / 2 区域内出现的概率：
a/2

2 dx

2
a/2
sin2
x dx

1
0
a0
a
2

sin2 xdx

1 2
x

1 4
sin
2x
例3：作一维运动的粒子被束缚在0 < x < a 的范围内，

1 2
x

1 4
sin
2x
2 dx A2 a sin2 x dx 1

0
a
A2 a sin2 x dx A2 a 1
0
a
2
A 2 a
例3：作一维运动的粒子被束缚在0 < x < a 的范围内，
已知其波函数为：x Asinx
a
求：1）常数A；2）粒子在0到a/2区域内出现的概率；
1、 U ( x) 0 (0 x a)
U ( x)
(x 0 ，x a)
粒子在势阱内受力为零， 势能为零；在阱外势能为无穷 大。粒子只能在宽为 a 的两个 无限高势壁间运动，这种势称 为一维无限深势阱。
意义： 是金属中自由电子的简化模型。自由电子在 一块金属内的运动就相当于粒子在势阱中的运动。